概率论与数理统计第章.ppt

1、第二章 随机变量与概率分布,1 随机变量 2 离散型随机变量的概率分布 3 随机变量的分布函数 4 连续型随机变量的概率密度 5 随机变量函数的分布,1 随机变量,1、有些试验结果本身与数值有关（本身就是一个数）.,例如:掷一颗骰子面上出现的点数；,七月份郑州的最高温度；,每天从北京下火车的人数；,昆虫的产卵数；,2、在有些试验中，试验结果看来与数值无关，但我们可以引进一个变量来表示它的各种结果.也就是说，把试验结果数值化.,正如裁判员在运动场上不叫运动员的名字而叫号码一样，二者建立了一种对应关系.,在掷硬币试验E1中,引入变量：,X,1 出正面,0 出反面,在摸球试验E3中,引入变量：Y为取

2、出的白球数.,1.定义:随机试验E的样本 空间为Se,若对于每个 eS, 有唯一实数X(e)与之对 应,这样就得到一个定义在S 上的实的单值函数X(e),称其 为：随机变量.,S,e1,e2,e3,e4,X(e1),X(e2),X(e3),X(e4),随机变量所取值一般 用小写字母x,y,z等表示.,随机变量通常用大 写字母X,Y,Z或希腊字 母、等表示,引入随机变量，使得现代数学工具进入概率统计。从而使概率统计有了飞速发展。,例1. 设盒中有 其中2白、3黑5个球, 从中随便抽取3个球, 则 “ 抽得的白球数”X是个随机变量. “ 抽得的黑球数”Y也是随机变量。,事件：取到2白、1黑X=2=

3、Y=1,3. 用随机变量取值表示事件：,2. 随机变量与一般函数的区别,三、随机变量的分类,通常分为两类：,如“取到次品的个数”， “收到的呼叫数”等.,随机变量,离散型随机变量,连续型随机变量,所有取值可以逐 个一一列举,例如，“电视机的寿命”，实际中常遇到的“测量误差”等.,全部可能取值不仅 无穷多，而且还不能 一一列举，而是充满 满一个或几个区间.,非离散型随机变量,非离散型非连续型,2.离散型随机变量及其概率分布,这样，我们就掌握了X这个随机变量取值的概率规律.,从中任取3 个球,取到的白球数X是一个随机变量,X可能取的值是0,1,2,取每个值的概率为：,例1,且,其中 (k=1,2,

4、 ) 满足：,（2）,这两条性质判 断某函数是否 是概率分布,一 .离散型随机变量概率分布定义,二、表示方法,（1）列表法：,（2）图示法,（3）公式法,X,例2. 汽车通过4盏信号灯才能到达目的地， 设汽车在每盏信号灯处通过的概率为0.6求： (1). 汽车首次停车通过的信号灯数X的概率分布。 (2). 半路停车次数Y的概率分布。 (3). 半路最多停一次车的概率。,PXk=,(0.6)k0.4； k=0、1、2、3。,(0.6)k ； k=4,解：X的概率分布：,Y的概率分布：,k=0、1、2、3、4。,PY=k=,P半路最多停一次车=PY1 PY=0+PY=1,=(0.6)4 +,2.

5、几个常见离散型随机变量的概率分布,(1). 二项分布,若随机变量X的概率分布为：,则称X服从参数为n、p的二项分布.其中q=1p,记为: Xb(n、p),实例：一批产品中次品率为 p，有放回取n次，每次取1个，取出的次品数Xb(n, p).,背景：只有两个可能结果的试验称为Bernoulli 试验.,其样本空间为SA、A；,0PA=p1,在n次重复进行的Bernoulli试验中，A发生的次数 Xb(n、p).,(2).二点分布(n=1的二项分布)：,X 1 0,P p q,(3).几何分布,若随机变量X的概率分布为：,则称X服从参数为p的几何分布.其中q=1p.,PX=k=qk1 p k=1、

6、2、3、,在重复进行的Bernoulli试验中,A首次发生出现在第 X次试验,则X服从参数为 p的几何分布。,4. Poisson分布：,若随机变量X的概率分布为：,则称X服从参数为：的Poisson分布。,PX=k=,k=0、1、2、3、,记为X (),Poisson分布与二项分布的关系：,设放射性物质7.5秒放出粒子的个数为X， 求X的概率分布,如图：设想把体积为V的放射性物质分割为体积均为:VV/n 的n份.,并假设：,(1).就每一小块而言，在7.5秒放 出2个以上粒子的概率为 0 (实际是 很小忽略不计)。,(2).各小块放出粒子与否相互独立。,放出1个粒子的概率为：pn=V,则：P

