分类加法计数原理与分步乘法计数原理

1、分类加法计数原理与分步乘法计数原理分类加法计数原理与分步乘法计数原理基础自测：15 位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同的报名方法共有_种32解析每位同学有两种不同的报名方法，而且只有这5 位同学全部报名结束，才算事件完成所以共有 22 2 2 2 32(种 )2有不同颜色的 4 件上衣与不同颜色的3 件长裤，如果一条长裤与一件上衣配成一套，则不同的配法种数是 _ 12解析由分步乘法计数原理， 一条长裤与一件上衣配成一套， 分两步， 第一步选上衣有 4 种选法，第二步选长裤有3 种选法，所以有4 3 12(种 )选法3甲、乙两人从4 门课程中各选修 2 门，则甲、

2、乙所选的课程中恰有1 门相同的选法有 _种答案24解析分步完成首先甲、乙两人从4 门课程中同选1 门，有 4 种方法，其次甲从剩下的3 门课程中任选 1 门，有 3 种方法，最后乙从剩下的2 门课程中任选1 门，有 2 种方法，于是，甲、乙所选的课程中恰有 1 门相同的选法共有 4 3 224(种 )4用数字 2,3组成四位数，且数字 2,3 至少都出现一次，这样的四位数共有_个 (用数字作答 )答案 14解析 数字 2,3 至少都出现一次，包括以下情况：“ 2” 出现1 次， “ 3” 出现 3 次，共可组成c41 4( 个) 四位数“ 2” 出现2 次， “ 3” 出现 2 次，共可组成c

3、42 6( 个) 四位数“ 2” 出现3 次， “ 3” 出现 1 次，共可组成c43 4( 个) 四位数综上所述，共可组成 14 个这样的四位数 .题型一分类加法计数原理的应用例 1一班有学生 50 人，男生 30 人，女生 20人；二班有学生 60 人，男生30 人，女生 30 人；三班有学生55 人，男生35 人，女生 20 人(1) 从一班或二班或三班中选一名学生任学生会主席，有多少种不同的选法？(2) 从一班、 二班男生中， 或从三班女生中选一名学生任学生会体育部长，有多少种不同的选法？思维启迪用分类加法计数原理解 (1) 完成这件事有三类方法第一类，从高三一班任选一名学生共有50

4、种选法；第二类，从高三二班任选一名学生共有60 种选法；第三类，从高三三班任选一名学生共有55 种选法，根据分类加法计数原理，任选一名学生任校学生会主席共有50 6055 165(种) 选法(2) 完成这件事有三类方法第一类，从高三一班男生中任选一名共有30 种选法；1分类加法计数原理与分步乘法计数原理第二类，从高三二班男生中任选一名共有30 种选法；第三类，从高三三班女生中任选一名共有20 种选法综上知，共有 30 30 2080( 种)选法思维升华分类时， 首先要根据问题的特点确定一个适合它的分类标准，然后在这个标准下进行分类；其次分类时要注意满足一个基本要求，就是完成这件事情的任何一种方

5、法必须属于某一类，并且分别属于不同种类的两种方法是不同的方法，只有满足这些条件， 才可以用分类加法计数原理(1)在所有的两位数中，个位数字比十位数字大的两位数有多少个？x2y2(2) 方程 m n 1 表示焦点在 y 轴上的椭圆，其中m 1,2,3,4,5 ， n 1,2,3,4,5,6,7 ，那么这样的椭圆有多少个？解 (1) 分析个位数字，可分以下几类：个位是 9，则十位可以是 1,2,3， ， 8 中的一个，故有 8 个；个位是 8，则十位可以是 1,2,3， ， 7 中的一个，故有 7 个；同理，个位是 7 的有 6 个；个位是 6 的有 5 个；个位是 2 的只有 1 个由分类加法计

