模糊数学方法详细介绍

1、模糊数学,引例：你某时到某地去接一个“大胡子. 高个子. 长头发. 戴宽边黑色眼镜的中年男子”，尽管提供的只有一个精确的信息男人，而其它的信息大胡子. 高个子. 长头发. 戴宽边黑色眼镜. 中年男人都是模糊的，但你对这些模糊概念经过头脑的综合分析判断就可以接到这个人。,模糊数学的概述,现实中的模糊概念例如：厚、薄、美、丑、早晨、中午、晴天、阴天、优、劣，蔬菜、水果、感冒、合格品、次品等 量的分类,模糊数学,1965年美国加利福尼亚大学控制专家扎德(zadeh L.A)在information and control杂志上发表了一篇开创性论文“Fuzzy sets”这标志着模糊数学的诞生。 模糊

2、数学是研究和处理模糊性现象的数学方法。是把模糊的问题化为确定性问题的基础，是数据处理常用的方法。 模糊数学应用广泛,农业，林业，气象，环境，地质勘探，医学，经济管理等,从精确到模糊,精确 答案确定：要么是，要么不是 f : A 0,1 他是学生？他不是学生？ 模糊 答案不定：也许是，也许不是，也许介于之间 A : U 0,1 他是成年人？他不是成年人？他大概是成年人？,一、模糊集合论的基础知识1、模糊集与隶属度,定义1： 设U是论域，称映射,隶属函数一般根据经验确定 当值域为0,1时，模糊子集A就是经典子集,确定了一个U上的模糊子集A， 称为A的隶属函数， 称为x对A的隶属程度. 的点x 称为

3、过渡点，此点最具模糊性. 此后 简记为A(x).,一、模糊集合论的基础知识,例1：设论域U=x1(140), x2(150), x3(160), x4(170), x5(180), x6(190) (单位:cm) 表示人的身高，那么“高个子” 就是U上的一个模糊集，其隶属函数可定义为,则：,一、模糊集合论的基础知识 2、模糊集的表示法,（1）扎德表示法 （2）向量表示法 （3）序偶表示法,上例中 A=（0，0.2，0.4，0.6，0.8，1）或者,一、模糊集合论的基础知识,例2、设以人的岁数作为论域U0,120，单位是“岁”，那么“年轻”，“年老”，都是U上的模糊子集。隶属函数可以定义如下：

4、“年轻”（u） “年老”（u）,一、模糊集合论的基础知识,隶属函数图,模糊集合的隶属函数,确定隶属函数的原则 隶属函数的确定应遵守一些基本原则。 表示隶属函数的模糊集合必须是凸模糊集合 通常，某一模糊概念的隶属函数的确定应首先从最适合这一模糊概念的点下手，然后向两边延伸。延伸时其隶属函数的值必须单调递减，不允许有波浪形。,某专家根据他本身的经验对“舒适”温度的隶属函数定义如下：,图2.3 隶属函数向最大值两边延伸的差别 图2.4 非凸模糊集合隶属函数,变量所取隶属函数通常是对称和平衡的 隶属函数要符合人们的语义顺序，避免不恰当的重叠 模糊控制系统隶属函数的选择通常应遵循： 论域中的每个点应该至

5、少属于一个隶属函数的区域，同时，它一般应该属于至多不超过两个隶属函数的区域； 对同一个点没有两个隶属函数会同时有最大隶属度； 当两个隶属函数重叠时，重叠部分的任何点的隶属函数的和应该小于等于1。,图2.5 交叉越界的隶属度函数示意图 图2.6 重叠指数定义,确定隶属函数的方法 模糊统计法 对论域U上的一个确定元素u0，考虑n个有模糊集合A属性的普通集合A*以及元素u0对A*的归属次数。u0对A*的归属次数和n的比值就是元素u0对模糊集合A的隶属度：,（2.4）,专家经验法：有专家的实际经验给出模糊信息的处理算式或相应权系数来确定函数的方法。 二元排序法：通过对多个事物之间两两对比来确定某种特征

6、下的顺序，由此来决定这些事物对该特征的隶属函数的大致形状。 典型函数法：根据问题的性质，应用一定的分析与推理，选用某些典型函数作为隶属函数。,常见隶属函数有以下类型：,应用模糊数学方法的关键在于建立符合实际的隶属函数，尽管一个元素属于模糊集是客观存在的，但是建立隶属函数的方法基本上是主观的，根据人的实践经验，,1.矩形型,3 隶属函数的确定,2.梯形型,3.K次抛物型,4. 型,5.正态型,6.柯西型,一、模糊集合论的基础知识 4、模糊集的运算,相等： 包含： 并： 交： 余： 符号：表示二者之中取大，表示二者之中取小 说明：排中律不成立，即,一、模糊集合论的基础知识,U = 甲, 乙, 丙,

7、 丁 A = “矮子” 隶属函数A= (0.9, 1, 0.6, 0) B = “瘦子” 隶属函数B= (0.8, 0.2, 0.9, 1) 找出 C = “既矮又瘦” C = AB = ( 0.90.8 , 10.2 , 0.60.9 , 01 ) = ( 0.8, 0.2, 0.6, 0) 甲和丙比较符合条件,一、模糊集合论的基础知识,等幂律AA = A 交换律AB = BA 结合律(AB)C = A(BC) 分配律A(BC) = (AB)(BC) 德摩根律(AB) = AB 双重否定律A = A 两极律UA = U 排中律A A = ,模糊集的运算性质,一、模糊集合论的基础知识5. -截

