球的体积和表面积 教学设计

球的体积和表面积安庆市第二中学光星星使用教材：人教A版必修第二册实验器材药品：红色色素。仪器：带龙头扎啤桶，溢水杯，量筒500ml,量筒100ml,小烧杯，接水槽，充气实心球、小铁球，溜溜球，小彩球，乒乓球，圆柱、圆锥、空心半球、小刀、橙子，电脑。三、实验创新点1.在以往的教学中，学生容易说出用排水法测球的体积，由此发现这种方法求球的体积麻烦还存在误差。此次我打破常规，通过球的定义，引导学生猜想球的体积与半径有关系，让学生自己做实验得出五个常见球体的体积与直径数据表，让学生利用统计知识，借助图形计算器软件以半径r为横坐标，以v为纵坐标画出散点图，运用幂回归拟合和指数回归拟合，发现幂回归拟合效果好，此时近似得出V=4.06R3.012.以往教材中用极限思想求球的体积，本节课由小学实验等底等高的圆锥与圆柱体积关系，引导学生猜想球的体积与它们有关系吗？进而学生想到寻找等底等高的半球、圆柱、圆锥，用自制模具，让学生通过实验得出球的体积公式。3.在教材中，直接给出球的表面积公式，我打破常规，复习回顾刘徽割圆术，让学生从分割球的角度求球的体积，将橙子近似看成球体，让学生做切橙子实验，将橙子看成地球仪，沿经纬线分割得到n片，球的表面积等于n片的面积之和，当分割的越细密，即n越大时，每一片的顶点与球心的连线构成几何体近似看成四棱锥，当n→∞时，四、实验原理排水法求球形物体体积，即物体排开水的体积即为物体本身的体积。五、实验教学目标通过实验探究，从3个不同的角度说明球的体积公式，通过实验的探究过程让学生体验探究的乐趣，感受数学实验的魅力。通过实验探究得出的结论有一定的误差，让学生从理论证明的角度得出球的体积公式，让学生感受数学学科的严谨性，从而培养学生严谨求实的科学态度。在实验与探究的过程中，培养学生分析问题和解决问题的能力，落实逻辑推理、直观想象、数据分析、数学运算核心素养。六、实验教学内容本节课选自人教A版必修第二册第八章第三节简单几何体的表面积与体积中«球的体积和表面积»，本节课由如何求球的体积和表面积引入，通过实验探究出3种求球的体积的方法，用不同的方法得出球的体积公式，再根据实验存在误差，用理论证明球的体积公式，运用体积公式求球的表面积公式。七、实验教学过程教师活动学生活动【导课】向学生提出问题：制成一个篮球需要多少皮革？在标准大气压下充满一个篮球需要多少气体？由此引出问题：如何求球的体积和表面积？【提问1】怎么求球的体积呢？将“生活问题”转化为“数学问题”，激发学生学习兴趣，也体现了数学生活化。排水法【提问2】向学生展示球的定义，球的体积与什么有关系？学生猜想球的体积与半径有关系.【实验探究一】怎么测球的体积和直径呢？学生实验：学生实验（课前准备5个常见球形）：依据排水法原理，利用带龙头扎啤桶，溢水杯，量筒测出5个生活中常见球形物体的体积。用游标卡尺测5个球体的直径。【实验探究一】球的体积与直径有什么关系呢?利用图形计算器软件以球的半径r为横坐标、以球的体积v为纵坐标画出散点图，根据散点图的特征选择指数函数和幂函数回归拟合，显然幂函数拟合效果更好，进而得出球的体积关于半径的函数关系式。【实验探究二】【提问1】小学是怎么测量圆锥的体积？【提问2】球的体积与圆柱、圆锥可有关系？如果有怎么找关系呢？答1：利用等底等高的圆柱与圆锥的装水实验得出圆锥的体积是圆柱的13答2：先找半球与圆柱、圆锥的关系，探究等底等高的半球、圆柱、圆锥的关系.学生可以先猜想3个几何体的体积关系.【实验探究二】向学生展示自制模具等底等高的半球、圆柱、圆锥，问：它们的体积关系是什么呢?学生实验：学生将圆柱装满水，倒满圆锥后，剩下的刚好倒满半球，进而通过实验发现求球的体积的表达式v=4【理论证明】【提问1】学生通过实验一及数据分析和实验二得到球的体积都有可能存在一定的误差，如何来理论验证球的体积呢？由实验启发可以将半球看成是等底等高的圆柱挖去圆锥得到的.【视频+动画】用视频向学生介绍祖暅及祖暅原理，并利用动画演示祖暅原理.通过将一沓书倾斜放置书的体积有没有变化实验向学生说明祖暅原理满足的条件.【提问2】半球与等底等高的圆柱挖去圆锥符合祖暅原理条件吗？【动画】用软件向学生演示两个几何体在等高处任意位置的截面相等动画.1.学生通过两个特殊位置，调整了圆锥的位置，将圆锥倒置放，此时特殊位置符合截面相等;2.利用动画演示满足了学生直观感知的需要;3.在前面实验探究基础上，基于祖暅原理，对球的体积公式进行理论证明，让学生通过祖暅原理的巧妙，强调其比西方早一千多年，增强学生的文化自信.【实验探究三】1.引导学生复习回顾利用刘徽割圆术求圆的面积，能否还有别的方法推导球的体积呢？2.给学生发橙子，可以将橙子近似看成球体，请学生切一下橙子？（要求：切完以后得到各个部分的体积都比较容易把它近似求出来）1.学生受刘徽割圆术启发想到切割球；2.学生实验：学生分小组切橙子，分小组汇报：（1）将橙子用平行的平面切成几个近似的圆台，将球的体积近似看成圆台的体积之和；（2）将橙子用平行的平面切割更细些，这样将球的体积近似看成圆柱的体积之和；（3）将橙子看成地球仪，在橙子上近似画经纬网线，将得到的面沿球心切割，这样将球的体积近似看成四棱锥的体积之和.【动画】用动画展示其中两种切割，引导学生总结怎么分割可以近似代替？1.运用动画展示当n→∞2.总结过程：分割→近似→求和→取极限.1.学生回答切割的细些，分割的份数多些；2.请学生回去查阅微积分资料；3.请学生小组讨论最后一种分割，独立思考，请学生代表汇报：沿经纬线分割得到n片，球的表面积等于n片的面积之和，当分割的越细密，即n越大时，每一片的顶点与球心的连线构成几何体近似看成四棱锥，当n→∞时，【课堂小结】请学生总结本节课通过几种方法