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文档简介
1、2019届福建省福州市高三第一学期质量抽测数学(理)试题一、单选题1设集合,则( )A B C D【答案】D【解析】首先解绝对值不等式,求出集合A,之后利用交集的定义求得结果.【详解】由解得,所以,又,所以,故选D.【点睛】该题考查的是有关集合的交集的概念及运算,属于简单题目.2已知复数满足,则为A B C2 D1【答案】A【解析】首先利用复数的运算法则,求出复数z,再应用复数的模的运算公式,求得结果.【详解】由,得,所以,故选A.【点睛】该题考查的是有关复数的问题,涉及到的知识点有复数的乘法运算法则和除法运算法则,还有复数的模,属于简单题目.3曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为A2
2、 B C D【答案】D【解析】根据求导公式求出函数的导函数,把代入求出切线的斜率,代入点斜式方程并化简,分别令和,求出切线与坐标轴的交点坐标,再代入面积公式求解.【详解】由题意得,所以,则在点处的切线斜率为,所以切线方程为:,即,令,得,令,得,所以切线与坐标轴围成三角形的面积,故选D.【点睛】该题考查的是有关直线与坐标轴围成三角形面积问题,涉及到的知识点有导数的几何意义,曲线的切线方程,直线方程的点斜式,三角形的面积公式,熟练掌握基础知识是正确解题的关键.4已知等差数列的前项和为,且,则A20 B40 C60 D80【答案】B【解析】首先利用等差数列的性质,以及题中所给的条件,求得,之后应用
3、等差数列的求和公式求得结果.【详解】等差数列中,前n项和为,且,因为由等差数列的性质可知,所以,故选B.【点睛】该题考查的是有关等差数列的求和问题,涉及到的知识点有等差数列性质,等差数列的求和公式,属于基础题目.5给出下列说法:“”是“”的充分不必要条件;定义在上的偶函数的最大值为30;命题“,”的否定形式是“,”.其中正确说法的个数为A0 B1 C2 D3【答案】C【解析】对于,利用充分不必要条件的定义判读其正确性,对于,利用偶函数的定义求得参数的值,结合二次函数的性质,求得其最大值,得出其正确性,对于,应用特称命题的否定形式,判断其是否正确,即可得结果.【详解】对于,当时,一定有,但是当时
4、,所以“”是“”的充分不必要条件,所以正确;对于,因为为偶函数,所以,因为定义域为,所以,所以函数的最大值为,所以正确;对于,命题“,”的否定形式是“,”,所以是错误的;故正确命题的个数为2,故选C.【点睛】该题考查的是有关判断正确命题个数的问题,涉及到的知识点有充分必要条件的判断,偶函数的性质,含有一个量词的命题的否定,考查的都是基础.6已知双曲线的两条渐近线均与圆相切,则双曲线的离心率为A B C D【答案】A【解析】先将圆的方程化为标准方程,再根据双曲线的两条渐近线均和圆相切,利用圆心到直线的距离等于半径,可建立几何量之间的关系,从而可求双曲线离心率.【详解】双曲线的渐近线方程为,即,将
5、圆化为标准方程得,所以其圆心为,半径为2,根据题意,可得圆心到直线的距离等于半径,即,整理得,因为,所以有,所以,故选A.【点睛】该题考查的是有关双曲线的离心率的问题,涉及到的知识点有双曲线的渐近线方程,直线与圆相切的条件,双曲线中之间的关系,双曲线的离心率,属于中档题目.7秦九韶是我国南宋时期的数学家,普州(现四川省安岳县)人,他在所著的数学九章中提出的多项式求值的秦九韶算法,至今仍是比较先进的算法.如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求多项式值的一个实例,若输入,的值分别为3、3,则输出的值为A143 B48 C16 D5【答案】B【解析】由题意,模拟程序的运行,依次写出每次循环得到的的
