05大学物理--振动和波

1、第五章,第五章 振动与波,振动是一种十分普遍的运动形式。其主要特征是物理量随时间作周期性变化。 波是振动在空间的传播，同时也是能量的传播。 尽管产生各类振动、波动具体机制不同，但可以分析研究它们的共同特征、波动方程和普遍性质。 本章主要研究机械振动和机械波，但其中的很多规律都适用于其他波。,第五章 振 动 和 波, 简谐振动的基本规律；简谐振动的合成。 平面简谐波波动方程；惠更斯原理及波的叠加原理，波的干涉。 机械振动和机械波的应用。,第五章 振 动 和 波,第一节 简谐振动,振动一个物理量随时间 t 作周期性变化：,“周期性”是这种运动形式的典型特征,机械振动：物体在一定位置附近作来回往复的

2、运动。,弹簧振子(spring oscillator)的例子,一根轻弹簧连接一个质点，置于光滑水平面上。 k 为劲度系数(coefficient of stiffness),小幅振动满足胡克定律：F= kx,物体所受的合外力与和位移成正比，方向始终指向平衡位置，称为线性回复力。,由牛顿第二定律： kx=ma,一、简谐振动(Harmonic vibration)的运动方程,第一节 简谐振动,第一节 简谐振动,令,微分方程的解就是运动方程:,上式即： ma+kx=0 或：,这样的运动规律符合简谐函数形式，叫做简谐振动(simple harimonic vibration ) 。,A 振幅(ampl

3、itude),离开平衡位置的最大位移。,三个重要的特征量, 角频率 （或称圆频率）(angular frequency),在2秒时间内完成全振动的次数。, 初相 (initial phase),反映初始时刻振动系统的运动状态。,第一节 简谐振动,二、简谐振动的特征量,振动的相位(phase),(t+) 称为振动的相位，t = 0 时刻的相位为初相。,1. 用“相位”描述物体的运动状态。 2. 用“相位”来比较两个同频率简谐振动的“步调”。,频率 ： 1 秒内完成全振动的次数，单位：Hz。 周期 T ： 完成一次全振动所经历的时间, 单位 s。,频率与周期(frequency 电磁波的传播不需介

4、质。,机械波和电磁波的不同之处,两类波的共同特征,都是振动状态的传播 都是能量传播 都能发生反射、折射、干涉、衍射,第五节 简谐波,质点的振动方向和波动的传播方向垂直，交替出现波峰和波谷。,横波(Transverse Wave),质点的振动方向和波动的传播方向平行，疏密相间。,简谐波(Harmonic Wave),介质中各质点都作简谐振动。,纵波(Longitudinal wave),第五节 简谐波,机械波的传播特征,1. 波动是振动状态的传播。介质中各质点在平衡位置附近振动，并未“随波逐流”。,2. 波动是相位的传播。在波的传播方向上，各质点的振动相位依次落后。,3. 波动是能量的传播。,第

5、五节 简谐波,波 线： 表示波的传播方向的直线。 波阵面： 振动相位相同的点组成的面。 波 前： 某一时刻最前面的波阵面,波线、波阵面、波前,第五节 简谐波,描述波动的重要物理量：波长、波速,波长 ：在同一波线上两个相邻的、相位差为 2的振动质点之间的距离。波长反映了波动在空间上的周期性。,波的周期 T：波前进一个波长的距离所需的时间。,波的频率 ：周期的倒数， =1/T,周期和频率反映了波动在时间上的周期性。,第五节 简谐波,波速 u ：振动的传播速度。在一个时间周期T内波向外传播了一个空间周期，因此波速为：,波速和波长由介质的性质决定，而波的频率与介质的性质无关，由波源决定。,第五节 简谐

6、波,介质中波前上各点都可以当作新的波源，发出球面子波，在其后的任一时刻，这些子波的包络就形成新的波前。,惠更斯（Huygens）原理：,球面波的传播,平面波的传播,第五节 简谐波,平面简谐波：波阵面为平面的简谐波。,设平面简谐波以速度 u 沿 Ox 方向传播。 已知 t=t0 时的波动情况，要给出波线上任意坐标x 处的质点P的位移 y 随时间 t 的变化规律波动方程 y ( x , t )的函数形式。,第五节 简谐波,二、 波动方程,设 O 点的振动表达式为：,振动从 O 点传波到 P 点需时间 t=x/u ，所以：t 时刻在 x 处的P点的振动情况与O点处的tt时刻的情况相同，因此P点的运动

7、表达式应该为：,t+t 时刻,第五节 简谐波,沿 x 轴正方向传播的平面简谐波的波动方程,也可改用周期T、频率和波长表示：,第五节 简谐波,沿 x 轴负方向传播的平面简谐波的波动方程,第五节 简谐波,若已知 x0 点的振动表达式,同样可得在 x 轴正方向传播的平面简谐波的波动方程：,第五节 简谐波,波动方程的物理意义,1. 体现波动在时间上和空间上都具有周期性,2. 分别用 x = x1 、 x = x2 （定值）代入， 得 x1、 x2 点的振动表达式,第五节 简谐波,在波的传播方向上，两定点 x1 和 x2的振动相位依次落后，相位差为:,在波线上，对应一个波长的间距，相位差为 2 .,3.

