选修2-2第一章1.1-1.4学案 文档

1、1.1.1变化率问题学习目标：1理解平均变化率的概念；2了解平均变化率的几何意义；3会求函数在某点处附近的平均变化率重点：平均变化率的概念、函数在某点处附近的平均变化率； 难点：平均变化率的概念新知学习：（一）问题提出问题1 气球膨胀率 我们都吹过气球回忆一下吹气球的过程,可以发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加越来越慢.从数学角度,如何描述这种现象呢?n 气球的体积V(单位:L)与半径r(单位:dm)之间的函数关系是 n 如果将半径r表示为体积V的函数,那么 思考：当空气容量从V1增加到V2时,气球的平均膨胀率是多少? 问题2 高台跳水（教材3页）探究：计算运动员在这段时间里的平均

2、速度，并思考以下问题：运动员在这段时间内使静止的吗？hto 你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？探究过程：如图是函数h(t)= -4.9t2+6.5t+10的图像，结合图形可知，所以，虽然运动员在这段时间里的平均速度为，但实际情况是运动员仍然运动，并非静止，可以说明用平均速度不能精确描述运动员的运动状态（二）平均变化率概念:1上述问题中的变化率可用式子 表示, 称为函数f(x)从x1到x2的平均变化率2若设, (这里看作是对于x1的一个“增量”可用x1+代替x2,同样)3 则平均变化率为思考：观察函数f(x)的图象y =f(x2)-f(x1)平均变化率表示什么?f(x2)y=f(

3、x)yf(x1)直线AB的斜率x= x2-x1x2x1xO典例分析例1已知函数f(x)=的图象上的一点及临近一点,则 例2.求在附近的平均变化率。四课堂练习1质点运动规律为，则在时间中相应的平均速度为 2.过曲线y=f(x)=x3上两点P（1，1）和Q (1+x,1+y)作曲线的割线，求出当x=0.1时割线的斜率.五回顾总结1平均变化率的概念2函数在某点处附近的平均变化率1.1.2导数的概念学习目标：1了解瞬时速度、瞬时变化率的概念；2理解导数的概念，知道瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵；3会求函数在某点的导数重点：瞬时速度、瞬时变化率的概念、导数的概念； 难点：导数的概念新知学习：

4、1瞬时速度 我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度。运动员的平均速度不能反映他在某一时刻的瞬时速度，那么，如何求运动员的瞬时速度呢？比如，时的瞬时速度是多少？考察附近的情况：（见教材4页表）思考：当趋近于0时，平均速度有什么样的变化趋势？为了表述方便，我们用 表示“当，趋近于0时，平均速度趋近于定值”小结： 局部以匀速代替变速，以平均速度代替瞬时速度，然后通过取极限，从瞬时速度的近似值过渡到瞬时速度的精确值。2 导数的概念从函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率是: 我们称它为函数在出的导数，记作或，即 说明：（1）导数即为函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率 （2），当时， 所以三、典

5、例分析例1（1）求函数y=3x2在x=1处的导数.分析：先求f=y=f(x)-f()=6x+(x)2再求再求例2（课本6页例1）四课堂练习1质点运动规律为，求质点在的瞬时速度为2求曲线y=f(x)=x3在时的导数3例2中，计算第时和第时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义五回顾总结1瞬时速度、瞬时变化率的概念2导数的概念1.1.3导数的几何意义学习目标：1了解平均变化率与割线斜率之间的关系；2理解曲线的切线的概念；3通过函数的图像直观地理解导数的几何意义，并会用导数的几何意义解题；重点：曲线的切线的概念、切线的斜率、导数的几何意义； 难点：导数的几何意义新知学习（一）曲线的切线及切线的斜率

6、：（课本7页图1.1-2） 当点沿着曲线无限接近点P即x0时,割线趋近于确定的位置，这个确定位置的直线PT称为曲线在点P处的切线.问题：割线的斜率与切线PT的斜率有什么关系？ 切线PT的斜率为多少？ 割线的斜率是 ,当点沿着曲线无限接近点P时，无限趋近于切线PT的斜率，即 说明：（1）设切线的倾斜角为,那么当x0时,割线PQ的斜率,称为曲线在点P处的切线的斜率.这个概念: 提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法; 切线斜率的本质函数在处的导数.（2）曲线在某点处的切线:1)与该点的位置有关;2)要根据割线是否有极限位置来判断与求解.如有极限,则在此点有切线,且切线是唯一的;如不存在,则在此点处