6、数原理，满足条件的两位数有1 2 3 4 5 67 8 36(个 )(2) 以 m 的值为标准分类，分为五类第一类： m 1 时，使 nm， n 有 6 种选择；第二类： m 2 时，使 nm， n 有 5 种选择；第三类： m 3 时，使 nm， n 有 4 种选择；第四类： m 4 时，使 nm， n 有 3 种选择；第五类： m 5 时，使 nm， n 有 2 种选择 共有 65 4 3 2 20(种 )方法，即有 20 个符合题意的椭圆题型二分步乘法计数原理的应用例 2有六名同学报名参加三个智力竞赛项目，在下列情况下各有多少种不同的报名方法？(不一定六名同学都能参加)(1) 每人恰好参

7、加一项，每项人数不限；(2) 每项限报一人，且每人至多参加一项；(3) 每项限报一人，但每人参加的项目不限思维启迪可以根据报名过程，使用分步乘法计数原理2分类加法计数原理与分步乘法计数原理解(1) 每人都可以从这三个比赛项目中选报一项，各有3 种不同选法，由分步乘法计数原理，知共有选法36 729(种 )(2) 每项限报一人，且每人至多参加一项，因此可由项目选人，第一个项目有6 种选法，第二个项目有5 种选法，第三个项目只有4 种选法，由分步乘法计数原理，得共有报名方法6 5 4120(种 ) (3) 由于每人参加的项目不限，因此每一个项目都可以从这六人中选出一人参赛，由分步乘法计数原理，得共

8、有不同的报名方法63 216(种 )思维升华利用分步乘法计数原理解决问题： 要按事件发生的过程合理分步，即分步是有先后顺序的； 各步中的方法互相依存，缺一不可，只有各个步骤都完成了才算完成这件事已知集合m 3， 2， 1,0,1,2 ，若 a， b， c m ，则：(1) y ax2 bx c 可以表示多少个不同的二次函数；(2) y ax2 bx c 可以表示多少个图象开口向上的二次函数解 (1) a 的取值有 5 种情况， b 的取值有 6 种情况， c 的取值有 6 种情况，因此 yax2 bx c 可以表示 56 6 180(个)不同的二次函数(2) y ax2 bx c 的图象开口向

9、上时，a 的取值有2 种情况， b、 c 的取值均有6 种情况，因此y ax2 bx c 可以表示 26 6 72(个 )图象开口向上的二次函数题型三 两个原理的综合应用例 3 如图所示，将一个四棱锥的每一个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两端异色，如果只有5 种颜色可供使用，求不同的染色方法总数思维启迪染色问题是常见的计数应用问题，可从选颜色、选顶点进行分类、分步，从不同角度解决问题解方法一可分为两大步进行，先将四棱锥一侧面三顶点染色，然后再分类考虑另外两顶点的染色数，用分步乘法计数原理即可得出结论由题设，四棱锥s abcd 的顶点 s、 a、 b 所染的颜色互不相同，它们共有5 4 3

10、60(种)染色方法当 s、 a、 b 染好时，不妨设其颜色分别为 1、 2、3，若 c 染 2，则 d 可染 3 或 4 或 5，有 3 种染法；若 c 染 4，则 d 可染 3 或 5，有 2 种染法；若 c 染 5，则 d 可染 3 或 4，有 2 种染法可见，当 s、 a、b 已染好时， c、 d 还有 7 种染法，故不同的染色方法有60 7420(种 )方法二以 s、a、 b、 c、 d 顺序分步染色第一步， s点染色，有5 种方法；第二步， a 点染色，与s 在同一条棱上，有4 种方法；3分类加法计数原理与分步乘法计数原理第三步， b 点染色，与s、a 分别在同一条棱上，有3 种方法

11、；第四步， c 点染色，也有3 种方法，但考虑到d 点与 s、 a、 c 相邻，需要针对a 与 c 是否同色进行分类，当a 与 c 同色时， d 点有 3 种染色方法；当a 与 c 不同色时，因为c 与 s、 b 也不同色， 所以 c 点有 2 种染色方法， d 点也有 2 种染色方法由分步乘法、分类加法计数原理得不同的染色方法共有5 4 3 (1 3 2 2)420(种 )方法三按所用颜色种数分类第一类，5 种颜色全用，共有5a 5种不同的方法；第二类，只用4 种颜色，则必有某两个顶点同色4(a 与 c，或 b 与 d )，共有 2a 5种不同的方法；第三类，只用3 种颜色，则a 与 c、

