高中数学 第3章函数的应用函数与方程同步精品学案 新人教A版必修

1、3.1函数与方程1函数零点的概念对于函数yf(x) (xD)，我们把使f(x)0成立的实数x叫做函数yf(x) (xD)的零点注意以下两点：(1)方程f(x)0有实数根函数yf(x)的图象与x轴有交点函数yf(x)有零点(2)函数零点的求法：代数法：求方程f(x)0的实数根；几何法：对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数yf(x)的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点2函数零点的判断一般地，如果函数yf(x)在区间a，b上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)f(b)0，那么，函数yf(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c(a，b)，使得f(c)0，这个c也就是f(x)0的根我们不妨

2、把这一结论称为零点存在性定理对函数零点存在性定理的理解(1)并不是所有的函数都有零点，如函数y.(2)函数yf(x)如果满足：函数在区间a，b上的图象是连续不断的一条曲线，f(a)f(b)0，则函数yf(x)在区间(a，b)内有零点(3)对于有些函数，即使它的图象是连续不断的，当它通过零点时，函数值也不一定变号如函数yx2有零点x00，但显然函数值没有变号但是，对于任意一个函数，相邻的两个零点之间所有的函数值保持同号(4)函数在区间a，b上的图象是连续不断的一条曲线，且在区间(a，b)上单调，若f(a)f(b)0，则函数yf(x)在(a，b)内有且只有一个零点但要注意：如果函数yf(x)在a，

3、b上的图象是连续不断的曲线，且x0是函数在这个区间上的一个零点，却不一定有f(a)f(b)0.3二分法所谓二分法，就是通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法用二分法求函数零点近似值的注意点(1)在第一步中要使：区间a，b的长度尽量小；f(a)、f(b)的值比较容易计算，且f(a)f(b)0.(2)根据函数的零点与相应方程根的关系，求函数的零点与求相应方程的根是等价的对于求方程f(x)g(x)，可以构造函数F(x)f(x)g(x)，函数F(x)的零点即为方程f(x)g(x)的根. 题型一判断零点所在区间根据表格中的数据，可以判定方程exx

4、20的一个根所在的区间是_.x10123ex0.3712.727.3920.09x212345解析令f(x)exx2，由图表知f(1)0.3710.630，f(0)1210，f(1)2.7230.280，f(3)20.09515.090，由于f(1)f(2)0时，f(x)2 008xlog2 008x，则函数f(x)的零点的个数为()A1B2C3D2 006解析因为函数f(x)为R上的奇函数，所以f(0)0，因为log2 0081,2 0081，所以f2 008log2 0080，所以，当x0时，f(x)2 008xlog2 008x，函数在区间内存在零点，又根据单调函数的定义可证明f(x)在

5、(0，)上为增函数，因此在(0，)内有且仅有一个零点根据对称性可知函数在(，0)内有且仅有一个零点，从而函数在R上零点的个数为3，故选C.答案C点评认识函数的性质是问题获解的关键，奇偶性保证函数的对称性，换句话说，有奇偶性的函数的零点(除原点外)是成对出现的注意到函数为奇函数且在原点有定义，因此有f(0)0.其次是函数的单调性，保证了函数零点在单调区间内的唯一性，当然零点的判定方法也是问题获解不可或缺的部分 题型三用二分法求方程的近似解求方程x22x1的一个近似解(精确度0.1)解设f(x)x22x1.f(2)10，在区间(2,3)内，方程x22x10有一解，记为x0.取2与3的平均数2.5，

6、f(2.5)0.250，2x02.5；再取2与2.5的平均数2.25，f(2.25)0.437 50，2.25x02.5；再取2.25与2.5的平均数为2.375，f(2.375)0.109 40，2.375x00.|2.3752.437 5|0.062 50.1，方程x22x1的一个精确度为0.1的近似解可取为2.437 5.点评对于求形如f(x)g(x)的方程的近似解，可以通过移项转化成求形如F(x)f(x)g(x)0的方程的近似解，然后按照二分法求函数零点近似值的步骤求之函数f(x)x的零点个数为()A0B1C2D3错解因为f(1)2，f(1)2，且x0时，f(x)0时，f(x)0，所以