7、X=k,其中：qn=1pn,(令V; pn=VV/n= /n)：,考虑当 n,时,PX=k =,k=0、1、2、3、,Poissn定理：n为正整数，pn=/n， 0。则对任一非负整数k有：,其中： npn.,例3. 某人打靶命中率为0.001, 重复射击5000次，求至少命中2次的概率。,解：设X为至命中次数。,P(X2) =1P(X2) =1P(X=0)P(X=1),1(10.001)5000,0.9598,用Poissn定理：其中 np=50000.001=5,P(X 2) =1P(X2) =1P(X=0)P(X=1), 0.9596,例4. 某加油站替公共汽车站代营出租汽车业务，每出租一

8、辆汽车，可从出租公司得到3元. 因代营业务，每天加油站要多付给职工服务费60元. 设每天出租汽车数 X是一个随机变量，它的概率分布如下：,求因代营业务得到的收入大于当天的额外 支出费用的概率.,也就是说，加油站因代营业务得到的收入大于当天的额外支出费用的概率为0.6.,PX20=PX=30+PX=40=0.6,解,因代营业务得到的收入大 于当天的额外支出费用的概率为：,P3X60,即 PX20,3 随机变量的分布函数,1.分布函数定义:,F(x)=PX x，(- x +) 为X的分布函数.,x,设X是随机变量, 称函数：,对于任意两点x1、x2 :,P(x1 X x2)=F(x2)F(x1),

9、分布函数的性质,(1) F(x) 非降，即若 x1x2，则F(x1) F(x2) ;,(2) F( ) = F(x) = 0,(3) F(x) 右连续，即,如果一个函数具有上述性质，则一定是某个r.v X 的分布函数. 也就是说，性质(1)-(3)是鉴别一个函数是否是某r.v的分布函数的充分必要条件.,F( ) = F(x) = 1,例4. 3个人抓阄决定取一物。第X人抓到有物之阄。求X的概率分布及其分布函数。,解：,PX=1=1/3,PX=2=2/31/2=1/3,PX=3=2/31/21/1=1/3,X的概率分布:,X的分布函数:,F(x)=,0 x 1,1/3 1 x 2,2/3 2 x

10、 3,1 3 x,1,2,3,1,2/ 3,1/ 3,X,Y,离散型随机变量的分布函数为跳跃函数，在xi处的跳跃高度恰为PX= xi.,0,4. 连续型随机变量的概率密度,1. 定义：对于随机变量X的分布函F(x)， 如果存在非负函数f(x),使对于任意实数x有：,则称X为连续型随机变量；称f(x)为X的概率 密度函数。简称密度函数。,密度函数的性质：,(1). f(x)0;,(4). 连续型随机变量X对于任意实数a, PX=a=0,Px1Xx2,(5). 若f(x)在x处连续，则：f(x)=F(x),(6).,(7). 密度函数不唯一，改变f(x)有限个点处 的函数值依然是X的密度函数。,(

11、处处连续),例5：设连续型随机变量X的分布函为： F(x) = a + b arctan x; 求 : (1). a=? b=? (2). X的密度函数. (3). PX2 1,解: (1)由分布函数性质：F()=0, F(+)=1,解得：a=1/2 b=1/,X的密度为: f(x) = F(x) =,(-x),PX21=1P1X 1,1F(1)F(1)1/ 2,例6. 设随机变量X的密度函数为：,求：k=? PX0.1=? X的分布函数。,解 (1).,解得：k=3,0.7408,(3).,当 x0 时：F(x)=0,当 x 0时：,（1）若 r.vX的概率密度为：,则称X服从区间( a,

