2019届福建省福州市高三第一学期质量抽测数学(理)试题(解析版)

1、2019届福建省福州市高三第一学期质量抽测数学（理）试题一、单选题1设集合，则（ ）A B C D【答案】D【解析】首先解绝对值不等式，求出集合A，之后利用交集的定义求得结果.【详解】由解得，所以，又，所以，故选D.【点睛】该题考查的是有关集合的交集的概念及运算，属于简单题目.2已知复数满足，则为A B C2 D1【答案】A【解析】首先利用复数的运算法则，求出复数z，再应用复数的模的运算公式，求得结果.【详解】由，得，所以，故选A.【点睛】该题考查的是有关复数的问题，涉及到的知识点有复数的乘法运算法则和除法运算法则，还有复数的模，属于简单题目.3曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为A2

2、 B C D【答案】D【解析】根据求导公式求出函数的导函数，把代入求出切线的斜率，代入点斜式方程并化简，分别令和，求出切线与坐标轴的交点坐标，再代入面积公式求解.【详解】由题意得，所以，则在点处的切线斜率为，所以切线方程为：，即，令，得，令，得，所以切线与坐标轴围成三角形的面积，故选D.【点睛】该题考查的是有关直线与坐标轴围成三角形面积问题，涉及到的知识点有导数的几何意义，曲线的切线方程，直线方程的点斜式，三角形的面积公式，熟练掌握基础知识是正确解题的关键.4已知等差数列的前项和为，且，则A20 B40 C60 D80【答案】B【解析】首先利用等差数列的性质，以及题中所给的条件，求得，之后应用

3、等差数列的求和公式求得结果.【详解】等差数列中，前n项和为，且，因为由等差数列的性质可知，所以，故选B.【点睛】该题考查的是有关等差数列的求和问题，涉及到的知识点有等差数列性质，等差数列的求和公式，属于基础题目.5给出下列说法：“”是“”的充分不必要条件；定义在上的偶函数的最大值为30；命题“，”的否定形式是“，”.其中正确说法的个数为A0 B1 C2 D3【答案】C【解析】对于，利用充分不必要条件的定义判读其正确性，对于，利用偶函数的定义求得参数的值，结合二次函数的性质，求得其最大值，得出其正确性，对于，应用特称命题的否定形式，判断其是否正确，即可得结果.【详解】对于，当时，一定有，但是当时

4、，所以“”是“”的充分不必要条件，所以正确；对于，因为为偶函数，所以，因为定义域为，所以，所以函数的最大值为，所以正确；对于，命题“，”的否定形式是“，”，所以是错误的；故正确命题的个数为2，故选C.【点睛】该题考查的是有关判断正确命题个数的问题，涉及到的知识点有充分必要条件的判断，偶函数的性质，含有一个量词的命题的否定，考查的都是基础.6已知双曲线的两条渐近线均与圆相切，则双曲线的离心率为A B C D【答案】A【解析】先将圆的方程化为标准方程，再根据双曲线的两条渐近线均和圆相切，利用圆心到直线的距离等于半径，可建立几何量之间的关系，从而可求双曲线离心率.【详解】双曲线的渐近线方程为，即，将

5、圆化为标准方程得，所以其圆心为，半径为2，根据题意，可得圆心到直线的距离等于半径，即，整理得，因为，所以有，所以，故选A.【点睛】该题考查的是有关双曲线的离心率的问题，涉及到的知识点有双曲线的渐近线方程，直线与圆相切的条件，双曲线中之间的关系，双曲线的离心率，属于中档题目.7秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州（现四川省安岳县）人，他在所著的数学九章中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法.如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求多项式值的一个实例，若输入，的值分别为3、3，则输出的值为A143 B48 C16 D5【答案】B【解析】由题意，模拟程序的运行，依次写出每次循环得到的的

6、值，当时，不满足条件，跳出循环，输出的值为48.【详解】初始值，程序运行过程如下表所示：，不满足条件，跳出循环，输出的值为48，故选B【点睛】该题考查的是有关程序框图的输出结果的问题，在解题的过程中，注意在什么情况下跳出循环，属于简单题目.8某个几何体的三视图如图所示，在该几何体的各个侧面中，面积最大的侧面的面积为A B1 C D【答案】D【解析】首先根据题中所给的几何体的三视图，还原几何体，得出其为底面是直角梯形，且一条侧棱和底面垂直的四棱锥，并且根据题中所给的数据可以断定四个侧面分别是直角三角形，利用面积公式求得各个侧面的面积，比较大小得出结果.【详解】分析其三视图，可以确定该几何体是底面