8、集,定义2：若A是U上的任一模糊集，对 记 称A为A的-截集，其中称为阈值或置信水平. A是普通集合而不是模糊集。由于模糊集的边界是模糊的, 如果要把模糊概念转化为数学语言，需要选取不同的置信水平 (0 1) 来确定其隶属关系。-截集就是将模糊集转化为普通集的方法。模糊集A 是一个具有游移边界的集合，它随值的变小而增大，即当1 2时，有A1 A2。,一、模糊集合论的基础知识,例：设论域U=u1， u2， u3， u4， u5， u6， ui表示学生，某门课成绩依次是90，60，85，70，50，95. A=“学习成绩好的学生”，隶属度取为:成绩100，则 A=（0.9，0.6，0.85，0.7

9、，0.5，0.95） 要确定学习好的学生，实际上就是要把模糊集A转化为经典集合，即先确定一个阈值 ( 0 1 ) ,然后把隶属度A(x) 的元素找出来. 有 当=0.8时， A0.8=u1， u3， u6 当 =0.9时 A0.9=u1， u6,二、模糊关系与模糊矩阵1、模糊矩阵,定义3： 设R=(rij)mn，0rij 1，称R为模糊矩阵.当rij只取0或1时，称R为布尔（Boole）矩阵. 例1、 模糊矩阵的运算： （1）并 （2）交 （3）余,二、模糊关系与模糊矩阵,（4）合成（乘法） 例2：设,二、模糊关系与模糊矩阵,（5）模糊矩阵的转置 （6）模糊矩阵的-截矩阵：设A=(aij)mn

10、，对任意的 ，称 为模糊矩阵A的-截矩阵，其中,例3,二、模糊关系与模糊矩阵2、模糊关系,定义4：设X=x1,x2, ,xm和Y=y1,y2, ,yn是经典集 合，称映射 为X到Y的一个二元关系.当X=Y时，称R为X上的关系. X到Y的一个关系可用布尔矩阵R=(rij)mn表示：,y1 y2 yn,R,x1 x2 xm,r11 r12 r1n r21 r22 r2n . rm1 rm2. rmn,二、模糊关系与模糊矩阵,例：设X=1，4，7，8，Y=2，3，6，定义“小于”关系R：xy. 于是 R=(1,2), (1,3), (1,6), (4,6) 这表明关系R是直积的子集 关系矩阵,二、模

11、糊关系与模糊矩阵,定义5 设R为X上的一个关系，并且满足： 反身性: rii=1，即集合中每个元素和它自己有关系R； 对称性: rij=rji 传递性: 当rij=1且 rjk=1时，有rik=1 满足的关系R称为X上的等价关系，此关系矩 阵称为等价矩阵，满足这三条性质的集合R为一分 类关系.,二、模糊关系与模糊矩阵,例：设，定义关系 ：；：为偶数，则 关系R1有传递性，但无反身性和对称性；关系R2是上的等价关系，按2可以分类：奇数类，和偶数类，,二、模糊关系与模糊矩阵,定义：设论域U、V，称UV上的一个模糊子集RF(UV)为从U到V的模糊关系其隶属函数为映射 并称隶属度(x,y)为（x,y)

12、关于模糊关系R的相关程度. 模糊关系R可有模糊矩阵R=(rij)mn表示，其中rij=(x，y ). 注记：若R为布尔矩阵，则关系R为普通关系.,2.2.2 模糊关系 普通关系 集合的直积 由两个集合U和V的各自元素u与v组成的序偶(u，v)的全体集合，称为U与V的直积,记为UV，即 UV=(u，v)|uU，vV 一般情况下，UVVU。 普通二元关系,定义 设U与V是两个非空集合。集合U、V的直积UV的一个子集R称为U到V上的一个二元关系，简称关系。 对于直积UV的序偶(u,v)，要么(u,v)具有关系R，记为(u,v)R；要么(u,v)不具有关系R，记为(u,v)R。因此，关系R的特征函数为

13、：,(2.5),若U=V，则直积UV的子集R称为U上的二元关系，或称U上的关系。 关系矩阵 关系R可以用矩阵来表示，称为关系矩阵，其中元素rij基于特征函数CR(u,v)的定义，即,(2.6),与序偶(ui,vj)R对应者记为1，与序偶(ui, vj) R对应者记为0。,例：设X，Ya，b，c，Z，到Y的关系及Y到Z的关系S可表示为下图。 图中两个元素之间有连线的表示有关系。比如和a之间有关系R，a和之间有关系S。与a之间无关系R，b与a之间无关系S。,对于经典关系可以表示为表格。,模糊关系 定义 集合U和V的直积 中的模糊子集R被称为U到V的模糊关系，又称为二元模糊关系，其特性用隶属函数描述

14、如下：,(2.7),例：设X，Ya，b，c，Z，Y以及YZ上的模糊关系R与S如图所示。,Y与YZ上的模糊关系,模糊关系的复合运算,两个元素之间有连线的表示两个元素之间有一定关系，连线上的数字表示关系密切程度。 对于模糊关系也可以表示为表格。,模糊关系的表示 模糊集合表示法 例3.1 设集合U1，2，3，V1，2，3，4，5。从U到V的一个模糊关系R可表示为：R0.5/(1,3)+0.8(1,4)+1/(1,5)+0.5/(2,4)+0.8/(2,5)+0.5/(3,5),模糊关系表表示法,模糊矩阵表示法 上例中模糊关系R的矩阵表示为：,4)模糊关系图表示 用图直观表示模糊关系时，则将ui，vj

