复变函数第二章.ppt

1、第二章 解析函数,第一节 解析函数的概念 第二节 函数解析的充要条件 第三节 初等函数,第一节 解析函数的概念, 一 复变函数的导数与微分 二 解析函数的概念 三 本节小结,一复变函数的导数与微分,1.导数的定义:,在定义中注意:,解,例1,例2,解,2.可导与连续:,函数 f (z) 在 z0 处可导则在 z0 处一定连续, 但函数 f(z) 在 z0 处连续不一定在 z0 处可导.,证,证毕,例3,解,由上章知识易知，f(z)是连续的.,解,因此，连续不一定可导.,3.求导法则:,由于复变函数中导数的定义与一元实变函数中导数的定义在形式上完全一致, 并且复变函数中的极限运算法则也和实变函数

2、中一样, 因而实变函数中的求导法则都可以不加更改地推广到复变函数中来, 且证明方法也是相同的.,求导公式与法则:,4.微分的概念:,复变函数微分的概念在形式上与一元实变函数的微分概念完全一致.,定义,特别地,二 解析函数的概念,1. 解析函数的定义,2.奇点的定义,根据定义可知:,函数在区域内解析与在区域内可导是等价的.,但是,函数在一点处解析与在一点处可导是不等价的概念. 即函数在一点处可导, 不一定在该点处解析，若在一点解析则在这点一定可导.,函数在一点处解析比在该点处可导的要求要高得多.,解,由本节例1和例3知:,例4,例5,解,例6,解,定理,利用求导法则易得下面解析函数的性质.,根据

3、定理可知:,(1) 所有多项式在复平面内是处处解析的.,三 本节小结,理解复变函数导数与微分以及解析函数的 概念; 掌握连续、可导、解析之间的关系以及 求导方法.,重点掌握解析函数的概念; 掌握可导、解析之间的关系： 解析一定可导，可导不一定解析； 区域内解析与可导等价.,第二节 解析函数的充要条件, 一 主要定理 二 典型例题 三 本节小结,如果复变函数 w = f (z) = u(x, y) + iv(x, y)在定义域 D内处处可导，则函数 w = f (z) 在 D内解析。,本节从函数 u (x , y) 及 v (x , y) 的可导性，探求 函数w=f (z) 的可导性，从而给出判

4、别函数解析的 一个充分必要条件，并给出解析函数的求导方法。,问题 如何判断函数的解析性呢？,一 主要定理,记忆,定理1 设 f (z) = u (x, y) + iv(x, y)在 D 内有定义， 则 f (z)在点 z=x+iy D处可导的充要条件是u(x, y) 和 v(x, y) 在点 (x, y ) 可微，且满足Cauchy-Riemann 方程：,上述条件满足时,有,证明 （由f (z)的可导 C-R方程满足上面已证！只须证 f (z)的可导 函数 u(x, y)、v(x, y)可微）。,则 f (z+ z)-f(z)=f (z)z+(z)z (1), 且,u+iv = (a+ib)

5、(x+iy)+(1+i2)(x+iy),=(ax-by+1x-2y) +i(bx+ay+2x+1y),令：f (z+z) - f (z)=u+iv，f (z)= a+ib， (z)=1+i2 故（1）式可写为,因此 u=ax-by+1x-2y , v=bx+ay+2x+1y,所以u(x, y)，v(x, y)在点(x, y)处可微.,（由函数u(x,y) ,v (x,y)在点(x,y)处可微及满足 C-R方程 f (z)在点z=x+iy处可导）,u(x，y)，v(x，y)在(x，y)点可微，即：,使用时注意: i) 判别 u(x, y)，v (x, y) 偏导数的连续性， ii) 验证C-R条

6、件.,iii) 导数公式：,定理2 函数f (z)=u(x, y)+iv(x, y)在D内解析充要 条件是 u(x, y) 和 v(x, y)在D内可微，且 满足 Cauchy-Riemann方程：,由区域内解析与可导等价，可得如下定理.,解析函数的判定方法:,二 典型例题,不满足柯西黎曼方程,四个偏导数均连续,指数函数,四个偏导数均连续,例2,证,解,例3,证,例4,解,例5,例6,证,证,根据隐函数求导法则,例7,根据柯西黎曼方程得,三 本节小结,在本课中我们得到了一个重要结论函数 解析的充要条件:,掌握并能灵活应用柯西黎曼方程.,掌握判断函数解析性的方法.,Augustin-Louis

7、Cauchy,Born: 21 Aug 1789 in Paris, FranceDied: 23 May 1857 in Sceaux (near Paris), France,柯西资料,Riemann,黎曼资料,Born: 17 Sept 1826 in Breselenz, Hanover (now Germany)Died: 20 July 1866 in Selasca, Italy,第三节 初等函数, 一 指数函数 二 对数函数 三 乘幂与幂函数 四 三角函数 五 反三角函数 六 本节小结,本节将实变函数中的一些常用的初等函数推广到复变函数情形，研究这些初等函数的性质，并说明它的解析性。,一 指数函数,1.指数函数定义,说明 （1）当y=0时， 所以复指数函数是实指数函数的推广； （2）当x=0时， 即为欧拉公式.,2.指数函数性质,它与实变指数函数有类似的性质：,（1）