7、是直角梯形，且一条侧棱和底面垂直的四棱锥，并且根据题中所给的数据可以断定四个侧面分别是直角三角形，从而可以求得该四棱锥的四个从侧面的直角边长分别是；利用面积公式求得各侧面的面积，比较大小可知最大的是，故选D.【点睛】该题考查的是有关棱锥侧面的面积大小问题，涉及到的知识点有利用三视图还原几何体，判断侧面三角形的形状，比较各三角形面积的大小，属于中档题目.9已知点是内部一点，且满足，又，则的面积为A B3 C1 D2【答案】C【解析】据向量的平行四边形法则判断出点O为三角形的重心，根据重心的性质得出的面积与面积的关系，利用向量的数量积公式，求出三角形两邻边的乘积，据三角形的面积公式求出面积.【详解

8、】因为，所以O为的重心，所以的面积是面积的，因为，所以，因为，所以，所以，所以的面积为1，故选C.【点睛】该题考查的是有关三角形的面积问题，涉及到的知识点有三角形的重心的性质，向量的数量积运算，三角形的面积公式，属于中档题目.10已知函数，将的图像上的所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标保持不变；再把所得图像向上平移1个单位长度，得到函数的图像，若，则的值可能为A B C D【答案】B【解析】首先利用余弦的倍角公式和辅助角公式对函数解析式进行化简，求得的解析式，之后根据图象变换的原则，求得的解析式，根据，得到和都是函数的最大值3，从而得出的值为周期的整数倍，求得结果.【详解】由题意得，所以，所以

9、的最小正周期为，由，可知和都是函数的最大值3（或都是最小值-3），所以的值为周期的整数倍，所以其最小值为，故选B.【点睛】该题考查的是有关两个变量的差值的问题，涉及到的知识点有三角式的化简，三角函数的图象变换，函数的最值，函数的周期，熟练掌握相关公式是正确解题的关键.11如图，函数的图像为两条射线，组成的折线，如果不等式的解集中有且仅有1个整数，那么实数的取值范围是A BC D【答案】B【解析】求得f（x）的分段函数式，由条件可得ax2xf（x），令g（x）x2xf（x），画出g（x）的图象，结合图象可得a的范围【详解】根据题意可知f（x），不等式f（x）x2xa等价于ax2xf（x），令g（

10、x）x2xf（x），可得g（x）的大致图象，如图所示，又g（0）2，g（1）1，g（1）2，要使不等式的解集中有且仅有1个整数，则2a1，即a取值范围是a|2a1故选：B【点睛】本题考查直线方程的求法，含参不等式的解法，注意运用分离法，考查数形结合思想方法，属于中档题12已知函数，若恒成立，则实数的取值范围是A BC D【答案】A【解析】首先根据题中的条件，结合函数的定义域，对不等式进行变形，之后将恒成立问题转化为最值来处理，利用导数研究函数的单调性，求得函数的最大值，从而求得结果.【详解】根据题意可得恒成立，因为，所以不等式可化为：恒成立，令，可求得当时，当时，所在上单调增，在上单调减，所以

11、，所以的取值范围是，故选A.【点睛】该题考查的是有关不等式恒成立的问题，在解题的过程中，将恒成立问题转化为最值问题，构造新函数，利用导数研究函数的最大值，再者就是利用题的条件，大于其最大值，可以到正无穷，只有A项满足条件，从而很容易求得结果.二、填空题13已知实数，满足条件，则的最大值为_【答案】3【解析】作出题中所给的约束条件对应的可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数求得答案.【详解】根据题中所给的约束条件，画出其对应的可行域如图所示：令，得，从而上下移动直线，可知当直线过点A时，取得最大值，由解得，此时，故答案是：3.【点睛】该题考查的是有关

12、线性规划的问题，在解题的过程中，需要准确地画出约束条件对应的可行域，找出最优解，将最优解代入目标函数，求得结果.14已知函数，且，则_【答案】1【解析】令，可知函数为奇函数，由，可求得，之后利用性质求得结果.【详解】令，因为，所以函数为奇函数，由，所以，所以，故答案是：1.【点睛】该题考查的是有关函数值的求解问题，涉及到的知识点有奇函数的性质，在解题的过程中，注意整体思维的应用.15已知抛物线的焦点为，直线过且依次交抛物线及圆于点，四点，则的最小值为_【答案】13【解析】由抛物线的定义可知：，从而得到，同理，分类讨论，根据不等式的性质，即可求得的最小值.【详解】因为，所以焦点，准线，由圆：，可

13、知其圆心为，半径为，由抛物线的定义得：，又因为，所以，同理，当轴时，则，所以，当的斜率存在且不为0时，设时，代入抛物线方程，得： ，所以，当且仅当，即时取等号，综上所述，的最小值为13，故答案是：13.【点睛】该题考查的是有关抛物线的简单性质的问题，涉及到的知识点有抛物线的定义，抛物线上的点到焦点的距离，直线与抛物线相交的问题，基本不等式求最值问题，在解题的过程中，注意认真审题是正确解题的关键.16函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是_【答案】【解析】由求导公式和法则求出，由题意可得在区间上恒成立，设，从而转化为，结合变量的范围，以及取值范围，可求得其最大值，从而求得结果.【详解】，则，因