6、值,当时,不满足条件,跳出循环,输出的值为48.【详解】初始值,程序运行过程如下表所示:,不满足条件,跳出循环,输出的值为48,故选B【点睛】该题考查的是有关程序框图的输出结果的问题,在解题的过程中,注意在什么情况下跳出循环,属于简单题目.8某个几何体的三视图如图所示,在该几何体的各个侧面中,面积最大的侧面的面积为A B1 C D【答案】D【解析】首先根据题中所给的几何体的三视图,还原几何体,得出其为底面是直角梯形,且一条侧棱和底面垂直的四棱锥,并且根据题中所给的数据可以断定四个侧面分别是直角三角形,利用面积公式求得各个侧面的面积,比较大小得出结果.【详解】分析其三视图,可以确定该几何体是底面
7、是直角梯形,且一条侧棱和底面垂直的四棱锥,并且根据题中所给的数据可以断定四个侧面分别是直角三角形,从而可以求得该四棱锥的四个从侧面的直角边长分别是;利用面积公式求得各侧面的面积,比较大小可知最大的是,故选D.【点睛】该题考查的是有关棱锥侧面的面积大小问题,涉及到的知识点有利用三视图还原几何体,判断侧面三角形的形状,比较各三角形面积的大小,属于中档题目.9已知点是内部一点,且满足,又,则的面积为A B3 C1 D2【答案】C【解析】据向量的平行四边形法则判断出点O为三角形的重心,根据重心的性质得出的面积与面积的关系,利用向量的数量积公式,求出三角形两邻边的乘积,据三角形的面积公式求出面积.【详解
8、】因为,所以O为的重心,所以的面积是面积的,因为,所以,因为,所以,所以,所以的面积为1,故选C.【点睛】该题考查的是有关三角形的面积问题,涉及到的知识点有三角形的重心的性质,向量的数量积运算,三角形的面积公式,属于中档题目.10已知函数,将的图像上的所有点的横坐标缩短到原来的,纵坐标保持不变;再把所得图像向上平移1个单位长度,得到函数的图像,若,则的值可能为A B C D【答案】B【解析】首先利用余弦的倍角公式和辅助角公式对函数解析式进行化简,求得的解析式,之后根据图象变换的原则,求得的解析式,根据,得到和都是函数的最大值3,从而得出的值为周期的整数倍,求得结果.【详解】由题意得,所以,所以
9、的最小正周期为,由,可知和都是函数的最大值3(或都是最小值-3),所以的值为周期的整数倍,所以其最小值为,故选B.【点睛】该题考查的是有关两个变量的差值的问题,涉及到的知识点有三角式的化简,三角函数的图象变换,函数的最值,函数的周期,熟练掌握相关公式是正确解题的关键.11如图,函数的图像为两条射线,组成的折线,如果不等式的解集中有且仅有1个整数,那么实数的取值范围是A BC D【答案】B【解析】求得f(x)的分段函数式,由条件可得ax2xf(x),令g(x)x2xf(x),画出g(x)的图象,结合图象可得a的范围【详解】根据题意可知f(x),不等式f(x)x2xa等价于ax2xf(x),令g(
10、x)x2xf(x),可得g(x)的大致图象,如图所示,又g(0)2,g(1)1,g(1)2,要使不等式的解集中有且仅有1个整数,则2a1,即a取值范围是a|2a1故选:B【点睛】本题考查直线方程的求法,含参不等式的解法,注意运用分离法,考查数形结合思想方法,属于中档题12已知函数,若恒成立,则实数的取值范围是A BC D【答案】A【解析】首先根据题中的条件,结合函数的定义域,对不等式进行变形,之后将恒成立问题转化为最值来处理,利用导数研究函数的单调性,求得函数的最大值,从而求得结果.【详解】根据题意可得恒成立,因为,所以不等式可化为:恒成立,令,可求得当时,当时,所在上单调增,在上单调减,所以
