高二数学 椭圆的标准方程教学案 新人教A版

1、天津市太平村中学高二数学 椭圆的标准方程教学案 新人教A版一、 对本章教与学的基本认识1.本章内容的数学分析圆锥曲线与方程是选修2-1第二章的内容，是高中数学中重要的内容，圆锥曲线的许多几何性质在日常生活、生产和科学技术中都有着广泛的应用。2.2.1椭圆及其标准方程是整个解析几何部分的重要基础知识，从知识上说，它是运用坐标法研究曲线的几何性质的一次演练，同时它也是进一步研究椭圆几何性质的基础；从方法上说，它为后面研究双曲线、抛物线提供了基本模式和理论基础.所以说，无论从教材内容，还是从教学方法上都是起着承上启下的作用，它是学好本章内容的关键。因此搞好这一节的教学，具有非常重要的意义。通过对椭圆

2、定义与方程的探究过程，使学生经历了观察、猜测、实验、推理、交流、反思等理性思维过程，培养了学生的思维方式，加强了运算能力，提高了他们提出问题、分析问题、解决问题的能力，为后续知识的学习奠定了基础。2.学情分析在学习本节内容以前，通过对必修3直线与圆以及选修2-12.1曲线与方程的学习，学生已经学习了直线和圆的方程，初步了解了用坐标法求曲线的方程及其基本步骤，对曲线的方程的概念有一定的了解，这为进一步学习椭圆及其标准方程奠定了基础。 同时，经过两年的高中学习，学生的计算能力、分析解决问题的能力、归纳概括能力、建模能力都有了一定的提高，使得进一步探究学习本节内容成为可能。但是，在本节课的学习过程中

3、，椭圆定义的归纳概括、方程的推导化简对学生是一个考验，可能会有一部分学生探究学习受阻，教师要适时予以指导。3.教学对策有效学习的关键在于学生学习的主动性，而主动性与学习的动机、所学内容的价值性、趣味性和学习任务是否具体清楚等都有非常密切的关系，这些相关的积极因素越多，学习的主动性就会越强。这就需要教师在教学中，充分挖掘积极因素，促进学生主动地学习。本节作为圆锥曲线的起始课，在激发学生学习主动性上应给予更多的关注。本课在设计上先动员学生查找圆锥曲线的资料，促使学生了解数学在人类文明发展中的作用。在椭圆的教学活动中，通过让学生展示圆锥曲线在实际中的应用的资料以及折纸活动，使学生感受数学的文化背景，

4、增加用数学的意识。对椭圆定义与方程的探究过程，使学生经历了观察、猜测、实验、推理、交流、反思等理性思维过程，培养了学生的思维方式，加强了运算能力，提高了他们提出问题、分析问题、解决问题的能力。二、 教学过程1.课前准备发给学生的如下资料：1、同学们，你们能告诉我什么是圆锥曲线吗？它们为什么叫圆锥曲线呢？圆锥曲线的发现确实是一个伟大的发现.德国天文学家开普勒（公元1571年1630年）在长期的天文观察及对记录的数据分析中，发现了著名的“开普勒三定律”，其中第一条是：“行星是绕着太阳沿着椭圆轨道运行的，太阳处在这个椭圆的一个焦点上”，后来哈雷又利用圆锥曲线理论及计算方法准确地预测到哈雷慧星与地球最

5、近点的时刻，1758年在哈雷逝世16年之后，哈雷慧星与地球如期而遇，这引起了全欧洲、乃至全世界的轰动，也进一步推动人们对圆锥曲线研究兴趣的提升。在我们的实际生活中处处都有圆锥曲线.你能举出一些例子吗？椭圆、双曲线、抛物线的有些性质，在生产或生活中被广泛应用。比如电影放映机的聚光灯泡的反射面是椭圆面，灯丝在一个焦点上，影片门在另一个焦点上；探照灯、聚光灯、太阳灶、雷达天线、卫星的天线、射电望远镜等都是利用抛物线的原理制成的。这些应用的原理和性质是什么呢？又比如圆形纸片被垂直光线照射随着纸片角度的变化得到的影子，它是什么图形呢？结合本章卷首语，请你查找圆锥曲线的相关资料。2、同学们愿意做一个折纸的