8、 用 t = t1（定值）代入，得 t1 时刻的波形图：,t1,t1+t,第五节 简谐波,波动方程的微分形式,平面波的波动方程：,1. 由平面简谐波的波函数对 x 和 t 求偏导数可得这一方程， 但方程的解并不仅限于平面简谐波的波函数。前述的简谐 波的表达式只是它的一个解。,2. 任何物理量 y ，不管是力学量、电学量或其他量，只要它 与时间和坐标的关系满足这一方程，则这一物理量就按波 的形式传播。方程中的 u 就是这种波的传播速度。,第五节 简谐波,已知 t = 0 时的波形曲线为，波沿 x 正向传播，在 t = 0.5 s 时波形变为曲线。已知波的周期 T 1 s ，试根据图示条件求波动方

9、程和 P 点的振动表达式。（已知 A = 0.01 m）,第五节 简谐波,根据图中信息和题给数据，得到一些基本量：,设坐标原点振动表达式：,根据初始条件，,u,因此O点振动表达式：,第五节 简谐波,所以，可得波动方程：,P点振动表达式：,第五节 简谐波,机械波传播到弹性介质中某处，该点介质由不动到振动，因而具有动能，同时该点介质将产生形变，因而具有弹性势能。介质由近及远地振动，相应地，能量向外传播。,设有一平面简谐波 ，以波速u在密度为的均匀介质中传播。在介质中取体积为V、质量为m=V的介质元，波传播到此体元时，体元具有动能Ek和势能Ep。,1. 波的能量,第五节 简谐波,三、波的能量,介质元

10、的总机械能：,介质元的总机械能随时间作周期性变化，表明对任意介质元，都在不断的接受和放出能量 波动传递能量，波是能量传播的一种形式。,可以证明：,第五节 简谐波,平均能量密度：能量密度在一个周期内的平均值。,机械波的平均能量密度与振幅的平方、频率的平方及介质的密度都成正比。,2. 能量密度(volume density of energy),能量密度： 单位体积内波的总能量。,第五节 简谐波,能流密度 (energy flux density),在单位时间内通过垂直于波线的单位面积上的波的平均能量，即为能流密度 I，也叫波的强度：,单位时间内通过介质中某面积的能量称为通过该面积的能流。在图中垂

11、直于波速u方向取面积S，单位时间内通过S面的能量，等于体积uS中的能量。则一个周期内通过S的平均能流为 。,它是表征波动中能量传播的一个重要物理量。,第五节 简谐波,试利用能流密度的概念求出球面波的表达式。,设在t1时刻球面波到达r1处，即球面波的波前是半径为r1的球面(面积S1=4r12)，在t2时刻波前半径是r2 (面积S2=4r22) 。设介质本身不吸收能量，则单位时间内通过S1面的能量，必然通过S2。因此有如下等式：,式中的A1和A2分别表示两球面波的振幅。由上式可得：,即球面波的振幅与离开波源的距离成反比。波动方程可为：,第五节 简谐波,几列波可以保持各自的特点（ 频率、波长、振幅、

12、振动方向等）同时通过同一介质，即波的传播具有独立性。 在叠加区域内，任一质点振动的位移是各列波单独存在时在该点产生的位移的合成。叠加过后原来的方向继续前进，好象没有遇到过其他波一样。,第六节 波的叠加原理、波的干涉,一、波的叠加原理(superposition principle),干涉现象:几列波在相遇的叠加区域内，某些点的振动始终加强，而另有一些点的振动始终减弱。,相干条件： 1.波的振动频率相同， 2.振动方向相同， 3.振动相位相同或有恒定的相位差。,能产生干涉现象的两列波叫做相干波（coherent wave）。,二、波的干涉(interference),第六节 波的叠加原理、波的干