12、b 与 d 必定同色，共有3a 5种不同的方法由分类加法计数原理，得不同的染色方法总数为543 420(种 )a 2a a555思维升华用两个计数原理解决计数问题时，关键是明确需要分类还是分步(1) 分类要做到 “ 不重不漏 ” ，分类后再分别对每一类进行计数，最后用分类加法计数原理求和，得到总数(2) 分步要做到 “ 步骤完整 ” ，只有完成了所有步骤，才完成任务， 根据分步乘法计数原理，把完成每一步的方法数相乘，得到总数(3) 对于复杂问题，可同时运用两个计数原理或借助列表、画图的方法来帮助分析用红、黄、蓝、白、黑五种颜色涂在“田”字形的4 个小方格内，每格涂一种颜色，相邻两格涂不同的颜色

13、，如果颜色可以反复使用，共有多少种不同的涂色方法？解 如图所示，将 4 个小方格依次编号为1,2,3,4，第 1个小方格可以从 5种颜色中任取一种颜色涂上，有5 种不同的涂法 当第 2 个、第 3 个小方格涂不同颜色时，有 a 42 12(种 )不同的涂法， 第4 个小方格有3 种不同的涂法由分步乘法计数原理可知，有512 3180(种 ) 不同的涂法； 当第 2 个、第 3 个小方格涂相同颜色时，有4 种涂法，由于相邻方格不同色，因此，第4 个小方格也有4 种不同的涂法，由分步乘法计数原理可知有5 4 480(种 )不同的涂法由分类加法计数原理可得，共有180 80 260( 种 )不同的涂

14、法a 组专项基础训练一、选择题1从集合 1,2,3 ， 10 中任意选出三个不同的数，使这三个数成等比数列，这样的等比数列的个数为()a 3b 4c 6d 8解析 按从小到大顺序有 124,139,248,469共 4 个，同理按从大到小顺序也有4 个，故这样的等比数列的个数为 8 个4分类加法计数原理与分步乘法计数原理2. 现有 4 种不同颜色要对如图所示的四个部分进行着色，要求有公共边界的两块不能用同一种颜色，则不同的着色方法共有()a 24 种b 30 种c36 种d 48 种解析共有 4 3 2 2 48(种)，故选 d.3集合 p x,1 ，q y,1,2 ，其中 x，y 1,2,3

15、 ， 9 ，且 p? q.把满足上述条件的一对有序整数对 (x， y)作为一个点的坐标，则这样的点的个数是()a 9b14c 15d 21解析当 x 2 时， x y，点的个数为17 7(个 )；当 x 2 时， x y，点的个数为7 17( 个)，则共有 14 个点，故选b.4 (2013 东山 )用 0,1， 9 十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为()a 243b252c 261d 279解析0,1,2， ， 9 共能组成9 10 10 900(个 )三位数，其中无重复数字的三位数有9 9 8 648(个 ) 有重复数字的三位数有900 648 252(个 )5 (2013 川四

16、 )从 1,3,5,7,9 这五个数中，每次取出两个不同的数分别记为a， b，共可得到 lg alg b的不同值的个数是()a 9b 10c 18d 20aa213解析由于 lg a lg b lg (a0，b0) ，从1,3,5,7,9 中任取两个作为种，又 与相同，b有 a 5 2039b3921与 3相同， lg a lg b 的不同值的个数有a 2 20 2 18，选 c.5二、填空题6一个乒乓球队里有男队员5 名，女队员 4名，从中选取男、女队员各一名组成混合双打，共有_ 种不同的选法答案20解析先选男队员，有 5种选法，再选女队员有 4种选法，由分步乘法计数原理知共有5 420(种

17、 )不同的选法7某次活动中，有 30 人排成 6 行 5 列，现要从中选出3 人进行礼仪表演，要求这3 人中的任意 2人不同行也不同列，则不同的选法种数为_(用数字作答 ) 答案7 200解析其中最先选出的一个人有30 种方法，此时不能再从这个人所在的行和列上选人，还剩一个 5 行 4 列的队形，故选第二个人有20 种方法，此时不能再从该人所在的行和列上选人，还剩一个 4 行 3 列的队形，此时第三个人的选法有12 种，根据分步乘法计数原理，总的选法种数是30 20 12 7 200.8已知集合 m 1 ， 2,3 ，n 4,5,6， 7 ，从 m，n 这两个集合中各选一个元素分别作为点的横坐