15、作为节点，在ui到vj的连线上标上R(ui，vj)的值，这样的图便称为模糊关系图。 例：二人博弈，具有相同的策略集：U=V剪刀，石头，布，“甲胜”定为1；“平局”定为0.5，“甲负”定为0。则二人胜负关系可用模糊关系图表示，如图2.9所示。,图2.9 模糊关系图,模糊关系的合成 定义 设U、V、W是论域，R是U到V的一个模糊关系，S是V到W的一个模糊关系，则R对S的合成R。S指的是U到W的一个模糊关系T，它具有隶属函数：,(2.8),当U、V、W为有限时，模糊关系的合成可用模糊矩阵的合成来表示。设,定义 设R是U上的一个模糊关系。 如果对于任意的uU，都有R(u,u)1，则称R为自反模糊关系。

16、 如果对于任意的u、vU，都有R (u, v)R(v,u)，则称R为对称模糊关系。 如果对于任意的0，1，R都是具有传递性的普通关系，则称R为传递模糊关系。 定义 模糊关系R和S，如果总是存在R(x, y)=S (x,y)，则称模糊关系R与模糊关系S等价，记为R=S。,二、模糊关系与模糊矩阵,定义7： 设模糊子集RF(UV)为从U到V的模糊 关系，并且满足： 反身性: R(x,x)=1（或IR） 对称性: R(x,y)=R(y,x)（或 ） 传递性: RRR 满足以上三条，称R为一模糊等价关系. 其关系矩阵称为模糊等价矩阵. 只满足的关系称为模糊相似关系.其关系矩阵称为模糊相似矩阵.,二、模糊

17、关系与模糊矩阵,定理：若R是n阶模糊等价矩阵，则对任意的0,1 ， -截矩阵R 是n阶等价布尔矩阵.,定义12：设R是nn的模糊矩阵，如果满足RR=R2R，则称R为模糊传递矩阵。包含R的最小的模糊传递矩阵称为R的传递包，记为t(R).,将n阶模糊相似矩阵R改造成n阶模糊等价矩阵t(R)的方法： 当第一次出现 时， 即为所求。,三、模糊数学的应用,1.模糊聚类 2.模糊识别 3.模糊决策 4.模糊逻辑,所谓模糊聚类方法，就是依据模糊矩阵将所研究的对象进行分类的方法，对于不同的置信水平0,1，可得到不同的分类结果，从而可以形成动态聚类图。 模糊聚类的基本步骤： 1）数据的标准化处理 2）建立模糊相

18、似矩阵 3）聚类分析,1.模糊聚类,1.模糊聚类,第一步：数据标准化处理 建立数据矩阵：设论域U= x1,x2, ,xn是被分类对象，每个对象又由m个指标表示其形状，即 xi =xi1, xi2, , xim 于是，可得原始数据矩阵 X=（xij）mn,1.模糊聚类,数据标准化,平移极差变换法,平移标准差变换法,第二步：建立模糊相似矩阵： 设论域=x1,x2, ,xn，xi=xi1,xi2, ,xin，如果xi与xj之间的相似程度为rij=(i, j)，则称之为相似系数。R=(rij)nn称为相似系数矩阵。 确定相似系数的方法有多种，常用的有数量积法、夹角余弦法、相关系数法、最大最小值法、距离

19、法、专家评分法等。,1.模糊聚类,1.模糊聚类,数量积法,夹角余弦法,相关系数法,最大最小值法,1.模糊聚类,海明距离法,欧氏距离法,切比雪夫距离法,其中H、E均是适当选取的 参数，它使得rij0,1.,第三步： 聚类分析 从第二步求出的n阶模糊相似矩阵R出发，用平方法求其传递闭包t(R),它就是将R改造成的n阶模糊等价矩阵，再让由大变小，就可形成动态聚类图。,1.模糊聚类,经过4次复合可得到等价关系,进行 分割，并分别取,分类图,例：某三个家庭，共有人口16名，各家庭成员之间有（血缘）关系。16个人各有自己的照片，且混在一起。现在要求一个不认识这三个家庭成员的人根据上述像片确定这些成员之间的

20、相似程度。,用 对该模糊等价关系进行分割,因此可识别出4个性质不同的类型： 1,6,8,13,16, 2,5,7,11,14, 3, 4,9,10,12,15,例：有5个地区受到近期一次地震而造成损害,利用余弦幅度法，得到如下关系：,经两次复合得到等价关系,2.模糊模型识别,模型识别：根据研究对象的某种特征对其进行识别并分类。它有两个本质特征：一是事先给定若干标准模型（标准模型库），二是有待识别的对象. 模糊模型识别：指在模型识别中，标准模型库中提供的模型是模糊的.,2.模糊模式识别方法一：最大隶属原则,最大隶属原则 I ：设论域=x1,x2, ,xn上的m个模糊子集A1,A2, ,Am（构成

21、标准模型库），其隶属度函数为Ai(x), 若对任一x0U，一定有k1,2,m,使得 Ak(x0）)=maxA1(x0), A2(x0), , Am(x0) 则认为x0相对隶属于Ak 最大隶属原则2：设论域U上有一个标准模型A，待识别对象有n个，如果有某个xk满足 A (xk)=maxA (x1), A (x2), , A (xn)， 则应优先录取xk 。,2.模糊模式识别方法二：择近原则,设在论域=x1,x2, ,xn上有m个模糊子集A1,A2, ,Am构成了一个标准模型库。被识别对象B也是U上的一个模糊集，它与标准模型库中哪一个模型最贴近，我们用(A,B)表示两个模糊集A,B之间的贴近程度（