6、游戏吗？用一张纸剪一个圆，在圆内选一个异于圆心C的点F，在圆上取点M1，折纸使得M1与F重合，再打开纸，就得到一条折痕，画出折痕与相应半径的交点，再在圆上取点M2，折纸使得M2与F重合，再打开纸，又得到一条折痕及相应交点，如此进行下去，折痕越多越好，并且圆上各个位置都要有选取的点，然后，用平滑的曲线连接，你会发现，所得的这些交点构成的曲线是什么？设计意图：动员学生查找圆锥曲线的资料，充分挖掘积极因素，促进学生主动地学习。促使学生了解数学在人类文明发展中的作用，逐步形成正确的数学观。折纸问题可以激发学生学习的兴趣以及求知欲。2.问题引入问题1：同学们，你们能告诉我什么是圆锥曲线吗？它们为什么叫圆

7、锥曲线呢？说明：教师需要课前先收集同学的资料，让学生展示什么是圆锥曲线，它们为什么叫圆锥曲线。以及介绍圆锥曲线的产生及应用。设计意图：通过帮助学生了解数学在人类文明发展中的作用，逐步形成正确的数学观。使学生意识到在我们的实际生活中处处都有圆锥曲线，本章的学习是研究这些问题的基础。3.学生活动活动1：准备一根绳子，把它对折，一端固定在一个定点上，把粉笔插在另一端，拉紧绳子，得到的曲线是什么？(圆)。如果变为两个定点，把绳子拉紧，得到的曲线会是什么呢？在黑板上给出两个定点F1，F2，使它们之间的距离均大于绳长，请两个同学合作，一个同学将绳的两端固定在定点处，另一个同学拉紧细绳画图。通过作图，由学生

8、得出椭圆的定义。问题2：请学生观察曲线上的点满足的几何特征，并类比圆的定义给椭圆下定义。说明：用“以上定义是否有不严谨之处？若有，请做出补充”等问题，引导学生逐步完善定义。设计意图：从学生的思维特点和学习规律出发，展示知识形成的过程，使学生经历了观察、猜测、类比、交流、反思等理性思维过程，培养了学生的严谨思维习惯。问题3：同学们，课前希望大家做一个折纸的游戏，用一张纸剪一个圆，在圆内选一个异于圆心C的点F，在圆上取点M1，折纸使得M1与F重合，再打开纸，就得到一条折痕，画出折痕与相应半径的交点，再在圆上取点M2，折纸使得M2与F重合，再打开纸，又得到一条折痕及相应交点，如此进行下去，折痕越多越

9、好，并且圆上各个位置都要有选取的点，然后，用平滑的曲线连接，你会发现，所得的这些个交点构成的曲线是什么？学生回答：他的边界是椭圆。教师提问：为什么会是椭圆？（几何画板演示）适时用如下问题引导学生：（1）我们将M1与F重合，得到的折痕是什么？（2）CP+PF= r,说明什么？设计意图：加深学生对椭圆定义的理解，尤其是对a、c的几何意义的理解。4.推导椭圆的标准方程问题4：要研究椭圆更多的性质，就要建立坐标系，得到椭圆的方程，利用方程研究它们的性质，如何建立坐标系呢？说明：由学生建立坐标系，求椭圆的方程，过程中提醒学生注意要适当建系，坐标系建立应使题中关键点的坐标、曲线的方程要尽量简单，让学生观察

10、椭圆的图形，发现椭圆应该有两条互相垂直的对称轴，以这两条对称轴作为坐标系的两轴，不但可以使方程的推导过程变得简单，而且也可以使最终得出的方程形式整齐和简洁问题5 ：我们设点并且得到方程，如何化简？说明：由于学生对坐标法解决几何问题掌握还不够，对含有两个根式之和（差）等式化简的运算生疏，去根式的策略选择不当等是导致“标准方程的推导”成为学习难点的直接原因。但同时，这也是培养学生的思维方式，加强了运算能力的时机，这里可以让学生充分展示化简方法，直接平方，移项平方，根式有理化等等，从中选择一个大家都认可的方法课上完成，其他留作课下完成。在化简过程中，教师要以“是否保证变形等价，如何使方程更加完美简捷