18、标、纵坐标，则这样的坐标在直角坐标系中可表示第一、第二象限内不同的点的个数是_ 答案 6解析分两类：第一类，第一象限内的点，有22 4(个 )；5分类加法计数原理与分步乘法计数原理第二类，第二象限内的点，有1 2 2(个 )共 4 2 6(个 )三、解答题9某外语组有 9 人，每人至少会英语和日语中的一门，其中7 人会英语， 3 人会日语，从中选出会英语和日语的各一人，有多少种不同的选法？解 由题意得有 1 人既会英语又会日语， 6 人只会英语，2 人只会日语第一类：从只会英语的6 人中选1 人说英语，共有 6 种方法，则说日语的有2 1 3(种 )，此时共有 6 3 18(种 )；第二类：不

19、从只会英语的6 人中选 1 人说英语，则只有1 种方法，则选会日语的有2 种，此时共有 1 2 2(种)；所以根据分类加法计数原理知共有18 2 20(种 )选法10在某种信息传输过程中，用 4 个数字的一个排列 ( 数字允许重复 )表示一个信息， 不同排列表示不同信息若所用数字只有0 和 1，则与信息 0110 至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数为多少？解 方法一分 0 个相同、 1 个相同、 2 个相同讨论(1) 若 0 个相同，则信息为1001.共 1 个(2) 若 1 个相同，则信息为 0001,1101,1011,1000.共 4 个(3) 若 2 个相同，又分为以下情况： 若

20、位置一与二相同，则信息为0101 ； 若位置一与三相同，则信息为0011； 若位置一与四相同，则信息为0000 ； 若位置二与三相同，则信息为1111； 若位置二与四相同，则信息为1100； 若位置三与四相同，则信息为1010.共 6 个故与信息0110 至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数为1 4 6 11.方法二若 0 个相同，共有 1 个；1若 1 个相同，共有c4 4(个 )；2若 2 个相同，共有c4 6(个 )故共有 14 6 11(个 )复习与回顾一、立体几何：1.(2013 广东 ) 某四棱台的三视图如图所示，则该四棱台的体积是()6分类加法计数原理与分步乘法计数原理141

21、6a.4b. 3c. 3d.6解析由三视图知四棱台的直观图为由棱台的体积公式得：v 1(2 23141 12 2 1 1) 2 3 .2.(2013 课标全国 )已知 m，n 为异面直线，m平面 ，n平面 .直线 l 满足 l m， l n， l?， l?，则()a. 且 l b.且 l c.与 相交，且交线垂直于ld.与 相交，且交线平行于l解析假设 ，由 m 平面 ， n 平面 ，则 m n，这与已知m， n 为异面直线矛盾，那么与 相交，设交线为l 1，则 l 1 m，l1 n，在直线 m 上任取一点作n1 平行于 n，那么 l 1 和 l 都垂直于直线 m 与 n1 所确定的平面，所以

22、l 1 l .7分类加法计数原理与分步乘法计数原理3、如图，四棱锥p abcd 中，底面 abcd 为菱形， pa底面 abcd ， ac 22，pa 2， e 是 pc 上的一点， pe 2ec.(1) 证明： pc 平面 bed ；(2) 设二面角 apb c 为 90，求 pd 与平面 pbc 所成角的大小 .思维启迪利用 pa 平面 abcd 建立空间直角坐标系，利用向量求解.方法一(1)证明因为底面abcd 为菱形，所以 bd ac.又 pa底面 abcd ，所以 pc bd .如图，设ac bd f，连接 ef .因为 ac 22， pa 2， pe 2ec，2 3故 pc2 3，