22、简称贴近度）,若有k，使得 (Ak,B)=max(Ak,B)|1i m 则称B与Ak最贴近，或者说把b归于Ak类，这就是择近原则。,2.模糊模式识别之二：择近原则,定义1：格贴近度：,其中,表示两个模糊集A,B的内积,表示两个模糊集A,B的外积,格贴近度的不足之处是一般情况下0(A,A) 1,2.模糊模式识别之二：择近原则,定义（公理化定义）：若(A,B)满足 1）(A,A)=1 2）(A,B)= (B,A) 3) 若有AB C，则(A,C) (A,B) (B,C) 则称(A,B)为A与B的贴近度。,2.模糊模式识别之二：择近原则,公理化定义具有理论价值，但并没有提供一个计算贴近度的方法，不便

23、于操作，右面介绍一些实用的具体定义。,3.模糊决策,决策：为了解决当前或未来可能发生的问题而选择最佳方案的过程。 模糊决策的目的：把论域中的对象按优劣进行排序，或者按某种方法从论域中选择一个“令人满意”的方案。 下面将介绍：模糊二元对比决策、模糊综合评判决策。,3.模糊决策之一模糊二元对比决策,设论域U =x1, x2, , xn为n个备选方案（对象）,在U上建立一种模糊优先关系,即先两两进行比较,再将这种比较模糊化. 然后用模糊数学方法给出总体排序,这就是模糊二元对比决策. 基本步骤： 1）建立模糊优先关系 2）排出一定的优劣次序，确定优先对象，可采用方法: - 截矩阵法、隶属函数法 、下确

24、界法等.,3.模糊决策之一模糊二元对比决策,第一步，建立模糊优先关系 先两两进行比较，建立模糊优先矩阵： R = (rij)nn 在xi与xj作对比时,用rij表示xi对xj的优越程度,并且要求rij满足 rii = 1(便于计算)； 0 rij 1； 当ij 时, rij + rji = 1. 这样的rij组成的矩阵R = (rij)nn称为模糊优先矩阵, 由此矩阵确定的关系称为模糊优先关系,第二步，确定优先对象 - 截矩阵法 取定阈值0,1得-截矩阵R = (rij() )nn, 当由1逐渐下降时,若R中首次出现第k行的元素全等于1时,则认定xk是第一优先对象(不一定唯一). 再在R中划去

25、xk所在的行与列,得到一个新的n -1阶模糊优先矩阵,用同样的方法获取的对象作为第二优先对象；如此进行下去,可将全体对象排出一定的优劣次序.,3.模糊决策之一模糊二元对比决策,3.模糊决策之一模糊二元对比决策, 隶属函数法 直接对模糊优先矩阵进行适当的数学加工处理,得到X上模糊优先集A的隶属函数,再根据各元素隶属度的大小给全体对象排出一定的优劣次序.通常采用的方法是： 取小法：A(xi) =minrij|1jn,i =1, 2, , n; 平均法： 加权平均法：,3.模糊决策之一模糊二元对比决策,下确界法 先求R每一行的下确界,以最大下确界所在行对应的xk是第一优先对象(不一定唯一). 再在R

26、中划去xk所在的行与列,得到一个新的n -1阶模糊优先矩阵,再以此类推.,在实际工作中,对一个事物的评价或评估,常常涉及多个因素或多个指标,这时就要求根据这多个因素对事物作出综合评价,而不能只从某一因素的情况去评价事物,这就是综合评判. 模糊综合评判决策是对受多种因素影响的事物作出全面评价的一种十分有效的多因素决策方法. 经典综合评判决策：评总分法（如高考成绩）、加权评分法等.,3.模糊决策之二模糊综合评判决策,3.模糊决策之二模糊综合评判决策,设U =u1, u2, , un为n种因素(或指标),V =v1, v2, , vm为m种评判(或等级). 由于各种因素所处地位不同,作用也不一样,可

27、用权重A = (a1, a2, , an )来描述,它是因素集U 的一个模糊子集. 模糊综合评判决策的方法和步骤： 1） 建立因素集U =u1, u2, , un与决断集V =v1, v2, , vm；,3.模糊决策之二模糊综合评判决策,2）建立模糊综合评判矩阵 R = (rij)nm 其中rij表示vj对因素ui所作的评判； 3)综合评判 根据各因素权重A = (a1, a2, , an )综合评判: B = AR = (b1, b2, , bm )是V上的一个模糊子集，根据运算的不同定义,可得到不同的模型.,3.模糊决策之二模糊综合评判决策,模型：M(,)主因素决定型,bj = (airi

28、j), 1in ( j = 1, 2, , m ). 由于综合评判的结果bj的值仅由ai与rij (i = 1,2, ,n )中的某一个确定(先取小,后取大运算),着眼点是考虑主要因素,其他因素对结果影响不大,这种运算有时出现决策结果不易分辨的情况.,模型：M ( , )主因素突出型 bj = (ai rij), 1in ( j = 1, 2, , m ). M ( , )与模型M (,) 较接近, 区别在于用ai rij代替了M (,) 中的airij . 在模型M ( , )中,对rij乘以小于1的权重ai表明ai是在考虑多因素时rij的修正值,与主要因素有关，忽略了次要因素.,3.模糊决

