复变函数 3.2Cauchy积分定理的证明

1、.,复变函数论多媒体教学课件,Department of Mathematics,第三章 复变函数的积分,第二节 柯西积分定理,.,第二节 柯西积分定理,1 柯西积分定理 2 柯西积分定理的证明 3 不定积分 4 柯西积分定理的推广,.,1 柯西定理,定理3.1 设f(z)是单连通区域D的解析函数， （1）设C是D内任一条简单闭曲线，那么 其中，沿曲线C的积分是按反时针方向取的。,（2） C是在D内连接 及z两点的任一条简单曲线，那么沿C从 到z的积分值由 及z所确定，而不依赖于曲线C，这时，积分记为.,.,2 几个引理,引理3.1 设f(z)是在单连通区域D内的解析函数。设C是D内的一个多角

2、形的周界。那么,在这里沿C的积分是按反时针方向取的。 证明：先对C是三角形周界的情形进行证明，然后证明一般情形。,.,引理的证明,（1）C为三角形的周界 设 下面证明M=0。,等分给定的三角形的每一边，两两连接这些分点，给定的三角形被分成四个全等的三角形，,我们显然有：,.,引理的证明,因此，沿周界 的积分中，至少有一个的模不小于M/4。不妨假设这个周界为,对于这个三角形周界为 ，我们也把它等分成四个全等的三角形，其中一个的周界 满足,把这种作法一直进行下去，我们得到具有周界：,一个三角形序列，其中每一个包含后一个，而且有下面的不等式：,.,引理的证明,用U表示周界 的长度，于是周界 的长度是

3、,现在估计 的模。,由于三角形序列中每一个每一个包含它后面的全部三角形，而且,因此由数学分析中的闭区域套定理，得存在着一点 属于序列中的所有三角形。,.,引理的证明,又因为f(z)在 有导数 ，所以 使得当 时,于是当 时,显然，当n充分大时， 所确定的圆盘内，因此当 时，上式成立。,.,引理的证明,且有 ，所以,其次，由于 ，我们有 于是当n充分大时，,.,引理的证明,因此,由于的任意性，我们得到M=0。,即,.,引理的证明,(2) C为一个多角形的周界P：如图，用对角线把以P为周界的多角形分成若干个三角形，就可以把沿P的积分表示成沿这些三角形周界 的积分之和：,因此每条对角线上积分彼此相互

4、抵消，再利用第一步的证明，有,.,3 柯西定理的证明：,证明：先证明(1)成立。在C上任取一点 ，可以作出圆盘：,因为圆盘是凸区域，由引理2.2，f(z)在内 有原函数 。,由于C是一个紧集，由数学分析中的有限覆盖定理，存在有限个圆盘覆盖了C；把这些圆盘按反时针方向依次排列为,.,柯西定理的证明：,并且用,表示f(z)在这些圆盘中的原函数。取,其中 是C上依序按反时针方向取的。由引理2.3，有,.,柯西定理的证明,这里，用 表示沿C从 的弧上的 积分，用 表示从 的线段上的积分。由引理2.3，有,因为构成中的一条闭合折线，所以由引理2.1，得,.,柯西定理证明,下面证明（2）成立。设 是在D内

5、连接 及z两点的另一条简单曲线。则 是D内的一条简单闭曲线，由（1），有,而 所以定理的结论成立。,.,定理3.1,定理3.1 设C是一条简单闭曲线，函数f(z)在以C为边界的有界闭区域D上解析，那么,定理3.2 设f(z)是单连通区域D的解析函数，那么f(z)在D内有原函数。 证明：取定 ，由定理3.1，得,是在D内确定的一个函数。取 充分接近，把,.,定理3.2的证明：,D中两个积分看作沿两条简单曲线取的，而其中一条是另一条曲线 与连接及z的线段的并集。于是有,这里积分是沿 及z的联线取的，同样可证，有,.,例1,例1、设D是不含a的一个单连通区域，并且 那么,其中m是不等于1的整数。另外