11、,所以的取值范围是,故选A.【点睛】该题考查的是有关不等式恒成立的问题,在解题的过程中,将恒成立问题转化为最值问题,构造新函数,利用导数研究函数的最大值,再者就是利用题的条件,大于其最大值,可以到正无穷,只有A项满足条件,从而很容易求得结果.二、填空题13已知实数,满足条件,则的最大值为_【答案】3【解析】作出题中所给的约束条件对应的可行域,化目标函数为直线方程的斜截式,数形结合得到最优解,把最优解的坐标代入目标函数求得答案.【详解】根据题中所给的约束条件,画出其对应的可行域如图所示:令,得,从而上下移动直线,可知当直线过点A时,取得最大值,由解得,此时,故答案是:3.【点睛】该题考查的是有关
12、线性规划的问题,在解题的过程中,需要准确地画出约束条件对应的可行域,找出最优解,将最优解代入目标函数,求得结果.14已知函数,且,则_【答案】1【解析】令,可知函数为奇函数,由,可求得,之后利用性质求得结果.【详解】令,因为,所以函数为奇函数,由,所以,所以,故答案是:1.【点睛】该题考查的是有关函数值的求解问题,涉及到的知识点有奇函数的性质,在解题的过程中,注意整体思维的应用.15已知抛物线的焦点为,直线过且依次交抛物线及圆于点,四点,则的最小值为_【答案】13【解析】由抛物线的定义可知:,从而得到,同理,分类讨论,根据不等式的性质,即可求得的最小值.【详解】因为,所以焦点,准线,由圆:,可
13、知其圆心为,半径为,由抛物线的定义得:,又因为,所以,同理,当轴时,则,所以,当的斜率存在且不为0时,设时,代入抛物线方程,得: ,所以,当且仅当,即时取等号,综上所述,的最小值为13,故答案是:13.【点睛】该题考查的是有关抛物线的简单性质的问题,涉及到的知识点有抛物线的定义,抛物线上的点到焦点的距离,直线与抛物线相交的问题,基本不等式求最值问题,在解题的过程中,注意认真审题是正确解题的关键.16函数在区间上单调递增,则实数的取值范围是_【答案】【解析】由求导公式和法则求出,由题意可得在区间上恒成立,设,从而转化为,结合变量的范围,以及取值范围,可求得其最大值,从而求得结果.【详解】,则,因
14、为函数在上单调增,可得在上恒成立,即,令,则,所以,因为在上是增函数,所以其最大值为,所以实数的取值范围是.【点睛】该题考查的是有关函数在给定区间上是增函数,求参数的取值范围的问题,涉及到的知识点有导数与单调性的关系,恒成立问题向最值问题转换,注意同角的正余弦的和与积的关系.三、解答题17如图,在中,是边的中点,.()求角的大小;()若,求的面积.【答案】()()【解析】()根据三角形的性质和内角和的定理,转化为两角差的问题,应用差角余弦公式,求得结果;()根据第一题的结果,可知,根据正弦定理,求得 ,是边的中点,应用面积公式求得结果.【详解】()由,得,由,得又,所以,又,所以.()解法一:
15、由()知,在中,由正弦定理,得,所以, .因为是边的中点,所以,.故 .解法二:由()知,在中,由正弦定理,得,所以, .因为是边的中点,所以,所以, .【点睛】该题考查的是有关解三角形的问题,涉及到的知识点有三角形的性质,和角公式,正弦定理,以及三角形的面积公式,正确应用公式是解题的关键.18在数列中,设, ()求证数列是等差数列,并求通项公式;()设,且数列的前项和,若,求使恒成立的的取值范围.【答案】()证明见解析;()【解析】()根据题中所给的条件,取倒数,即可证明,注意利用等差数列的定义和通项公式;()用错位相减法求和,之后将恒成立问题转化为最值来处理即可得结果.【详解】证法一:解:
16、()由条件知,所以,所以,又,所以,数列是首项为1,公差为1的等差数列,故数列的通项公式为:.证法二:由条件,得 又,所以,数列是首项为1,公差为1的等差数列,故数列的通项公式为:.()由()知,则,由-得,恒成立,等价于对任意恒成立.,.【点睛】该题考查的是有关数列的问题,涉及到的知识点有等差数列的证明问题,等差数列的定义和等差数列的通项公式,应用错位相减法对数列求和,关于恒成立问题求参数的取值范围,保持思路清晰是正确解题的关键.19如图,在三棱柱中,.()求证:平面;()若是棱的中点,求直线与平面所成角的正弦值.【答案】()见解析()【解析】()根据题中的条件,利用线面垂直的判定定理,可证