29、策之二模糊综合评判决策,模型： M(, )主因素突出型,bj = (ai rij) ( j = 1, 2, , m ). 模型也突出了主要因素. 在实际应用中,如果主因素在综合评判中起主导作用,建议采纳, 当模型失效时可采用,.,3.模糊决策之二模糊综合评判决策,模型：M( , )加权平均模型 bj = (ai rij) ( j = 1, 2, , m ). 模型M( , )对所有因素依权重大小均衡兼顾,适用于考虑各因素起作用的情况.,3.模糊决策之二模糊综合评判决策,例1：教师讲课的综合评判,U是评价因素集，V是评语等级 U=清楚易懂，教材熟练，生动有趣，板书整齐 V=很好，较好，一般，不好

30、,rij表示第i个因素着眼，对被评教师作出第j种评语的可能程度：,很好 较好 一般 不好,清楚 易懂 教材 熟练 生动 有趣 板书 整齐,V,U,数据来源：可以在某一班级做问卷调查，如在清楚易懂方面有40%的学生认为是很好，50%的学生认为是较好，10%的认为一般，没有人认为不好。其它的因素如法炮制。,模糊评价矩阵R,权数,我们可以为U中的各元素分配不同的权数，表示各元素隶属于重要的隶属度。 A=（0.5，0.2，0.2，0.1）,B=（0.5，0.2，0.2，0.1）,评价模型是：A R，表示取小取大运算,B1=Maxmin0.5,0.4, min0.2,0.6, min0.2,0.1, m

31、in0.1,0.1=0.4,B2=Maxmin0.5,0.5, min0.2,0.3, min0.2,0.2, min0.1,0.2=0.5,B3=Maxmin0.5,0.1, min0.2,0.1, min0.2,0.6, min0.1,0.5=0.2,B4=Maxmin0.5,0, min0.2,0, min0.2,0.1, min0.1,0.2=0.1,很好 较好 一般 不好,清楚 易懂 教材 熟练 生动 有趣 板书 整齐,很好 较好 一般 不好,B=(0.4, 0.5, 0.2, 0.1),B=(0.33, 0.42, 0.17, 0.08) 根据最大隶属原则，该老师讲课只能是较好。,

32、归一化后：,例2,服装评判 U=花色式样、耐穿程度、价格费用 V=很欢迎、较欢迎、不太欢迎、不欢迎 一类顾客的评判标准为：A=（0.2,0.5,0.3） 对某一种服装，经市场调查有： 花色式样： （20%的人欢迎，70%较欢迎，10%不太欢迎） 耐穿程度： （40%的人较欢迎，50%不太欢迎，10%不欢迎） 价格费用： （20%的人欢迎，30%较欢迎，40%不太欢迎，10%不欢迎）,B=A R=（0.2，0.5，0.3） =(0.2,0.4,0.5,0.1) 归一化后：B=(0.17，0.34，0.40，0.09) 所以该种服装在这类顾客中最可能不太受欢迎。,Lily:汪P107,因素集U =

33、u1(外观), u2(耗电量), u3(耐用程度), u4(价格)； 评判集V =v1(很满意), v2(较满意), v3(不太满意), v4(不满意). 对各因素所作的评判如下： u1 ：(0.2, 0.5, 0.2, 0.1) u2 ：(0.7, 0.2, 0.1, 0 ) u3 ：( 0, 0.4, 0.5, 0.1) u4 ：(0.2, 0.3, 0.5, 0 ),例3 电动车评判,对于给定各因素权重A = (0.1, 0.2, 0.3, 0.4),分别用各种模型所作的评判如下：,M(,)： B = (0.2, 0.3, 0.4, 0.1) M( ,)： B = (0.14, 0.12

34、, 0.2, 0.03) M(, )：B = (0.5, 0.9, 0.9, 0.2) M( , )： B = (0.24, 0.33, 0.39, 0.04),对于给定各因素权重A = (0.4, 0.35, 0.15, 0.1),分别用各种模型所作的评判如下：,M(,)： B = (0.35, 0.4, 0.2, 0.1) M( ,)： B = (0.245, 0.2, 0.08, 0.04) M(, )：B = (0.65, 0.85, 0.55, 0.2) M( , )： B = (0.345, 0.36, 0.24, 0.055),例4. “晋升”的数学模型.,以高校老师晋升教授为例

35、：因素集U =政治表现及工作态度,教学水平,科研水平,外语水平,评判集V=好,较好,一般,较差,差.,因素 好 较好 一般 较差 差 政治表现及工作态度 4 2 1 0 0 教学水平 6 1 0 0 0 科研水平 0 0 5 1 1 外语水平 2 2 1 1 1,给定以教学为主的权重A = (0.2, 0.5, 0.1, 0.2)，分别用M(,)、 M( , )模型所作的评判如下： M(,)： B = (0.5, 0.2, 0.14, 0.14, 0.14) 归一化后，B = (0.46, 0.18, 0.12, 0.12, 0.12) M( , )： B = (0.6, 0.19, 0.13