6、，还设D在复平面上沿从a出发的任何射线割开而得得区域内，我们有,其中对数应理解为Ln(z-a)在D内的一个解析分支在z及 的值。,.,柯西定理的注解：,注解1、我们可以用原函数求解析函数的积分； 注解2、区域的单连通性不能直接取掉。 注解3、柯西定理可以推广到多连通区域：设有n+1条简单闭曲线,曲线 中每一条都在其余曲线的外区域内，而且所有这些曲线都在 的内区域，,围成一个有界多连通区域D，D及其边界构成一个闭区域 。,.,柯西定理的注解：,设f(z)在 上解析，那么令C表示D的全部边界，我们有,其中积分是沿C按关于区域D的正向取的。即沿 按反时针方向，沿 按顺时针方向取积分；或者说当点沿着C

7、按所选定取积分的方向一同运动时，区域D总在它的左侧。因此,.,柯西定理的注解：,也有：,.,柯西定理的注解：,注解4、上面规定区域D的方向称为正向，以后，我们总是规定取正向，除非另有说明； 注解5、多连通区域内的不定积分与多值函数： 设f(z)是多连通区域D的解析函数。在D内作连接 及z两点的任一条简单曲线。在某两条这样的曲线所包成的闭区域上，f(z)可能不解析，因此不能应用柯西定理，所以f(z)沿这两条曲线的积分可能不相等。假定这两个积分不相等。那么函数： 是多值的。,.,柯西定理的注解：,可是z当属于包含在D内的某一单连通区域D时，取曲线如下：从 沿一个固定的简单曲线到D内一点，然后从沿

8、在D内一条简单曲线到z。沿这种曲线取积分所得的函数F(z)在D内解析。改变从 的曲线，我们能够得到不同的解析函数；它们是F(z)在D内的不同解析分支。,.,作连接 的两条简单曲线 ，取定Argz在 的值为 。,例2：,例2、在圆环内 解析，在D内取定两点,当z沿 从 连续变动到 时，z的幅角从 连续变动到 。,于是当z沿 从 连续变动到 时，z的幅角从 连续变动到 。,.,例2,现在求 沿的 积分。令 ，则,从而,.,例2：,同样求得,这样，在含 的一个单连通区域 （在D内）内，相应 ，多值函数,有两个不同的解析分支 相应于连接 的其它曲线，还可得到F(z)在D内的其它解析分支，F(z)就是对

9、数函数。,.,4 不定积分,设f(z)及F(z)是区域D内确定的函数，F(z)是D内的一个解析函数，并且在D内，有F(z)=f(z)，那么函数F(z)称为f(z)在区域是D内的一个不定积分或原函数；除去可能相差一个常数外，原函数是唯一确定的。即f(z)的任意两个不定积分或原函数的差是一个常数。事实上，设F(z)及G(z)都是f(z)在区域是D内的原函数，则有,.,不定积分,其中 ，我们已经证明，在D内，有，,因此,凸区域：区域D是一个凸区域，如果连接D中任意两点的线段也包含在D内，即,.,4 柯西积分定理的推广,定理3.5 设f(z)是凸区域D内的解析函数，那么f(z)在D内有原函数。 证明：取定 ，任取 ，由区域D的凸性，有连接 及z的线段一定包含在D中。令,记为 。则F(z)是在D内确定的一个函数。 下面证明F是f在D内的一个原函数。,.,取 ，连接 及z的线段一定包含在D中。考虑顶点为 的三角形，由引理2.1，得,其中 所以,.,由于f(z)在 连续， ，使得,于是， 从而有,.,定理3.6,定理3.6 设f(z)是区域D内的连续函数，并且在D内有原函数F(z)。如果 ，并且C是D连接 的一条曲线，那么,注解1、此引理说明，如果某一个区域内的连续函数有原函数，那么它沿这个区域内曲线的积分可以用原函数来计算，