7、yf(x)有一个零点，故选B.错因分析函数的定义域决定了函数的一切性质，分析函数的有关问题时必须先求定义域通过作图可知函数f(x)x的图象不是连续不断的，因而零点存在性定理不能使用正解函数的定义域为xR，且x0，当x0时，f(x)0，当x0时，f(x)0成立的自变量x的取值范围是_解析由表中数据可知f(2)0，f(3)0，因此函数的零点有两个是2和3.这两个零点将x轴分成三个区间(，2，(2,3，(3，)在区间(，2中取特殊值3，表中数据有f(3)60，因此根据二次函数零点的性质得：当x(，2)时，都有f(x)0；同理可得：当x(3，)时也有f(x)0.故使f(x)0的自变量x的取值范围是x(

8、，2)(3，)答案(，2)(3，)1下列函数中不能用二分法求零点的是()Af(x)3x1 Bf(x)x3Cf(x)|x| Df(x)lnx答案C解析对于选项C而言，令|x|0，得x0，即函数f(x)|x|存在零点；当x0时，f(x)0，当x0，f(x)|x|的函数值非负，即函数f(x)|x|有零点但零点两侧函数值同号，不能用二分法求零点2若yf(x)在区间a，b上的图象为连续不断的一条曲线，则下列说法正确的是()A若f(a)f(b)0，不存在实数c(a，b)，使得f(c)0B若f(a)f(b)0，不存在实数c(a，b)，使得f(c)0D若f(a)f(b)0，有可能存在实数c(a，b)，使得f(

9、c)0答案D解析由零点存在性定理可知选项A不正确；对于选项B可通过反例“f(x)x(x1)(x1)在区间2，2上满足f(2)f(2)0，但其存在两个零点：1,1”推翻3方程2xx0在下列哪个区间内有实数根()A(2，1) B(0,1)C(1,2) D(1,0)答案D解析设函数f(x)2xx，其对应的函数值如下表：x21012f(x)136由于f(1)f(0)0，所以方程2xx0在(1,0)内有实数根4函数f(x)的零点是_答案2解析本题易认为零点有两个，即由x240求出x2，事实上x2不在函数的定义域内5设x0是方程lnxx4的根，且x0(k，k1)，求正整数k.解设f(x)lnxx4，则函数

10、f(x)lnxx4在正数范围内是单调递增的，故函数f(x)lnxx4仅有一个零点，f(1)ln1140，f(2)ln2240，f(2)f(3)0，即k2.6求方程2x33x30的一个近似解(精确度0.1)解设f(x)2x33x3，经试算，f(0)30，所以函数在(0,1)内存在零点，即方程2x33x30在(0,1)内有实数解，取(0,1)的中点0.5，经计算f(0.5)0，所以方程2x33x30在(0.5,1)内有解如此继续下去，得到方程的一个实数解所在的区间，如下表：(a，b)(a，b) 的中点f(a)f(b)f(0,1)0.5f(0)0f(0.5)0(0.5,1)0.75f(0.5)0f(

11、0.75)0(0.5，0.75)0.625f(0.5)0f(0.625) 0(0.625，0.75)0.687 5f(0.625)0f(0.687 5) 0因为|0.687 50.75|0.062 50且a1)有两个不同的零点，求a的取值范围解研究函数f(x)axxa (a0且a1)的零点，即相当于研究方程axxa的根(1)当a1时，分别画出yax与yxa的图象，如图(1)所示，由于yax恒过M(0,1)点，直线yxa过点N(0，a)，而a1，所以点N在点M的上方，此时两者有两个交点，即方程axxa有两个根，函数f(x)axxa (a0且a1)有两个不同的零点；(2)当0a1时，分别画出yax

12、与yxa的图象，如图(2)所示，指数函数yax在0a0且a1)有一个零点；综上所述，a的取值范围是(1，)31.1方程的根与函数的零点 学习目标1能够结合二次函数的图象判断一元二次方程根的存在性及根的个数2理解函数的零点与方程根的关系3掌握函数零点的存在性的判定方法 自学导引1对于函数yf(x)，我们把使f(x)0的实数x叫做函数yf(x)的零点2函数yf(x)的零点就是方程f(x)0的实数根，也就是函数yf(x)的图象与x轴的交点的横坐标3方程f(x)0有实数根函数yf(x)的图象与x轴有交点函数yf(x)有零点4函数零点的存在性的判定方法：如果函数yf(x)在a，b上的图象是连续不断的一条