36、, 0.04, 0.04),模糊数学方法中权重的确定方法,在模糊综合评判决策中,权重是至关重要的,它反映了各个因素在综合决策过程中所占有的地位或所起的作用,它直接影响到综合决策的结果. 凭经验给出的权重,在一定的程度上能反映实际情况,评判的结果也比较符合实际,但它往往带有主观性,是不能客观地反映实际情况,评判结果可能“失真”. 加权统计方法,频数统计方法,(1) 对每一个因素uj ,在k个专家所给的权重aij中找出最大值Mj和最小值mj ,即 Mj =maxaij|1 i k, j =1, 2 , n; mj =minaij|1 i k, j =1, 2 , n. (2) 选取适当的正整数p,

37、将因素uj所对应的权重aij从小到大分成p组,组距为(Mj - mj)/p. (3) 计算落在每组内权重的频数与频率 (4) 取最大频率所在分组的组中值(或邻近的值)作为因素uj的权重. (5) 将所得的结果归一化.,3.4 模糊逻辑与模糊推理,对一句话，如果能够判断它表述的意思是真是假时， 就可以称为命题。,一个简单的语句叫“简单命题”，用命题联结词把两个以上的简单命题联结起来叫“复合命题”。,命题联结词有：析取 、合取 、否定 、蕴涵 等价,一、命题的概念,二、二值逻辑 非是即非,析取 ：意思是“或” 。,复合命题P Q 只有在P和Q都是假时，才是假。,例如：P她喜欢吃雪糕， Q她喜欢喝可

38、乐。 P Q她喜欢吃雪糕或喜欢喝可乐。,合取 ：意思是“与” 。,复合命题P Q 只有在P和Q都是真时，才是真。,例如：P她喜欢吃雪糕， Q她喜欢喝可乐。 P Q她喜欢吃雪糕和（与）喝可乐。,蕴涵 ： 意思是 “如果 . 那么 .”,例如：P是女孩子， Q她喜欢漂亮。 PQ如果是女孩子那么她喜欢漂亮。,等价：意思是“当且仅当”,例如：PA是等边三角形， Q A是等角三角形。 P QA是等边三角形当且仅当A是等角三角形。,二值逻辑的运算规则称为布尔代数，布尔代数是描述逻辑运算规律的数学，又称逻辑代数。若、 0，1，则布尔代数具有如下的运算性质：,1) 幂等律 2) 交换律 3) 结合律 4) 吸

39、收律 5) 分配律 6) 双否律 7) 互补律 8) 德摩根律 9) 常数运算法则,3.2 模糊逻辑及其基本运算,二值逻辑的特点是一个命题不是真命题便是假命题。但在很多实际问题中要做出这种非真即假的判断是困难的。 比如说“重庆的桥多”这显然是一个命题，但是这个命题究竟是真是假？那要看跟谁比较了，如果说“重庆的桥比较多”可能更为合适。 也就是说如果命题的真值不是简单的取“1”或“0”，而是可以在0，1区间连续取值，这样对此类命题的描述就更切合实际了。这就是模糊命题。,模糊命题是指带有模糊概念或模糊性的陈述句，是普通命题的推广，而模糊逻辑是研究模糊命题的逻辑。,一、模糊逻辑的定义,模糊命题的真值不

40、是绝对的“真”或“假”，而是反映其以多大程度隶属于“真”。因此，它不只是一个值，而是有多个值，甚至是连续量。 普通命题的真值相对于普通集合中元素的特征函数，而模糊命题的真值就是隶属度函数，所以模糊逻辑的基本运算，即真值的运算，就是隶属度函数的运算。,二、模糊逻辑的基本运算,设P、Q、R是三个模糊命题，那么,1、模糊逻辑补： 对命题否定，,2、模糊逻辑析取： P Q max（P，Q）,3、模糊逻辑合取： P Q min（P，Q）,4、模糊逻辑蕴涵： 如P是真的，则 Q也是真的。 P Q（1PQ） 1 min 1, （1PQ） ,5、模糊逻辑等价： 如P是真的，则 Q也是真的。 P Q（ P Q

41、） （ Q P ）,模糊逻辑的基本运算,模糊逻辑的基本运算,6、模糊逻辑限界积：,7、模糊逻辑限界和：,8、模糊逻辑限界差：,P她是个刁蛮的人，其真值P0.8 Q她是个泼辣的人，其真值Q0.6,那么 P Q min（P，Q）min(0.8 , 0.6)=0.6,P Q max（P，Q）max(0.8 , 0.6)=0.8,P Q (1P Q） 1 (10.80.6) 1=0.8,模糊逻辑的基本运算,例：设有模糊命题,根据模糊逻辑的基本运算定义，可以得出模糊逻辑运算满足模糊运算的基本定律，除了互补律外，其它八条定律与二值逻辑类似，模糊运算的互补律不成立，其互补运算满足：,作用： 利用模糊逻辑运算

42、满足的基本定律公式可以化简模糊逻辑函数。,3.3 模糊语言逻辑,所谓语言，通常指自然语言和人工语言。自然语言是指人类交流信息时使用的语言，它可以表示主、客观世界的各种事物、观念、行为、情感等。自然语言具有相当的不确定性，其主要特征就是模糊性，这种模糊性主要是由于自然语言中经常用到大量的模糊词(如黎明、模范、优美、拥护等)。人工语言主要是指程序设计语言，如我们熟悉的C语言、汇编语言等。人工语言的格式是非常严密、且概念十分清晰。 显然，模糊语言主要是指自然语言。,一、模糊语言的概念,广义角度来讲，一切具有模糊性的语言都称为模糊语言。我们知道，人们在日常生活中交流信息时，常常使用模糊语言来表达具有模