12、b)上的均匀分布，记作：,X U(a, b),背景： r.v X 在区间(a, b) 上取值，并且在 (a, b)中任意小区间G取值的概率仅与G的长度成 正比,与G的位置无关.则 X 服从(a,b)上均匀分布.,2. 几个常见的连续型随机变量,例7. 某人睡醒后，发现表停了。打开收音机对表 (假设收音机只正点报时)。求他等待时间不超过10分钟的概率。,解：设X为他等待的时间，,X的密度函数为：,0x60,0 其它,PX10=,=,f(x) =,例8 某公共汽车站从上午7时起，每15分钟来一班车，即 7:00，7:15，7:30, 7:45 等时刻 有汽车到达此站，如果乘客到达此站时间 X 是7

13、:00 到 7:30 之间的均匀随机变量, 试求他候车 时间少于5 分钟的概率.,解：,依题意， X U ( 0, 30 ),以7:00为起点0，以分为单位,为使候车时间X少于 5 分钟，乘客必须在 7:10 到 7:15 之间，或7:25 到 7:30 之间到达车站.,所求概率为：,从上午7时起，每15分钟来一班车，即 7:00，7:15，7:30等时刻有汽车到达汽站，,即乘客候车时间少于5 分钟的概率是1/3.,则称 X 服从参数为 的指数分布.,指数分布常用于可靠性统计研究中，如元件的寿命.,（2）若 r.v X具有概率密度,常简记为 XE( ) .,例8. 设某器件寿命X服从参数为的指

14、 数分布，求此器件使用 a(a0)的概率；已知 该器件已使用t (t 0)年，求再使用a年的概率。,X的密度函数为：,解：,PXa=,= a,PXa+t / Xt=,=,= a,两概率相同此性质称为无记忆性,(3)、正态分布的定义及图形特点,若r.v X的概率密度为,记作,f (x)所确定的曲线叫作正态曲线.,其中 和 都是常数， 任意， 0， 则称X服从参数为 和 的正态分布.,正态分布 的密度函数图形特点,(1)正态分布的密度曲线是一条关于 对称的钟形曲线.,(3).在x=处取最大值。,(4). 越大越平缓，越小越陡峭。,决定了图形的中心位置， 决定了图形中峰的陡峭程度.,正态分布 的图形

15、特点,标准正态分布,的正态分布称为标准正态分布.,其密度函数和分布函数常用 和 表示：,定理 1：,书末的标准正态分布函数数值表，可解决正态分布的概率计算.,表中给的是x0时, (x)的值.,若,N(0,1),若 XN(0,1),例9.设电源电压 UN(220, 625) (单位:V)，通常有3种状态；.不超过200V； .在200240之间； . 超过240V。在上述3状态, 某电子元件损坏的概率分别为0.1，0.001，0.2。求:,(1).元件损坏的概率。 (2).在元件损坏情况下，分析电压所处状态。, UN(220, 625), PA1=(,200220,25,),=0.2119,=1

16、(0.8),考虑到对称性 PA3= PA1= 0.2119,解：设Ai为电压处在i状态。i=1, 2, 3 设B为元件损坏；,P(B)=P(A1)P(B/A1)+P(A2)P(B/A2)+P(A3)P(B/A3),= 0.21190.1+0.57620.001+0.21190.2, 0.0642,PA1 /B=,P(A1)P(B/A1),P(B), 0.330,类似：PA2 / B 0.009; PA2 / B 0.660,所以电器损坏时, 电压处在高压状态可能性最大, 而处在(200240)可能性很小, 几乎是不会的。,PA2=120.2119=0.5762,例10. 某大型设备在t时间内发

17、生故障次 数N(t) 服从参数为t的Poisson分布，T表示 相邻两次故障之间的时间间隔； 求：(1).T 的密度函数。(2).1次故障修复后无故障运行 8小时的概率。(3).设备已无故障工作t0小时， 再无故障工作8小时的概率。,解：(1)先求T的分布函数。,当t0时：F(t)=PTt=0,当t0时：F(t) =PTt =,1t,=1 PN(t)=0 =,F(t)=,1t t0,0 t0,故T的密度函数: f(t)=F(t)=,1PTt,t t0,0 t0,(2). PT8=1F(8)= 8,(3). 根据指数分布无记忆性： PTt0+8 / Tt0= 8,例2 公共汽车车门的高度是按男子