13、涉,设有两相干波源S1、S2，振动方程为：,两波在P点相遇，振动分别为：,两振动在P点的合成后的方程为：,其中：,注意到A的大小与 有关！,第六节 波的叠加原理、波的干涉,干涉加强条件,对于初相相同的相干波源 ，上述条件可简化为：,其中的意义为波程差,干涉减弱条件,第六节 波的叠加原理、波的干涉,从波程差=r1-r2角度考虑波的干涉：,当两个初相相同的相干波源发出的波叠加时： 波程差等于波长整数倍的各点，合振动振幅最大，干涉加强；波程差等于半波长奇数倍的各点，合振动振幅最小，干涉减弱。,波的干涉是波的重要特征，在光学、声学、现代信息工程、近代物理等许多学科中有着重要的应用。,第六节 波的叠加原

14、理 波的干涉,频率相同、振动方向相同、振幅相同而传播方向相反的两列波相叠加，形成驻波。驻波是一种特殊的干涉现象。,设两列波的方程为,沿正方向传播：,沿负方向传播：,两列波重叠处的合振动为：,第六节 波的叠加原理 波的干涉,三、驻波(standing wave),1. 此表达式不表示行波，它表示了各个不同位置处（坐标 x）的点在不同时刻的振动情况。,2. 注意到不同位置处各质点做不等幅但同频率的简谐振动，并且在某些点处的振幅为零，形成波节，在某些点处的振幅最大，形成波腹。,3. 驻波没有能量的定向传播。,合运动驻波的表达式,第六节 波的叠加原理 波的干涉,驻波的波形特征,1. 两个波节（或波幅）

15、的间距为 /2。,同一段上的各点的振动同相，而隔开一个波节的各点的振动反相。,第六节 波的叠加原理 波的干涉,半波损失（half wave loss）,在介质的分界面处出现波节，必须入射波和反射波在分界面处的相位相反。,考虑绳子两端固定的驻波：当波从一种介质垂直入射到第二种介质时，如果第二中介质的密度与波速的乘积大于第一中介质的密度与波速的乘积（前者称波密介质，后者称波疏介质），即2u2 1u1，则分界面处将出现波节，这时入射波与反射波在分界面有的相位突变，从波长的角度考虑有/2的波长差，此现象称半波损失。,第六节 波的叠加原理、波的干涉,第七节 声波和超声波,(可闻)声波(sound wav

16、e)： 频率范围 2020000 Hz内的声振动。 超声波(ultrasonic)： 频率高于此范围。 次声波(infrasound)： 频率低于此范围。,声波是机械振动在弹性介质中传播的纵波。,声强级公式：单位用分贝(decibel, dB)表示：,声强：声波的能流密度。它是单位时间内通过垂直于声波传播方向的单位面积的声波能量。即： I=A22u 。,人耳是很灵敏的感觉器官，所能感受的声音的强度范围非常大，数量级相差1012倍。如：1000Hz声音，10-12Wm-2 I 1 Wm-2，它也无法将这样大范围的声音由弱到强分辨出1012个等级来。在声学中使用对数标度来量度声强，叫声强级（I.

17、L.）。,I 0=10-12Wm-2，是闻阈的声强，因此闻阈的声强为0dB，而痛阈的声强为120dB.,注意：声强级不能用代数相加。,一、声强和声强级,第七节 声波和超声波,引起人听觉的声强范围：,第七节 声波和超声波,当鸣笛的火车开向站台，站台上的观察者听到的笛声变尖，即频率升高；相反，当火车离开站台，听到的笛声频率降低。 波源与观察者之间有相对运动时，观察者接受到的波的频率R与波源的振动频率s不同，这种现象称为多普勒效应。机械波的多普勒效应称为经典多普勒效应。,第七节 声波和超声波,二、 多普勒效应(Doppler effect),观察者向波源运动时，1 s 内接收到更多的波峰， 即观测到

18、的波的频率增高。,波源向观察者运动时， 观察者更快接收到下一个波峰， 即观测到的频率增高。,利用声波的多普勒效应可以测定流体的流速、潜艇的速度，还可以用来报警和监测车速。在医学上，利用超声波的多普勒效应对心脏跳动情况进行诊断，做成超声心动、多普勒血流仪等。,第七节 声波和超声波,机械波的多普勒效应计算公式：,“相互接近”即相向运动时 , vo 、vs 取正号，观察所得频率高于实际频率。,“相互远离”即相背运动时，vo 、vs 取负号，观察所得频率低于实际频率。,第七节 声波和超声波,天文学上的“红移”就是电磁波的多普勒效应。 分子、原子的发光光谱的多普勒展宽，会使得光谱的单色性变差。,光的多普勒效应,对光波也存在多普勒效应。但是光的传播不依赖弹性介质，而重要的是相对运动速度vr，