43、糊性的现象和事物。可见，模糊语言可以对自然语言的模糊性进行分析和处理。另外，需要指出的是模糊语言又具有灵活性，在不同的场合，某一模糊概念可以代表不同的含义。如“高个子”，在中国，把大约在1.75 1.85 m之间的人归结于“高个子”模糊概念里，而在欧洲，大约在1.80一1.90 m之间的人才能算作“高个子”。,综上所述，模糊语言实质上是具有模糊性的语言。模糊语言逻辑是由模糊语言构成的一种模拟人思维的逻辑。要将模糊语言表达出来，使机器能模拟人的思维、推理和判断，就需要了解模糊数、语言值、语言变量和语气算子这些概念.,二、模糊数,连续论域U中的一模糊数F是一个U上的正规凸模糊集。 也就是说，以实数

44、集合为全集合，一个具有连续隶属函数的正规的有界凸模糊集合就称为模糊数。 模糊数实质上是一个模糊子集。而所谓“正规集合”的含义就是隶属度函数的最大值为1，即 通俗地讲，模糊数就是那些诸如“大约5”、“10左右”等具有模糊概念的数值。,三 、语言值,在语言系统中，那些与数值有直接联系的词，如长、短、多、少、高、低、轻、重、大、小等或者由他们再加上语言算子（如很、非常、较、偏等）而派生出来的词组，如不太大、非常高、偏重等都被称为语言值。语言值一般是模糊的，可以用模糊数来表示。,例如，成年男子身高的论域： E=130,140,150,160,170,180,190,200,210 = e1,e2,e9

45、,在论域上定义语言值： 个子高=0.2/e4+0.4/e5+0.6/e6+0.8/e7+0.95/e8+1/e9 个子矮=1/e1+0.7/e2+0.5/e3+0.3/e4+0.1/e5,四、语言变量,语言变量是用一个五元素的集合来表征的：,其中： X 语言变量名（如速度、年龄、颜色）； T（X） 语言变量名的集合； U 语言变量 x 的论域； G 语法规则（用于产生语言变量 x的值）； M 算法规则（与每个语言变量含义相联系）。,所谓语言变量是以自然语言中的字或句作为变量，而不是以数值作为变量。,语言变量元素之间的关系示意图,语言变量用以表征那些十分复杂或无法用精确术语进行描述的现象，其必须

46、遵守语法规则和算法规则。 为了能够更加确切地描述模糊语言变量，进一步区分和刻划模糊值得程度，常常还借用自然语言中的修饰词，如“很”、“较”、“非常”、“有点”、“大约”、“稍微”等来描述模糊值，为此引入模糊语言算子的概念。 语言算子分为语气算子、模糊化算子和判定化算子三类：,语气算子是指一类加强或削弱模糊语言表达程度的词，可加在其他模糊词的前面进行修饰。 加强语气的词称为集中算子，如“特别”、“很”、“相当”等等；减弱语气的词称为散漫化算子，如“较”、“稍微”、“有点”等。,1、语气算子,记H为语气算子运算符，则原语言值A经语气算子H的作用，形成一个新的语言值H (A) 。设原语言值A的隶属度

47、函数为 A，新的语言值H (A)的隶属度函数为 H(A)，则,极 4 非常 3 很 2 相当 1.5 比较 0.8 略 0.6 稍 0.4,常用的语气算子 定义为：,当然，语气强弱的程度因人而异，对于某一特定语气的词,其 的取值不完全一样，但是其取值应与语气的强弱程度一致。,以“年老”这个词(语言值)为例，来说明语气算子的作用,则,例：,以及,假设有两个人，一个是60岁，另一个是70岁，那么他们分别属于“年老”、“很老”、“有点老”这三个语言值的隶属度可用公式求出为：,从上面的隶属度可以得出这样的结论：70岁的人比60岁的人 “年老”、“很老”和“有点老”的程度都高，也就是说70岁的人比60岁

48、的人更老。,2、模糊化算子,模糊化算子用来使语言中某些具有清晰概念的单词或词组的词义模糊化，或者将原来就已经是模糊概念的词义更加模糊化。如“大概”、“近似于”、“大约”等，,如果对数字进行作用就意味着把精确数转化为模糊数.例如数字“5”是一个精确数，而如果将模糊化算子“F”作用于“5”这个精确数就变成“F(5)”这一模糊数。若模糊化算子“F”是“大约”，则“F(5)”就是“大约5”这样一个模糊数。,在模糊控制中，实际系统的输入采样值一般总是精确量，要采用模糊逻辑推理方法进行模糊控制，就必须首先把精确量进行模糊化处理，而模糊化的过程实质上就是使用模糊化算子来实现的。可见模糊化算子的重要性。,设模

49、糊前的集合为A，模糊化算子为F，则模糊化变换可表示为F(A)，并且它们的隶属函数关系满足,如果A是清晰集，则A(x)就是特征函数。 R(x，c)是表示模糊程度的一个相似变换函数，通常可取正态分布曲线,即,参数 的取值大小取决于模糊化算子的强弱程度。,例 : 论域 X 上的清晰集A（x）的特征函数为,取c5，则”大约是5” 这一语言值的隶属度函数可以定义为,如右图所示：,3、判定化算子,判定化算子与模糊化算子的作用相反。它是将原来具有模糊词义的词进行肯定化处理。如“趋向于”、“大半是”、“偏向于”等。,设判定化前的集合为A，它的隶属函数为A(x)，判定化算子为P，则判定化变换可以表示为P（A），

