概率论课件-2-4二维随机变量及其概率分布23p.ppt

1、,第二章,第四节,二维随机变量及其概率分布(23),一、二维随机变量的概念,二、二维离散型随机变量,三、二维连续型随机变量,以上我们只限讨论一个随机变量的情况,但在实际问题,一、二维随机变量的概念,定义1,有些随机试验的结果需要用两个或两个以上的随机变,量来描述.,例如:,为了研究大学生身体发育状况,中,学生进行抽查,对某校大,对于每个学生都能观察到他的身高H和体,重W,这里H和W是两个随机变量,类似的例子还有许多.,设随机试验 E 的样本空间为 ,X ,Y 是定义在, 上的两个随机变量,则二维向量( X , Y ) 称为二维随机,向量或二维随机变量.,二维随机变量( X , Y )的性质不仅

2、与 X 及 Y 有关,而且还依赖于这两个随机变量的相互关系,注意:,定义2,因此逐个研究,体来进行研究.,还必须将( X ,Y ) 作为一个整,与一维的情况类似,我们也借助于分布函数来研究二,设( X , Y ) 是二维随机变量,对任意实数 x , y ,二元函数,称为二维随机变量( X ,Y ) 的联合分布函数.,随机变量 X 与 Y 是不够的,维随机变量.,(1),在几何上,若把二维随机变量( X ,Y )看作平面上随机点,的坐标,那么联合分布函数 F (x ,y)在点(x , y)处的函数,值,就是随机点(X ,Y)落在以点(x , y)为顶点的左下方无,穷矩形域内的概率.,由联合分布函

3、数的几何意义很容易得出,落在一个矩形区域,内的概率,为:,(2),随机点( X ,Y ),定理1,(1) F ( X , Y )关于x ,y 均是非减函数;,(2),（3）关于均是右连续函数；,（4）对任意，均有,二维随机变量( X ,Y )的联合分布函数 F (x , y),具有以下性质:,注意到:,同理:,分别称为二维随机变量( X ,Y )关于X ,二维随机变量( X , Y )的分量 X 与Y 分别是一维,随机变量,通过( X , Y ) 的联合分布函数F ( X , Y )可以求,出 X 与Y 各自的分布函数,与,与,关于Y 的边缘分布函数.,即有:,(3),(4),二、二维离散型随

4、机变量,则称( X , Y ) 是二维离,若二维随机变量( X ,Y )的全部可能取值是有限多对,或可列无穷多对,并称,为二维离散型随机变量( X , Y ) 的联合分布律.,联合分布律的性质:,(1),(2),散型随机变量.,的联合分布律通常用表格(矩阵)给出：,( X ,Y )的联合分布函数F ( x ,y),其中,由(X ,Y )的联合分布律还可求出 X 与 Y 各自的分布律.,求出:,是对一切满足,的,求和.,可由上面的联合分布律,(5),记:,分别称为( X ,Y )关于 X 关于 Y 的边缘分布律.,在联合分布律的表格中,将每行与每列相加即可得到,边缘分布律.,例1.,设随机变量

5、X 在1 , 2 , 3 , 4 这四个整数中等可能,另一个随机变量 Y 在1 X 中等可能地取一整数,解:,由于 X = i ,Y = j 的取值情况是:,j 取不大于i 的正整数 ,由乘法公式容易求得:,所以( X , Y )的联合分布律与边缘分布律为:,试求二维随机变量 ( X , Y ) 的联合分布律及边缘,i = 1 , 2 , 3 , 4 ,取值,值,布律.,1 2 3 4,即有 X 边缘分布律:,Y 边缘分布律:,123 4,X,123 4,Y,也即有:,三、二维连续型随机变量,实数 x ,y 都有,定义3.,函数,( X ,Y )的联合概率密度函数.,则称( X ,Y )为二维

6、连续型随机变量,设F (x , y) 为二维随机变量( X , Y )的联合分布,若存在一个非负二元函数 f ( x ,y ) ,使对任意,(6),并称 f (x ,y) 为,联合概率密度函数 f (x ,y) 的性质:,(1) f (x , y ) 0 ;,(3) 若 f ( x ,y ) 在点( x ,y ) 处连续,(4),性质(4)表明在几何上,概率,则有,( X ,Y )落在某平面区域 D 中的,在数值上就是 f ( x ,y ) 在区域 D 上的二重积分.,由( X ,Y )的联合概率密度函数 f ( x ,y ),变量 X 和 Y 的概率密度函数,因为,而,所以,同理有,称为( X , Y )关于 X 的边缘概率密度函数;,称为( X ,Y )关于 Y 的边缘概率密度函数.,和,(7),(8),可求得一维随机,例3.,(2),X ,Y 的边缘概率密度函数;,求:,及,(3)求( X ,Y )的联合分布函数 F ( X ,Y ) .,解:,(1).,设 ( X , Y )的联合概率密度函数为,(1),(2).,当x 0 或 x 1 时,则,当0 x 1时,则有,同理:,(3).,当x 0 或