23、 ec 3 ， fc 2，pcac从而 fc6，ec 6.pcac， fce pca ，因为 fc ec所以 fce pca， fec pac90 .由此知 pc ef.因为 pc 与平面 bed 内两条相交直线bd ， ef 都垂直，所以 pc 平面 bed.(2) 解 在平面 pab 内过点 a 作 ag pb， g 为垂足 .因为二面角a pb c 为 90 ，所以平面pab平面 pbc.又平面 pab 平面 pbc pb，故 ag平面 pbc， ag bc.因为 bc 与平面 pab 内两条相交直线pa， ag 都垂直，故 bc平面 pab，于是 bc ab，所以底面 abcd 为正方

24、形， ad 2，8分类加法计数原理与分步乘法计数原理pd pa2 ad 2 22.设 d 到平面 pbc 的距离为d.因为 ad bc，且 ad?平面 pbc ， bc? 平面 pbc，故 ad平面 pbc， a、 d 两点到平面pbc 的距离相等，即 d ag2.d1设 pd 与平面 pbc 所成的角为，则 sin pd 2.所以 pd 与平面 pbc 所成的角为30 .方法二(1)证明以 a 为坐标原点， 射线 ac 为 x 轴的正半轴， 建立如图所示的空间直角坐标系axyz，422则 c(2 2， 0,0)， p(0,0,2)， e 3 ， 0，3 ，设 d( 2， b,0)，其中 b0

25、，则 b( 2， b,0).22于是 pc (22， 0， 2)， be3 ， b，3，22de 3 ， b，3 ， 从而 pcbe 0，pcde 0，故 pc be， pc de .又 bede e，所以 pc 平面 bed.2， b,0).(2) 解 (0,0,2)，ab(ap设 m (x， y， z)为平面 pab 的法向量，则map 0， mab 0，即 2z 0 且2x by 0，令 xb，则 m (b， 2，0).设 n (p， q， r )为平面 pbc 的法向量，则n pc 0，nbe 0，即 2 2p 2r 0 且2p bq2r 0，339分类加法计数原理与分步乘法计数原理2

26、2令 p1，则 r 2，q b ， n 1， b ， 2 .因为二面角 a pb c 为 90 ，所以面 pab面 pbc，故 mn 0，即 b2 0，故 b 2，b于是 n (1， 1，2，2， 2)，2)， dp (1ndp所以 cos n，dp 2，|n|dp|.所以 n， dp 60因为 pd 与平面 pbc 所成角和 n，dp 互余，故 pd 与平面 pbc 所成的角为 30 .二、圆锥曲线：1双曲线的焦点在x 轴上，实轴长为4，离心率为 3，则该双曲线的标准方程为_，渐近线22方程为 _ 答案x y 1 y 22x432解析由题意设双曲线的标准方程为x2y2ca2 b21(a0，

27、b0) ，则 2a 4，即 a 2， e a 3，则 c 6， b 42，所以双曲线的标准方程为x2y2b4 1，渐近线方程为y x2 2x.32a2、若点 (3,1)是抛物线 y2 2px 一条弦的中点，且这条弦所在直线的斜率为2，则 p _.答案2解析设弦两端点为p1(x1， y1)， p2(x2， y2)，2y1 y2y1 2px12p 2.则，两式相减得，2x1 x2 y1 y2y 2px22又 y1 y2 2， p2.3、已知椭圆 e 的左、右焦点分别为f 1、f 2，过 f 1 且斜率为 2 的直线交椭圆e 于 p、q 两点，若 pf1f2为直角三角形，则椭圆e 的离心率为()52

28、21a. 3b. 3c. 3d.3解析 由题意可知， f1pf 2 是直角，且 tan pf 1f22， |pf 2|pf 1|12| 2a， |pf12a24a 2，又 |pf| |pf| 3 ，|pf| 3 .10分类加法计数原理与分步乘法计数原理2a24a 2 (2c)2根据勾股定理得3 3，c 5所以离心率 ea 3 .224、已知双曲线 x2 y2 1 (a0 ，b0) 与抛物线 y28x 有一个公共的焦点f ，且两曲线的一个交点为p，ab若 |pf| 5，则双曲线的渐近线方程为()32a.y 3xb.y3 xc.y 2xd.y 2 x解析设点 p(x0，y0).依题意得，焦点 f(2,0