7、无切线;3)曲线的切线,并不一定与曲线只有一个交点,可以有多个,甚至可以无穷多个.（二）导数的几何意义：函数y=f(x)在x=x0处的导数等于在该点处的切线的斜率， 即 说明：求曲线在某点处的切线方程的基本步骤:求出P点的坐标;求出函数在点处的变化率 ，得到曲线在点的切线的斜率；利用点斜式求切线方程.（二）导函数：由函数f(x)在x=x0处求导数的过程可以看到,当时, 是一个确定的数，那么,当x变化时,便是x的一个函数,我们叫它为f(x)的导函数.记作：或，即: 注：在不致发生混淆时，导函数也简称导数（三）函数在点处的导数、导函数、导数 之间的区别与联系。1）函数在一点处的导数，就是在该点的函

8、数的改变量与自变量的改变量之比的极限，它是一个常数，不是变数。2）函数的导数，是指某一区间内任意点x而言的， 就是函数f(x)的导函数 3）函数在点处的导数就是导函数在处的函数值，这也是 求函数在点处的导数的方法之一。三典例分析例1:（1）求曲线y=f(x)=x2+1在点P(1,2)处的切线方程.（2）求函数y=3x2在点处的导数.例2（课本7页例2）例3（课本8页例3）四课堂练习1求曲线y=f(x)=x3在点处的切线；2求曲线在点处的切线五回顾总结1曲线的切线及切线的斜率；2导数的几何意义导数与导函数的概念（复习）学习目标：理解导数的概念、掌握简单函数导数符号表示和求解方法；理解导数的几何意

9、义； 理解导函数的概念和意义；重点： 1、导数的求解方法和过程；2、导数符号的灵活运用难点： 1、导数概念的理解；2、导函数的理解、认识和运用1、求函数在点（2，4）处的切线斜率。，故斜率为4 2、直线运动的汽车速度V与时间t的关系是，求时的瞬时速度。，故斜率为4 上述两个函数和中，当()无限趋近于0时，()都无限趋近于一个常数。归纳：一般的，定义在区间（，）上的函数，当无限趋近于0时，无限趋近于一个固定的常数A，则称在处可导，并称A为在处的导数，记作或，上述两个问题中：（1），（2）几何意义：在处的导数就是在处的切线斜率。导函数的概念涉及：的对于区间（,）上任意点处都可导，则在各点的导数也随

10、x的变化而变化，因而也是自变量x的函数，该函数被称为的导函数，记作。四、例题选讲例1、求下列函数在相应位置的导数（1） ， （2），（3），例2、函数满足，则当x无限趋近于0时，（1） （2） 变式:设f(x)在x=x0处可导，（3）无限趋近于1，则=_（4）无限趋近于1，则=_（5）当x无限趋近于0，所对应的常数与的关系。总结：导数等于纵坐标的增量与横坐标的增量之比的极限值。例3、若，求和注意分析两者之间的区别。1.2.1几个常用函数的导数学习目标：1使学生应用由定义求导数的三个步骤推导四种常见函数、的导数公式； 2掌握并能运用这四个公式正确求函数的导数重点：四种常见函数、的导数公式及应用难

11、点： 四种常见函数、的导数公式教学过程：一回顾我们知道，导数的几何意义是曲线在某一点处的切线斜率，物理意义是运动物体在某一时刻的瞬时速度那么，对于函数，如何求它的导数呢？由导数定义本身，给出了求导数的最基本的方法，但由于导数是用极限来定义的，所以求导数总是归结到求极限这在运算上很麻烦，有时甚至很困难，为了能够较快地求出某些函数的导数，这一单元我们将研究比较简捷的求导数的方法，下面我们求几个常用的函数的导数二新知1函数的导数 根据导数定义，因为 所以 函数导数2函数的导数因为 所以 函数导数3函数的导数因为 所以 函数导数4函数的导数因为 所以 函数导数（2）推广：若，则三课堂练习1课本P13探