13、曲线，并且有f(a)f(b)0上共有_个零点分析由题目可获取以下主要信息：本例为判断函数零点所在区间问题，且在选项中给出了待确定的区间解答本题可从已知区间求f(a)和f(b)，判断是否有f(a)f(b)0，且注意该函数在定义域上为增函数答案(1)B(2)1解析(1)f(1)20，f(2)ln210，f(2)f(3)0上是增函数，故f(x)有且只有一个零点点评这是一类非常基础且常见的问题，考查的是函数零点的判定方法，一般而言只需将区间端点代入函数求出函数值，进行符号判断即可得出结论，这类问题的难点往往是函数符号的判断，可运用函数的有关性质进行判断，同时也要注意该函数的单调性变式迁移2方程x23x

14、10在区间(2,3)内根的个数为()A0B1C2D不确定答案B解析令f(x)x23x1，则f(2)f(3)0，(2,3)内仅有一个根三、已知函数零点的特征，求参数范围例3若函数f(x)ax2x1仅有一个零点，求实数a的取值范围分析由题目可获取以下主要信息：已知函数f(x)零点特征，讨论函数表达式中字母的特征，解答本题可根据该字母对函数零点的影响入手，进行求解解若a0，则f(x)x1，为一次函数，易知函数仅有一个零点；若a0，则函数f(x)为二次函数，若其只有一个零点，则方程ax2x10仅有一个实数根，故判别式14a0，a.综上，当a0或a时，函数仅有一个零点变式迁移3已知在函数f(x)mx23

15、x1的图象上其零点至少有一个在原点右侧，求实数m的范围解(1)当m0时，f(0)3x1，直线与x轴的交点为，即函数的零点为，在原点右侧，符合题意图(1)(2)当m0时，f(0)1，抛物线过点(0,1)若m0，f(x)的开口向上，如图(2)所示，要使函数的零点在原点右侧，当且仅当94m0即可，解得0m，综上所述，m的取值范围为.1函数f(x)的零点就是方程f(x)0的根，但不能将它们完全等同如函数f(x)x24x4只有一个零点，但方程f(x)0有两个相等实根2并不是所有的函数都有零点，即使在区间a，b上有f(a)f(b)0，也不说明函数yf(x)在区间(a，b)上无零点，如二次函数yx23x2在

16、0,3上满足f(0)f(3)0，但函数f(x)在区间(0,3)上有零点1和2.3函数的零点是实数而不是坐标轴上的点一、选择题1若函数f(x)唯一的零点在区间(1,3)，(1,4)，(1,5)内，那么下列说法中错误的是()A函数f(x)在(1,2)或2,3)内有零点B函数f(x)在(3,5)内无零点C函数f(x)在(2,5)内有零点D函数f(x)在(2,4)内不一定有零点答案C2函数f(x)log3x82x的零点一定位于区间()A(5,6) B(3,4) C(2,3) D(1,2)答案B解析f(3)log3382310.又f(x)在(0，)上为增函数，所以其零点一定位于区间(3,4)3函数f(x

17、)ax2bxc，若f(1)0，f(2)0，则f(x)在(1,2)上零点的个数为()A至多有一个 B有一个或两个C有且仅有一个 D一个也没有答案C解析若a0，则f(x)bxc是一次函数，由f(1)f(2)0，与已知矛盾4已知f(x)是定义域为R的奇函数，且在(0，)内的零点有1 003个，则f(x)的零点的个数为()A1 003 B1 004 C2 006 D2 007答案D解析因为f(x)是奇函数，则f(0)0，且在(0，)内的零点有1 003个，所以f(x)在(，0)内的零点有1 003个因此f(x)的零点共有1 0031 00312 007个5若函数yf(x)在区间0,4上的图象是连续不断