50、它们的隶属函数关系满足,当取 =1/2时，P1/2可用来表示“趋向于”。,3.4 模糊变换,基于模糊关系的模糊变换是模糊控制中极为重要的运算过程。 所谓模糊变换，是指给定两个集合之间的一个模糊关系，据此将一个集合上的模糊子集经运算得到另一个集合上的模糊子集的过程。在模糊控制中，通过模糊变换可以从输入的模糊量求出所需的输出模糊量。,如图所示，当控制器的模糊关系R确定之后，若输入为A，则可经运算，求得控制器的输出B。,上式就是模糊变换，结果 B实际上是模糊子集 A和模糊关系矩阵R的合成，它把 X中的模糊集 A变为Y上的模糊集 B ，实现了论域的转换。当R表示的是某种逻辑因果关系时，则模糊变换就是一

51、种模糊推理。,设R为XY上的模糊关系，A是X上的模糊子集， 则可求出相应的B为,3.5 模糊逻辑推理,常规的逻辑推理方法如演绎推理、归纳推理都是严格的。用传统二值逻辑进行推理时，只要推理规则是正确的，小前提是肯定的，那么就一定会得到确定的结论。例如，前提：如果A，则B，如果B，则C。结论：如果A，则C。 然而，在现实生活中人们常常获得的信息是不精确的、不完全的、或者事实本身就是模糊而不能完全确定的。但又需要人们利用这些信息进行判断和决策。例如，若A大，则B小。已知A较大，则B应该多少?显然这样一类问题利用传统的二值逻辑是无法得到结果的，而人们在大部分情况下能够对其进行推理和判断，那么这种不确定

52、性推理的规则是什么呢?目前有关这方面的理论和方法还不成熟，尚在发展之中,目前已知的主要不确定性推理方法可归结为四类：MYCIN法、主观贝叶斯方法、证据理论法和模糊逻辑推理法,模糊逻辑推理是不确定性推理方法的一种，其基础是模糊逻辑，它是在二值逻辑三段论的基础上发展起来的。虽然它的数学基础没有形式逻辑那么严密，但用这种推理方法得到的结论与人类的思维推理结论是一致或相近的，并在实际使用中得到了验证，因此模糊逻辑推理方法已经受到了广泛的重视。模糊逻辑推理是以模糊判断为前提的，运用模糊语言规则，可推出一个新的模糊判断结论的方法。例,大前提：腿长则跑步快 小前提：小王腿很长 结论：小王跑步很快,大前提：腿

53、长则跑步快 小前提：小王腿很长 结论：小王跑步很快,它近似于二值逻辑的三段论推理模式。在这里“腿长”和“跑步快”都是模糊概念，而且小前提的模糊判断和大前提的前件不是严格相同的。因此这一推理的结论也不是从前提中严格地推出来的而是近似逻辑地推出的结论。通称为假言推理或是似然推理。 判断是否属于模糊逻辑推理的标准是看推理过程是否具有模糊性，具体表现看为推理规则是不是模糊的。,在模糊逻辑推理中有两种重要的推理方法，广义取式（肯定前提）推理和广义拒式（否定结论）推理：,（1）广义取式（肯定前提）推理,前提1：如果x是A，则y是B 前提2：如果x是A ， 结论： y是B,（2）广义拒式（否定结论）推理,前

54、提1：如果x是A，则y是B 前提2：如果y不是B ， 结论： x不是A,其中A，B，A，B 均为模糊集合，x 和y 为语言变量。,后面的介绍将以广义取式为例,模糊逻辑的推理方法还在发展之中，比较典型的有扎德(Zadeh)方法、玛达尼(Mamdani)方法、鲍德温(Baldwin)方法、耶格(Yager)方法、楚卡莫托(Tsukamoto)方法。 从条件变量的多少、模糊规则多少的角度来划分，模糊规则推理方法又可分为四种模糊推理规则：近似推理、模糊条件推理、多输入模糊推理和多输入多规则推理。 值得指出的是，这四种推理规则都可以选用不同的推理方法(如扎德法、玛达尼法、鲍德温法等)，但通常最简单、最方

55、便的推理法还是玛达尼的极大极小推理法。,下面以模糊取式推理为例，从近似推理、模糊条件推理、多输入模糊推理和多输入多规则推理四种推理方法来进行介绍。,一、近似推理规则 if A then B,在控制系统中经常存在此类现象，“如果温度低，则控制电压就增大”这样一个前提下，要问“如果温度很低，则控制电压将该是多少呢?”。很自然用人们的常识可以推知： “如果温度很低，则控制电压就很大”，这种推理方式就称为模糊近似推理。这种推理方式可以这样来表达：,要得到结论 B 关键在于如何计算模糊关系矩阵R= A B,1、Zadeh 推理法,根据不同的推理方法可以得到模糊关系矩阵R的元素AB (x, y)的不同计算方法，主要有两种：,R =（A B）= （A B）（1 - A）,其隶属度函数为,推理结果为,B = A R = A （A B）（1 - A）,其隶属度函数为,2、Mamdani 推理法,R = （A B）= A B = A B,其隶属度函数为,Mamdani把模糊蕴涵关系用A和B的笛卡尔积（直积）表示：,推理结果为,B = A R = A （A B）,其隶属度函数为,论域 XY 1，2，3，4，5 ，在X和Y上有三个模糊子集 “大”、