现代控制理论-第五章

1、第五章 线性系统的稳定性,第一节 概述 一.平衡状态 设系统的状态方程为 ，对所有的时间t，均存在f(xe)=0，则x=xe称为系统的平衡点。 例. 可见： 1.对线性定常系统，只要A阵非奇异，xe唯一 2.对非线性系统，xe可以存在多个 3.通过坐标变换，可以讲平衡状态点，转移到原点,二.稳定性的定义,若对任一实数0，都存在另一实数(,t0)0，使得下列不等式成立： |x0-xe|， |x0-xe| 设S()是包含满足方程|x0-xe|的点的一个球域，S()是包含满足方程|x0-xe| 的点的一个球域。 则对应于每一个S()，都存在一个S()，使得当t无限增加时，从S()出发的状态，其轨迹均

2、不超出S()，系统的平衡状态称为李雅普诺夫意义下是稳定的。,说明：,1.x是tt0时的状态变量，xe是平衡状态，x0是t=t0时的初态 2.欧几里德范数 3.若和均与初始时间t0无关，则xe为一致稳定 4.若平衡状态xe是稳定的，且当t时，由初态引起的系统响应x(t) xe ，则xe称为渐进稳定。 5. 若平衡状态xe是渐进稳定的，且S()包括整个状态空间，则xe称为大范围稳定。 6.无论实数选得多小，由初态引起的系统响应随时间增加都要脱离S()球域，则称为不稳定。 7.等幅振荡，只要幅值不超过S()球域，则xe在李雅普诺夫意义下是稳定的。 8.对线性定常系统， xe唯一，故对全系统而言只有一

3、种稳定性情况，而对非线性系统或时变系统，有不同的平衡点就有不同的稳定性。此时仅研究不同平衡状态下的各自的稳定性。,三.正定函数,1.正定函数V(x)： （1） V(x)对向量x中各分量可连续偏微分 （2）当x0时， V(x)0 （3）仅在x=0时， V(x)=0 2.正半定函数 （2）当x0时， V(x)=0 3.负定函数 （2）当x0时， V(x)0 4.负定函数 （2）当x0时， V(x)=0 5.不定函数： V(x)的值可正、可负。,例.判断下列函数的正定性,四.二次型函数,1.定义：具有下列形式的函数称为二次型函数，其中P为实对称矩阵。 2.二次型矩阵： P为二次型矩阵。一个二次型函数

4、V(x)必有一个二次型矩阵与之对应，同理，一个实对称矩阵必有一个二次型函数。 3.赛尔维斯特准则：二次型函数V(x)正定的充要条件是：二次型矩阵P的主、子行列式的值为正；若二次型矩阵P的主、子行列式的值非负，则V(x)半正定。,例题.证明V(x)为正定函数,第二节 李雅普诺夫判稳法,一.定理：设系统 ，且x0=0是系统的平衡状态。构造一个正定的标量函数V(x)，且V(x)连续一阶可微，则 1.若 是负定的，则系统在原点处的平衡状态是渐近稳定的。若随着x的增加， V(x)，则系统在原点处的平衡状态是大范围渐近稳定的。 2.若 是负半定的，且除x=0外， 不恒为零，则系统在原点处的平衡状态是渐近稳

5、定的。若随着x的增加， V(x)，则系统在原点处的平衡状态是大范围渐近稳定的。 3.若 是负半定的，则系统在原点处的平衡状态是李雅普诺夫意义下的稳定。 4.若 是正定的，或者若 是正半定的，且除x=0外， 不恒为零，则系统在原点处的平衡状态是不稳定的。,定理说明,1. V(x)是由系统状态变量所构成的二次型函数,代表系统的能量。 2.若系统的平衡点不在原点，可用坐标变换使平衡点处于原点。 3.判据仅是充分条件，即找到了满足上述条件的V(x)，则系统稳定，若找不到V(x)，不能说明系统不稳定。 4.对线性定常系统而言，只要是渐近稳定就一定是大范围渐近稳定 5.对非线性系统，尚无一定的求V(x)的方法，可以用变量梯度法、鲁尔法、波波夫法等。,二.线性定常系统V(x)的选取方法,1.任意选取法 例系统如下，判别其稳定性 解：,2.计算法求V(x),设系统 设 则 令 可见：此时设 为负定，只要证明V(x)为正定即可。根据赛尔维斯特准则，可以反求P阵为主子行列式的值均大于零。,例系统如下，判别其稳定性,第三节 非线性系统的稳定性,例： 解： （1）求xe (2)设V(x) (3)求 (4)判稳： 负半定，且除x=0外不恒为零，系统渐近稳定。也是大范围渐近稳定。,例：试判断单摆运动的