18、的曲线，且方程f(x)0在(0,4)内仅有一个实数根，则f(0)f(4)的值()A大于0 B小于0 C等于0 D无法判断答案D解析考查下列各种图象上面各种函数y=f(x)在(0,4)内仅有一个零点，但是(1)中，f(0)f(4)0，(2)中f(0)f(4)0，(3)中f(0)f(4)0.二、填空题6二次函数f(x)ax2bxc中，ac0，方程ax2bxc0有两个不等实根，即函数f(x)有2个零点7若函数f(x)axb (a0)有一个零点是2，那么函数g(x)bx2ax的零点是_答案0，解析由2ab0，得b2a，g(x)bx2ax2ax2ax，令g(x)0，得x0或x，g(x)bx2ax的零点为

19、0，.8方程2ax2x10在(0,1)内恰有一个实根，则实数a的取值范围是_答案(1，)解析令f(x)2ax2x1，a0时不符合题意；a0且0时，解得a，此时方程为x2x10，也不合题意；只能f(0)f(1)1.三、解答题9已知函数f(x)3xx2，问：方程f(x)0在区间1,0内有没有实数解？为什么？分析函数f(x)只要满足f(1)f(0)0；在1，0内连续，则f(x)0在1,0内必有实数解解f(1)31(1)20.且函数f(x)3xx2的图象是连续曲线，f(x)在区间1,0内有零点，即f(x)0在区间1,0内有实数解10若函数y3x25xa的两个零点分别为x1，x2，且有2x10,1x23

20、，试求出a的取值范围解由已知得：，即.解得：-12a0.31.2用二分法求方程的近似解 学习目标理解求方程近似解的二分法的基本思想，能够借助科学计算器用二分法求给定方程的满足一定精确度要求的近似解 自学导引1二分法的概念对于在区间a，b上连续不断且f(a)f(b)0的函数yf(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法由函数的零点与相应方程根的关系，可用二分法来求方程的近似解2用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤(给定精确度)(1)确定区间a，b，使f(a)f(b)0.(2)求区间(a，b)的中点，x1.(3)计算

21、f(x1)若f(x1)0，则x1就是函数的零点；若f(a)f(x1)0，则令bx1(此时零点x0(a，x1)；若f(x1)f(b)0，则令ax1(此时零点x0(x1，b)(4)继续实施上述步骤，直到区间an，bn，函数的零点总位于区间an，bn上，当an和bn按照给定的精确度所取的近似值相同时，这个相同的近似值就是函数yf(x)的近似零点，计算终止这时函数yf(x)的近似零点满足给定的精确度. 一、能用二分法求零点的条件例1下列函数中能用二分法求零点的是()答案C解析在A中，函数无零点在B和D中，函数有零点，但它们均是不变号零点，因此它们都不能用二分法来求零点而在C中，函数图象是连续不断的，且

22、图象与x轴有交点，并且其零点为变号零点，C中的函数能用二分法求其零点，故选C.点评判定一个函数能否用二分法求其零点的依据是：其图象在零点附近是连续不断的，且该零点为变号零点因此，用二分法求函数的零点近似值的方法仅对函数的变号零点适用，对函数的不变号零点不适用变式迁移1下列函数图象与x轴均有交点，但不宜用二分法求交点横坐标的是()答案B 二、求函数的零点例2判断函数yx3x1在区间1,1.5内有无零点，如果有，求出一个近似零点(精确度0.1)分析由题目可获取以下主要信息：判断函数在区间1,1.5内有无零点，可用根的存在性定理判断；精确度0.1.解答本题在判断出在1,1.5内有零点后可用二分法求解

23、解因为f(1)10，且函数yx3x1的图象是连续的曲线，所以它在区间1,1.5内有零点，用二分法逐次计算，列表如下：区间中点值中点函数近似值(1,1.5)1.250.3(1.25,1.5)1.3750.22(1.25,1.375)1.312 50.05(1.312 5,1.375)1.343 750.08由于|1.3751.312 5|0.062 50.1，所以函数的一个近似零点为1.312 5.点评由于用二分法求函数零点的近似值步骤比较繁琐，因此用列表法往往能比较清晰地表达事实上，还可用二分法继续算下去，进而得到这个零点精确度更高的近似值变式迁移2求函数f(x)x32x23x6的一个正数零点

