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1、证,P31 3(3),P31 4(1),证,(3),(2),证,证,定理,1.5 函数的极限及性质,1. 函数极限的定义,3. 无穷小与无穷大的定义,2. 函数极限的性质,设对充分大的x,函数 处处有定义.,如果随着x的无限增大,相应的函数值,无限接近某一常数 A.,分别用记号,x沿负方向无限增大,x沿正负方向无限增大,x沿正方向无限增大,1) 自变量趋向无穷大时函数的极限,记作,直观定义,就称当x无限增大时,f(x) 以A为极限.,1. 函数极限的定义,用数学语言如何刻划,(1) 定义,记作,或,想一想,(2) 另两种情形,解,可见,和,虽然都存在,但它们不相等.,如果在x的某种趋向下,并不

2、无限接近,一个常数,则称:,在x的该种趋向下,例,当|x|无限增大时,都不无限接近一个常数,因此,都不存在.,不存在.,记,图形,完全落在:,例,证,要使,成立.,有,从函数图形易观察出：,为一条水平渐近线,定义,例如,2) 自变量趋向有限值时函数的极限,相应的函数值 无限接近某一常数 A,记作,设函数 在 附近有定义.,如果随着x无限靠近,直观定义,就称当x靠近 时,f(x) 以A为极限.,1,用数学语言如何刻划,想一想,(1)定义,设函数,有定义.,记作,或,恒有,在点x0某去心邻域内,(1)定义中的,所以,f (x)有没有极限与f (x)在点x0,是否有定义并无关系.,(2)定义中 标志

3、x接近x0的程度,也将越小.,表示,它与,一般地说,越小,有关.,图形,完全落在:,例,证,例,证,例,证,函数在点,处没有定义.,要使,例,证,min,左极限,右极限,(3)单侧极限:,且,性质常用于判断分段函数当x趋近于,分段点,时的极限.,例,解,左右极限存在且相等,左右极限存在但不相等,证,练一练,试证函数,证,左、右极限不相等,故,练一练,解,左、右极限相等,故,练一练,设函数,且,存在,则,总结一下,x的趋向一共有六种:,2. 函数极限的性质,(1)局部有界性,证,局部有界性,推论,(3)局部保号性,(2)唯一性,(或A0),(f(x)0).,(f(x)0),(A0).,其它极限过

4、程，局部保号性，也有相应的形式,3. 无穷小与无穷大的定义,(1)无穷小的定义:,极限为零的变量称为无穷小,例如,定义,1.无穷小是变量,不能与很小的数混淆;,2.零是可以作为无穷小的唯一的数.,“无穷小量”并不是表达量的大小,而是表达它的变化状态的.,“无限变小的量”,注意,无穷小与函数极限的关系,证,必要性,充分性,定理,绝对值无限增大的变量称为无穷大.,(2)无穷大的定义:,在某一变化过程中，函数的,如何用数学语言刻划函数f(x)的绝对值“无限增大”.,想一想,证,例,的图形的,垂直渐近线.,观察下列函数在相应的过程下的变化情况：,1.无穷大是变量,不能与很大的数混淆;,3. 无穷大是一种特殊的无界变量,但是无界变量未必是无穷大.,注意,如,是无界函数,但 不是无穷大,1. 函数极限的,或,定义;,2. 函数极限的性质,局部保号性;,小结,唯一性;,局部有界