高中数学 第二章 变化率与导数章末小结知识整合与阶段检测教学案 北师大版选修

1、第二章 变化率与导数对应学生用书P25一、导数的概念1函数在点x0处的导数f(x0)li ，x是自变量x在x0附近的改变量，它可正、可负，但不可为零，f(x0)是一个常数2导函数f(x)li ，f(x)为f(x)的导函数，不是一个常数二、导数的几何意义1f(x0)是函数yf(x)在点(x0，f(x0)处切线的斜率，这是导数的几何意义2求切线方程常见的类型有两种：一是函数yf(x)“在点xx0处的切线方程”，这种类型中(x0，f(x0)是曲线上的点，其切线方程为yf(x0)f(x0)(xx0)二是函数yf(x)“过某点的切线方程”，这种类型中，该点不一定为切点，可先设切点为Q(x1，y1)，则切

2、线方程为yy1f(x1)(xx1)，再由切线过点P(x0，y0)得y0y1f(x1)(x0x1)，又y1f(x1)，由上面两个方程可解得x1，y1的值，即求出了过点P(x0，y0)的切线方程三、导数的运算1基本初等函数的导数(1)f(x)c，则f(x)0；(2)f(x)x，则f(x)x1；(3)f(x)ax(a0且a1)，则f(x)axln a；(4)f(x)logax，则f(x)；(5)f(x)sin x，则f(x)cos x；(6)f(x)cos x，则f(x)sin x；(7)f(x)tan x，则f(x)；(8)f(x)cot x，则f(x).2导数四则运算法则(1)f(x)g(x)f

3、(x)g(x)；(2)f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)；(3).3复合函数的求导法则设复合函数g(x)在点x处可导，yf()在点处可导，则复合函数f(g(x)在点x处可导，且f(x)f()g(x)，即yxyx.利用复合函数求导法则求导后，要把中间变量换成自变量(时间90分钟，满分120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1已知函数f(x)，则f()ABC8 D.16解析：f(x)(x2)2x3，f2316.答案：D2若曲线f(x)x2axb在点(0，b)处的切线方程是xy10，则()Aa1，b1 Ba1，b1

4、Ca1，b1 D.a1，b1解析：由f(x)2xa，得f(0)a1，将(0，b)代入切线方程得b1，故选A.答案：A3函数yf(x)在xx0处的导数f(x0)的几何意义是()A在点xx0处的函数值B在点(x0，f(x0)处的切线与x轴所夹锐角的正切值C曲线yf(x)在点(x0，f(x0)处的切线的斜率D点(x0，f(x0)与点(0,0)连线的斜率答案：C4若f(x)sin cos x，则f(x)()Asin x Bcos xCcos sin x D.2sin cos x解析：函数是关于x的函数，因此sin 是一个常数答案：A5曲线yxx3在点处的切线和坐标轴围成的三角形的面积为()A3 B2C

5、. D.解析：y1x2，故切线的斜率kf(1)2，又切线过点，切线方程为y2(x1)，即y2x，切线和x轴，y轴交点为，.故所求三角形的面积，故选D.答案：D6函数f(x)xsin x的导函数f(x)在区间，上的图像大致为()解析：f(x)xsin x，f(x)sin xxcos x，f(x)sin xxcos xf(x)，f(x)为奇函数，由此可排除A，B，D，故选C.答案：C7若f(x)log3(2x1)，则f(3)()A. B2ln 3C. D.解析：f(x)，f(3).答案：D8若函数f(x)满足f(x)x3f(1)x2x，则f(1)的值为()A0 B2C1 D.1解析：f(x)x22

6、f(1)x1，所以f(1)12f(1)1，则f(1)0.答案：A9函数y(a0)在xx0处的导数为0，那么x0()Aa BaCa D.a2解析：因为y，所以xa20，解得x0a.答案：B10若函数f(x)eax(a0，b0)的图像在x0处的切线与圆x2y21相切，则ab的最大值是()A4 B2C2 D.解析：函数的导数为f(x)eaxa，所以f(0)e0a，即在x0处的切线斜率k，又f(0)e0，所以切点为，所以切线方程为yx，即axby10.圆心到直线axbx10的距离d1，即a2b21，所以a2b212ab，即0ab.又a2b2(ab)22ab1，所以(ab)22ab1112，即ab，所以

7、ab的最大值是，选D.答案：D二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分请把正确的答案填在题中的横线上)11若f(x)log3(x1)，则f(2)_.解析：f(x)log3(x1)，f(x)log3(x1)，f(2).答案：12已知0x，f(x)x2，g(x)，则f(x)与g(x)的大小关系是_解析：由题意，得f(x)2x，g(x) .由0x，知0f(x)1，故f(x)g(x)答案：f(x)g(x)13已知函数f(x)ln(x1)，其中实数a1.若a2，则曲线yf(x)在点(0，f(0)处的切线方程为_解析：f(x).当a2时，f(0)，而f(0)，因此曲线yf(x)在点(0，f(0)处

8、的切线方程为y(x0)，即7x4y20.答案：7x4y2014曲线yf(x)ln(2x1)上的点到直线2xy30的最短距离是_解析：f(x)，由2，得x1，又f(1)0，所以与直线2xy30平行的切线的方程为y2(x1)，则两直线间的距离，即曲线上的点到直线2xy30的最短距离为d.答案：三、解答题(本大题共4小题，共50分解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15(本小题满分12分)求下列函数的导数：(1)ysin x；(2)y(x22)(3x1)；(3)yxex；(4)ysin 2x.解：(1)y(sin x)cos x.(2)y(x22)(3x1)(x22)(3x1)2x(3x

9、1)3(x22)9x22x6.(3)yxexx(ex)exxex(1x)ex.(4)y(sin 2x)2cos 2xcos 2x.16(本小题满分12分)求满足下列条件的函数f(x)(1)f(x)是三次函数，且f(0)3，f(0)0，f(1)3，f(2)0；(2)f(x)是二次函数，且x2f(x)(2x1)f(x)1.解：(1)由题意设f(x)ax3bx2cxd(a0)，则f(x)3ax22bxc.由已知解得a1，b3，c0，d3，故f(x)x33x23.(2)由题意设f(x)ax2bxc(a0)，则f(x)2axb.所以x2(2axb)(2x1)(ax2bxc)1，化简得(ab)x2(b2c

10、)xc1，此式对任意x都成立，所以解得a2，b2，c1，即f(x)2x22x1.17(本小题满分12分)已知函数f(x)x33xf(a)(其中aR)，且f(a)，求：(1)f(x)的表达式；(2)曲线yf(x)在xa处的切线方程解：(1)f(x)x23f(a)，于是有f(a)a23f(a)f(a)，f(x)x3x，又f(a)，即a3a3a1，f(x)x3x；(2)由(1)知切点为，切线的斜率f(a)，切线方程为y(x1)，即3x6y40.18(本小题满分14分)设函数f(x)ax(a，bZ)在点(2，f(2)处的切线方程为y3.(1)求f(x)的解析式；(2)求曲线yf(x)在点(3，f(3)处的切线与直线x1和直线yx所围三角形