24、(精确度0.1)解由于f(1)60，可取区间(1,2)作为计算的初始区间，用二分法逐次计算，列表如下：区间中点中点函数值(1,2)1.52.625(1.5,2)1.750.234 4(1.5,1.75)1.6251.302 7(1.625,1.75)1.687 50.561 8(1.687 5,1.75)1.718 750.170 7由于|1.751.687 5|0.062 50.1，所以可将1.687 5作为函数零点的近似值 三、二分法的综合运用例3证明方程63x2x在区间1,2内有唯一一个实数解，并求出这个实数解(精确度0.1)分析由题目可获取以下主要信息：证明方程在1,2内有唯一实数解；

25、求出方程的解解答本题可借助函数f(x)2x3x6的单调性及根的存在性定理证明，进而用二分法求出这个解证明设函数f(x)2x3x6，f(1)10，又f(x)是增函数，所以函数f(x)2x3x6在区间1,2内有唯一的零点，则方程63x2x在区间1,2内有唯一一个实数解设该解为x0，则x01,2，取x11.5，f(1.5)1.330，f(1)f(1.5)0，f(1)f(1.25)0，x0(1,1.25)，取x31.125，f(1.125)0.4450，f(1.125)f(1.25)0，x0(1.125,1.25)，取x41.187 5，f(1.187 5)0.160，f(1.187 5)f(1.25

26、)0，x0(1.187 5,1.25)|1.251.187 5|0.062 50.1，1.187 5可以作为这个方程的实数解点评用二分法解决实际问题时，应考虑两个方面，一是转化成函数的零点问题，二是逐步缩小考察范围，逼近问题的解变式迁移3求的近似解(精确度为0.01并将结果精确到0.01)解设x，则x320.令f(x)x32，则函数f(x)的零点的近似值就是的近似值，以下用二分法求其零点的近似值由于f(1)10，故可以取区间1,2为计算的初始区间用二分法逐步计算，列表如下：区间中点中点函数值1,21.51.3751,1.51.250.046 91.25,1.51.3750.599 61.25,

27、1.3751.312 50.261 01.25,1.312 51.281 250.103 31.25,1.281 251.265 6250.027 31.25,1.265 6251.257 812 50.011.257 812 5,1.265 6251.261 718 750.008 6由于|1.265 6251.257 812 5|0.007 810.01，所以函数f(x)零点的近似值是1.26，即的近似值是1.26.1能使用二分法求方程近似解的方法仅对函数的变号零点适用，对函数的不变号零点不适用2二分法实质是一种逼近思想的应用区间长度为1时，使用“二分法”n次后，精确度为.3求函数零点的近

28、似值时，所要求的精确度不同，得到的结果也不相同精确度为，是指在计算过程中得到某个区间(a，b)后，若其长度小于，即认为已达到所要求的精确度，可停止计算，否则应继续计算，直到|ab|为止一、选择题1下列函数中不能用二分法求零点的是()Af(x)2x3 Bf(x)lnx2x6Cf(x)x22x1 Df(x)2x1答案C解析因为f(x)(x1)20，即含有零点的区间a，b，不满足f(a)f(b)0.2设f(x)3x3x8，用二分法求方程3x3x80在x(1，2)内近似解的过程中得f(1)0，f(1.25)0，则方程的根落在区间()A(1,1.25) B(1.25,1.5)C(1.5,2) D不能确定答案B解析1.5为区间(1,2)的中点，且f(1)0，方程的根x0(1,1.5)，又1.25是(1,1.5)的中点且f(1.5)0，f(1.25)0，x0(1.25,1.5)3函数f(x)x25的正零点的近似值(精确到0.1)是()A2.0 B2.1 C2.2 D2.3答案C4方程2x1x5的解所在的区间是()A(0,1) B(1,2) C(2,3) D(3,4)答案C5用二分法研究函数f(x)x33x1的零点时，第一次经计算f(0)0，可得其中一个零点x0_，第二次应计算_以上横线上应填的内容为()A(0,