17、得平面,进而证得,利用勾股定理,可证得,利用线面垂直的判定定理,可证得平面,证得结果;()利用()的结论,建立空间直角坐标系,利用空间向量,求得线面角的正弦值,得到结果.【详解】()证明:在三棱柱中,又,平面,又平面,又,平面.()解法一:由()知,直线,两两互相垂直,如图,以为原点,分别以,所在直线为,轴,建立空间直角坐标系,则,设平面的法向量,则,所以,取,则,又,设直线与平面所成角为,则 .直线平面所成角的正弦值.解法二:由()知,直线,两两互相垂直,以为原点,分别以、所在直线为,轴,建立如图所示空间直角坐标系,则,设平面的法向量,则,所以,取,则,又,设直线与平面所成角为,则 .直线平
18、面所成角的正弦值.【点睛】该题考查的是有关立体几何的问题,涉及到的知识点有线面垂直的判定,应用向量法求线面角的正弦值,在解题的过程中,需要对定理的条件和结论要熟记,再者就是正确建立空间坐标系.20已知点在椭圆上,为坐标原点,直线的斜率与直线的斜率乘积为.()求椭圆的方程;()不经过点的直线(且)与椭圆交于,两点,关于原点的对称点为(与点不重合),直线,与轴分别交于两点,求证:.【答案】()()见解析【解析】()根据椭圆的中点弦所在直线的斜率的性质,得到,得到,再结合椭圆所过的点的坐标满足椭圆方程,联立方程组,求得,进而求得椭圆的方程;()将直线方程与椭圆方程联立,消元,利用韦达定理得到两根和与
19、两根积,将证明结果转化为证明直线,的斜率互为相反数,列式,可证.【详解】()由题意,即 又联立解得所以,椭圆的方程为:.()设,由,得,所以,即,又因为,所以,解法一:要证明,可转化为证明直线,的斜率互为相反数,只需证明,即证明. ,.解法二:要证明,可转化为证明直线,与轴交点、连线中点的纵坐标为,即垂直平分即可.直线与的方程分别为:,分别令,得,而,同解法一,可得,即垂直平分.所以,.【点睛】该题考查的是有关解析几何的问题,涉及到的知识点有椭圆方程的求解,用到的结论有椭圆中点弦所在直线的斜率的特征,再者就是直线与椭圆相交的综合题,认真审题是正确解题的关键,注意正确的等价转化.21设函数.()
20、当时,求函数的单调区间;()当时,若函数与函数的图像总有两个交点,设两个交点的横坐标分别为,. 求的取值范围; 求证:.【答案】()当时,单调递增区间是;单调递减区间是.(),见解析【解析】()求出函数的导数,结合题中所给的的条件,令导数大于零和导数小于零,分别求出函数的单调增区间和单调减区间;()函数与函数的图像总有两个交点,等价于函数 有两个零点,对函数求导,研究函数的单调性,从而求得参数m的范围,之后根据两个零点的条件,以及函数图象的特点,证得结果.【详解】()由已知得,由,令得:,令得,所以,当时,单调递增区间是;单调递减区间是.()令 ,解法一:由得,;由得,易知,为的极大值点.,当时,;当时,.由题意,只需满足,的取值范围是:.解法二:,由得,;由得,易知,为极大值点.而在时取得极小值,由题意,只需满足,解得.由题意知,为函数 的两个零点,由知,不妨设,则,且函数在上单调递增,欲证,只需证明,而,所以,只需证明.令,则,即所以,即在上为增函数,所以,成立,所以,.【点睛】该题考查的是有关导数的应用问题,涉及到的知识点有利用导数研究函数的单调性,将图象交点的个数转化为函数零点的个数问题,构造新函数,利用导数研究其图
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