11、”等等问题，不断激发学生做更深入的思考。5.课堂练习说明：课堂例题应该以课本例题为主，目的在于巩固椭圆的定义，使学生熟练掌握椭圆的标准方程，会根据所给的条件确定椭圆的标准方程。6.课后作业（1）课本练习，进一步巩固学生对椭圆定义及其标准方程的认识.（2）完成其他方法的椭圆标准方程的推导.（3）对于折纸问题，如果将“在圆内选一个异于圆心C的点F”改为“在圆外选一个异于圆心C的点F”得到的曲线会是什么？曲线上的点有什么几何特征呢？1掌握椭圆的定义，掌握椭圆标准方程的两种形式及其推导过程；2能根据条件确定椭圆的标准方程，掌握运用待定系数法求椭圆的标准方程；3通过对椭圆概念的引入教学，培养学生的观察能

12、力和探索能力；4通过椭圆的标准方程的推导，使学生进一步掌握求曲线方程的一般方法，并渗透数形结合和等价转化的思想方法，提高运用坐标法解决几何问题的能力； 5通过让学生大胆探索椭圆的定义和标准方程，激发学生学习数学的积极性，培养学生的学习兴趣和创新意识教学建议教材分析1 知识结构2重点难点分析重点是椭圆的定义及椭圆标准方程的两种形式难点是椭圆标准方程的建立和推导关键是掌握建立坐标系与根式化简的方法椭圆及其标准方程这一节教材整体来看是两大块内容：一是椭圆的定义；二是椭圆的标准方程椭圆是圆锥曲线这一章所要研究的三种圆锥曲线中首先遇到的，所以教材把对椭圆的研究放在了重点，在双曲线和抛物线的教学中巩固和应

13、用先讲椭圆也与第七章的圆的方程衔接自然学好椭圆对于学生学好圆锥曲线是非常重要的（1）对于椭圆的定义的理解，要抓住椭圆上的点所要满足的条件，即椭圆上点的几何性质，可以对比圆的定义来理解另外要注意到定义中对“常数”的限定即常数要大于 这样规定是为了避免出现两种特殊情况，即：“当常数等于 时轨迹是一条线段；当常数小于 时无轨迹”这样有利于集中精力进一步研究椭圆的标准方程和几何性质但讲解椭圆的定义时注意不要忽略这两种特殊情况，以保证对椭圆定义的准确性（2）根据椭圆的定义求标准方程，应注意下面几点：曲线的方程依赖于坐标系，建立适当的坐标系，是求曲线方程首先应该注意的地方应让学生观察椭圆的图形或根据椭圆的

14、定义进行推理，发现椭圆有两条互相垂直的对称轴，以这两条对称轴作为坐标系的两轴，不但可以使方程的推导过程变得简单，而且也可以使最终得出的方程形式整齐和简洁设椭圆的焦距为 ，椭圆上任一点到两个焦点的距离为 ，令 ，这些措施，都是为了简化推导过程和最后得到的方程形式整齐、简洁，要让学生认真领会在方程的推导过程中遇到了无理方程的化简，这既是我们今后在求轨迹方程时经常遇到的问题，又是学生的难点要注意说明这类方程的化简方法：方程中只有一个根式时，需将它单独留在方程的一侧，把其他项移至另一侧；方程中有两个根式时，需将它们分别放在方程的两侧，并使其中一侧只有一项教科书上对椭圆标准方程的推导，实际上只给出了“椭

15、圆上点的坐标都适合方程 “而没有证明，”方程 的解为坐标的点都在椭圆上”这实际上是方程的同解变形问题，难度较大，对同学们不作要求（3）两种标准方程的椭圆异同点中心在原点、焦点分别在 轴上， 轴上的椭圆标准方程分别为： ， 它们的相同点是：形状相同、大小相同，都有 ， 不同点是：两种椭圆相对于坐标系的位置不同，它们的焦点坐标也不同椭圆的焦点在 轴上 标准方程中 项的分母较大；椭圆的焦点在 轴上 标准方程中 项的分母较大另外，形如 中，只要 ， ， 同号，就是椭圆方程，它可以化为 （4）教科书上通过例3介绍了另一种求轨迹方程的常用方法中间变量法例3有三个作用：第一是教给学生利用中间变量求点的轨迹的