12、究12课本P13探究23求函数的导数四回顾总结1.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则（1）学习目标：1熟练掌握基本初等函数的导数公式； 2掌握导数的四则运算法则；3能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数重点：基本初等函数的导数公式、导数的四则运算法则难点： 基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则的应用新知学习：（一）基本初等函数的导数公式表函数导数（二）导数的运算法则导数运算法则123（2）推论： （常数与函数的积的导数，等于常数乘函数的导数）三典例分析例根据基本初等函数的导数公式和导数运算法则，求下列函数的导数（1）（2）y ；（3）y x si

13、n x ln x；（4）y ；（5）y （6）y （2 x25 x 1）ex（7） y 【点评】 求导数是在定义域内实行的 求较复杂的函数积、商的导数，必须细心、耐心四课堂练习课本P18练习五回顾总结（1）基本初等函数的导数公式表（2）导数的运算法则1.2.2复合函数的求导法则（2）学习目标： 理解并掌握复合函数的求导法则重点：复合函数的求导方法：复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量的导数乘以中间变量对自变量的导数之积难点：正确分解复合函数的复合过程，做到不漏，不重，熟练，正确一回顾基本初等函数的导数公式背写：二新知学习复合函数的概念 ：一般地，对于两个函数和，如果通过变量，可以表示

14、成的函数，那么称这个函数为函数和的复合函数，记作 。复合函数的导数：复合函数的导数和函数和的导数间的关系为，即对的导数等于对的导数与对的导数的乘积若，则 。三典例分析例1求y sin（tan x2）的导数分析： 求复合函数的导数，关键在于搞清楚复合函数的结构，明确复合次数，由外层向内层逐层求导，直到关于自变量求导，同时应注意不能遗漏求导环节并及时化简计算结果例2求y sin4x cos 4x的导数【解法一】是先化简变形，简化求导数运算，要注意变形准确【解法二】利用复合函数求导数，应注意不漏步例3曲线y x（x 1）（2x）有两条平行于直线y x的切线，求此二切线之间的距离四课堂练习1求下列函数

15、的导数 (1) y =sinx3+sin33x（2）2.求的导数五回顾总结1.3.1函数的单调性与导数（2课时）学习目标：1了解可导函数的单调性与其导数的关系； 2能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间，对多项式函数一般不超过三次；重点：利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间难点： 利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间新知学习：1.函数的单调性与导数的关系观察课本23图1.3-2函数的图像，探讨函数的单调性与其导数正负的关系 在某个区间内，如果 ，那么函数在这个区间内单调递增；如果 ，那么函数在这个区间内单调递减说明：（1）特别的，如果

16、 ，那么函数在这个区间内是常函数2求解函数单调区间的步骤：（1）确定函数的定义域；（2）求导数；（3）解不等式，解集在定义域内的部分为增区间；（4）解不等式，解集在定义域内的部分为减区间三典例分析例1已知导函数的下列信息：当时，；当，或时，；当，或时，试画出函数图像的大致形状例2判断下列函数的单调性，并求出单调区间（1） ； （2）（3）； （4） 4 课堂练习1.求证：函数在区间内是减函数2.已知函数 在区间上是增函数，求实数的取值范围说明：已知函数的单调性求参数的取值范围是一种常见的题型，常利用导数与函数单调性关系：即“若函数单调递增，则；若函数单调递减，则”来求解，注意此时公式中的等号不

17、能省略，否则漏解五回顾总结（1）函数的单调性与导数的关系（2）求解函数单调区间（3）证明可导函数在内的单调性1.3.2函数的极值与导数（2课时）学习目标：1.理解极大值、极小值的概念；2.能够运用判别极大值、极小值的方法来求函数的极值；3.掌握求可导函数的极值的步骤；重点：极大、极小值的概念和判别方法，以及求可导函数的极值的步骤.难点：对极大、极小值概念的理解及求可导函数的极值的步骤.课前准备： 函数的单调增区间为 ，单调减区间为 ，画出的草图新知学习：观察3的中的草图，思考以下问题:(1)函数在x= -2、2点的函数值与它们附近的函数值相比较有什么关系?(2)函数在x= -2、2点的导数值是