18、与车门 顶头碰头机会在0.01以下来设计的.设男子 身高XN(170,62),问车门高度应如何确定?,解: 设车门高度为h cm,按设计要求,P(X h) 0.01,或 P(X h) 0.99,下面我们来求满足上式的最小的 h.,再看一个应用正态分布的例子:,因为XN(170,62),查表得 (2.33)=0.99010.99,所以 =2.33,即 h=170+13.98 184,设计车门高度为 184厘米时，可使 男子与车门碰头 机会不超过0.01.,由标准正态分布的查表计算可以求得，,这说明，X的取值几乎全部集中在-3,3区间 内，超出这个范围的可能性仅占不到0.3%.,当XN(0,1)时

19、，,P(|X| 1)=2 (1)-1=0.6826,P(|X| 2)=2 (2)-1=0.9544,P(|X| 3)=2 (3)-1=0.9974,3 准则,将上述结论推广到一般的正态分布,时，,这在统计学上称作“3 准则” （三倍标准差原则）.,解： 当 X 取值 1，2，5 时， Y 取对应值 5，7，13，,而且X取某值与Y取其对应值是两个同时发生 的事件，两者具有相同的概率.,故,5 随机变量函数的分布,1.离散型随机变量函数的分布,如果g(xk)中有一些相同,把它们适当并项即可.,一般，若X是离散型 r.v ，X的概率函数为,则 Y=X2 的概率函数为：,例11. 已知随机变量X的概

20、率分布为：,X 0 1 2 3 4 5,P 1/ 12 1/ 6 1/ 3 1/12 2/ 9 1/ 9,求：Y(X2)2的概率分布。,X 0 1 2 3 4 5,P 1/ 12 1/ 6 1/ 3 1/12 2/ 9 1/ 9,解：,Y 4 1 0 1 4 9,故Y的概率分布为：,Y 0 1 4 9,P 1/3 1/4 11/36 1/9,二、连续型随机变量函数的分布,解：设Y的分布函数为 FY(y)，,FY(y)=P Y y = P (2X+8 y ),=P X = FX( ),于是Y 的密度函数,故,注意到 0 x 4 时，,即 8 y 16 时，,此时,Y=2X+8,求导可得,当 y0

21、 时,注意到 Y=X2 0，故当 y 0时，,解： 设Y和X的分布函数分别为 和 ，,若,则 Y=X2 的概率密度为：,例4 设随机变量X的概率密度为,求Y=sinX的概率密度.,当 y 0时,当 y 1时,因为：当,时,故,解：,=P(0 X arcsiny)+P( - arcsiny X ）,当0y1时,密度函数：,例5 已知随机变量X的分布函数F(x)是严格单调的连续函数。,又由于X的分布函数F是严格递增的连续函数, 其反函数 F-1 存在且严格递增.,证明: (1) 设Y的分布函数是G(y),于是,对y1, G(y)=1;,对y0 , G(y)=0;,由于,证明:Y=F(X)服从0,1

22、上的均匀分布. 若RU(0,1), 则F-1(R)的分布函数为F(x).,对0y1,G(y)=P(Y y),=P(F(X) y),=P(X (y),=F( (y)= y,即Y的分布函数：,求导得Y的密度函数：,可见, Y 服从0，1上的均匀分布.,(2)设：F-1(R)的分布函数为F2 (x),则,F2 (x)=PF-1(R) x,=PR F(x),=FR F(x),=F(x),因为：RU(0,1),所以：R的分布函数为：,又因为：,F(x)0,1,则F-1(R)的分布函数为F(x).,本例的结论给出构造分布函数为F(x) 的随机数的方法：取U(0,1) 随机数i (i=1,2, )令: i

23、=F-1(i )，则i (i=1,2, ) 就是F(x)随机数，若1, 2, 相互独立, 则1, 2, 也相互独立。,其中， x=h(y)是y=g(x)的反函数,定理: 设 X是一个取值于区间a,b，具有概率 密度 f(x)的连续型r.v,又设y=g(x)处处可导，且 对于任意x, 恒有 或恒有 ，则 Y=g(X)是一个连续型r.v，它的概率密度为,证明：(只证明g(x)0的情况), g(x)0 恒成立， g(x)在(-, )上严格单调减。,先求Y的分布函数：,当y时，FY(y)=0,当y时，FY(y)=1,当 y 时：,=Pg(X) y,=PX h(y),=1FXh(y),Y的密度函数：,fY(y)=,FY (y) =,FY(y)=PY y,以上定理可推广到如下情况：,例12. 证明：若XN (