16、方法；第二是向学生说明，如果求得的点的轨迹的方程形式与椭圆的标准方程相同，那么这个轨迹是椭圆；第三是使学生知道，一个圆按某一个方向作伸缩变换可以得到椭圆教法建议（1）使学生了解圆锥曲线在生产和科学技术中的应用，激发学生的学习兴趣为激发学生学习圆锥曲线的兴趣，体会圆锥曲线知识在实际生活中的作用，可由实际问题引入，从中提出圆锥曲线要研究的问题，使学生对所要研究的内容心中有数，如书中所给的例子，还可以启发学生寻找身边与圆锥曲线有关的例子。例如，我们生活的地球每时每刻都在环绕太阳的轨道椭圆上运行，太阳系的其他行星也如此，太阳则位于椭圆的一个焦点上如果这些行星运动的速度增大到某种程度，它们就会沿抛物线或

17、双曲线运行人类发射人造地球卫星或人造行星就要遵循这个原理相对于一个物体，按万有引力定律受它吸引的另一个物体的运动，不可能有任何其他的轨道因而，圆锥曲线在这种意义上讲，它构成了我们宇宙的基本形式，另外，工厂通气塔的外形线、探照灯反光镜的轴截面曲线，都和圆锥曲线有关，圆锥曲线在实际生活中的价值是很高的（2）安排学生课下切割圆锥形的事物，使学生了解圆锥曲线名称的来历为了让学生了解圆锥曲线名称的来历，但为了节约课堂时间，教学时应安排让学生课后亲自动手切割圆锥形的萝卜、胶泥等，以加深对圆锥曲线的认识（3）对椭圆的定义的引入，要注意借助于直观、形象的模型或教具，让学生从感性认识入手，逐步上升到理性认识，形

18、成正确的概念。教师可从太阳、地球、人造地球卫星的运行轨道，谈到圆萝卜的切片、阳光下圆盘在地面上的影子等等，让学生先对椭圆有一个直观的了解。教师可事先准备好一根细线及两根钉子，在给出椭圆在数学上的严格定义之前，教师先在黑板上取两个定点（两定点之间的距离小于细线的长度），再让两名学生按教师的要求在黑板上画一个椭圆。画好后，教师再在黑板上取两个定点（两定点之间的距离大于细线的长度），然后再请刚才两名学生按同样的要求作图。学生通过观察两次作图的过程，总结出经验和教训，教师因势利导，让学生自己得出椭圆的严格的定义。这样，学生对这一定义就会有深刻的了解。（4）将提出的问题分解为若干个子问题，借助多媒体课件

19、来体现椭圆的定义的实质在教学时，可以设置几个问题，让学生动手动脑，独立思考，自主探索，使学生根据提出的问题，利用多媒体，通过观察、实验、分析去寻找解决问题的途径。在椭圆的定义的教学过程中，可以提出“到两定点的距离的和为定值的点的轨迹一定是椭圆吗”，让学生通过课件演示“改变焦距或定值”，观察轨迹的形状，从而挖掘出定义的内涵，这样就使得学生对椭圆的定义留下了深刻的印象。（5）注意椭圆的定义与椭圆的标准方程的联系在讲解椭圆的定义时，就要启发学生注意椭圆的图形特征，一般学生比较容易发现椭圆的对称性，这样在建立坐标系时，学生就比较容易选择适当的坐标系了，即使焦点在坐标轴上，对称中心是原点（此时不要过多的研究几何性质）虽然这时学生并不一定能说明白为什么这样选择坐标系，但在有了一定感性认识的基础上再讲解选择适当坐标系的一般原则，学生就较为容易接受，也向学生逐步渗透了坐标法（6）推导椭圆的标准方程时教师要注意化解难点，