18、多少?(3)在x= -2、2点两侧：的单调性有什么关系？值的符号有什么规律？1、极值的定义：设可导函数在附近有定义，如果对于x0附近的所有点都有f(x)f(x0),就称f(x0)是函数f(x)的一个极小值.记作y极小值= ， 叫极小值点；极大值与极小值统称为极值, 极大值点与极小值点统称为极值点.探究任务一1、下图是函数的图象，则极大值点是 ，极小值点是 .（第1题） 2、上图是导函数的图象，函数y=f(x)的极大值点是_ _,极小值点是 .小结：在原函数图象上怎么找极值点？在导函数图象上怎么找极值点？提示：若x0是的极值点，则在x0两侧的单调性 ,值的符号 探究任务二：借助本学案，举例说明1

19、.当导数时，是否一定为y= 的极值点？2.由第1问可知是为y=的极值点的_条件？3.思考：需要满足哪些条件才能成为y=的极值点呢？典型例题例题1：求函数的极值. 小结：求函数极值的解题步骤例题2:若在处有极值10，求a、b的值. 要注意的问题 1.3.3函数的最大（小）值与导数（2课时）学习目标：理解函数的最大值和最小值的概念，掌握可导函数在闭区间上所有点处的函数中的最大（或最小）值必有的充分条件；掌握用导数求函数的极值及最值的方法和步骤 重点：利用导数求函数的最大值和最小值的方法难点：函数的最大值、最小值与函数的极大值和极小值的区别与联系新知学习：观察图中一个定义在闭区间上的函数的图象图中与

20、是极小值，是极大值函数在上的最大值是，最小值1最值：一般地，在闭区间上函数的图像是一条连续不断的曲线，那么函数在上必有最大值与最小值说明：如果在某一区间上函数的图像是一条连续不断的曲线，则称函数在这个区间上连续给定函数的区间必须是闭区间，在开区间内连续的函数不一定有最大值与最小值如函数在内连续，但没有最大值与最小值；在闭区间上的每一点必须连续，即函数图像没有间断，函数在闭区间上连续，是在闭区间上有最大值与最小值的充分条件而非必要条件2“最值”与“极值”的区别和联系最值”是整体概念，是比较整个定义域内的函数值得出的，具有绝对性；而“极值”是个局部概念，是比较极值点附近函数值得出的，具有相对性从个

21、数上看，一个函数在其定义域上的最值是唯一的；而极值不唯一；函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个极值只能在定义域内部取得，而最值可以在区间的端点处取得，有极值的未必有最值，有最值的未必有极值；极值有可能成为最值，最值只要不在端点必定是极值3利用导数求函数的最值步骤:一般地，求函数在上的最大值与最小值的步骤如下：求在内的极值；将的各极值与端点处的函数值、比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值，得出函数在上的最值三典例分析例、求在的最大值与最小值 四课堂练习1下列说法正确的是( )A.函数的极大值就是函数的最大值 B.函数的极小值就是函数

22、的最小值C.函数的最值一定是极值 D.在闭区间上的连续函数一定存在最值2函数y=f(x)在区间a,b上的最大值是M，最小值是m,若M=m,则f(x) ( )A.等于0B.大于0 C.小于0D.以上都有可能五回顾总结1函数在闭区间上的最值点必在下列各种点之中：导数等于零的点，导数不存在的点，区间端点；2函数在闭区间上连续，是在闭区间上有最大值与最小值的充分条件而非必要条件；3闭区间上的连续函数一定有最值；开区间内的可导函数不一定有最值，若有唯一的极值，则此极值必是函数的最值 4利用导数求函数的最值方法1.4生活中的优化问题举例（2课时）学习目标：1 使利润最大、用料最省、效率最高等优化问题，体会导数在解决实际问题中的作用提高将实际问题转化为数学问题的能力重点：利用导数解决生活中的一些优化问题难点：利用导数解决生活中的一些优化问题一导入生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题通过前面的学习，我们知道，导数