14、为函数在上单调增，可得在上恒成立，即，令，则，所以，因为在上是增函数，所以其最大值为，所以实数的取值范围是.【点睛】该题考查的是有关函数在给定区间上是增函数，求参数的取值范围的问题，涉及到的知识点有导数与单调性的关系，恒成立问题向最值问题转换，注意同角的正余弦的和与积的关系.三、解答题17如图，在中，是边的中点，.（）求角的大小；（）若，求的面积.【答案】（）（）【解析】（）根据三角形的性质和内角和的定理，转化为两角差的问题，应用差角余弦公式，求得结果；（）根据第一题的结果，可知，根据正弦定理，求得 ，是边的中点，应用面积公式求得结果.【详解】（）由，得，由，得又，所以，又，所以.（）解法一：

15、由（）知，在中，由正弦定理，得，所以， .因为是边的中点，所以，.故 .解法二：由（）知，在中，由正弦定理，得，所以， .因为是边的中点，所以，所以， .【点睛】该题考查的是有关解三角形的问题，涉及到的知识点有三角形的性质，和角公式，正弦定理，以及三角形的面积公式，正确应用公式是解题的关键.18在数列中，设， （）求证数列是等差数列，并求通项公式；（）设，且数列的前项和，若，求使恒成立的的取值范围.【答案】（）证明见解析；（）【解析】（）根据题中所给的条件，取倒数，即可证明，注意利用等差数列的定义和通项公式；（）用错位相减法求和，之后将恒成立问题转化为最值来处理即可得结果.【详解】证法一：解：

16、（）由条件知，所以，所以，又，所以，数列是首项为1，公差为1的等差数列，故数列的通项公式为：.证法二：由条件，得 又，所以，数列是首项为1，公差为1的等差数列，故数列的通项公式为：.（）由（）知，则，由-得，恒成立，等价于对任意恒成立.，.【点睛】该题考查的是有关数列的问题，涉及到的知识点有等差数列的证明问题，等差数列的定义和等差数列的通项公式，应用错位相减法对数列求和，关于恒成立问题求参数的取值范围，保持思路清晰是正确解题的关键.19如图，在三棱柱中，.（）求证：平面；（）若是棱的中点，求直线与平面所成角的正弦值.【答案】（）见解析（）【解析】（）根据题中的条件，利用线面垂直的判定定理，可证

17、得平面，进而证得，利用勾股定理，可证得，利用线面垂直的判定定理，可证得平面，证得结果；（）利用（）的结论，建立空间直角坐标系，利用空间向量，求得线面角的正弦值，得到结果.【详解】（）证明：在三棱柱中，又，平面，又平面，又，平面.（）解法一：由（）知，直线，两两互相垂直，如图，以为原点，分别以，所在直线为，轴，建立空间直角坐标系，则，设平面的法向量，则，所以，取，则，又，设直线与平面所成角为，则 .直线平面所成角的正弦值.解法二：由（）知，直线，两两互相垂直，以为原点，分别以、所在直线为，轴，建立如图所示空间直角坐标系，则，设平面的法向量，则，所以，取，则，又，设直线与平面所成角为，则 .直线平

18、面所成角的正弦值.【点睛】该题考查的是有关立体几何的问题，涉及到的知识点有线面垂直的判定，应用向量法求线面角的正弦值，在解题的过程中，需要对定理的条件和结论要熟记，再者就是正确建立空间坐标系.20已知点在椭圆上，为坐标原点，直线的斜率与直线的斜率乘积为.（）求椭圆的方程；（）不经过点的直线（且）与椭圆交于，两点，关于原点的对称点为（与点不重合），直线，与轴分别交于两点，求证：.【答案】（）（）见解析【解析】（）根据椭圆的中点弦所在直线的斜率的性质，得到，得到，再结合椭圆所过的点的坐标满足椭圆方程，联立方程组，求得，进而求得椭圆的方程；（）将直线方程与椭圆方程联立，消元，利用韦达定理得到两根和与

19、两根积，将证明结果转化为证明直线，的斜率互为相反数，列式，可证.【详解】（）由题意，即 又联立解得所以，椭圆的方程为：.（）设，由，得，所以，即，又因为，所以，解法一：要证明，可转化为证明直线，的斜率互为相反数，只需证明，即证明. ，.解法二：要证明，可转化为证明直线，与轴交点、连线中点的纵坐标为，即垂直平分即可.直线与的方程分别为：，分别令，得，而，同解法一，可得，即垂直平分.所以，.【点睛】该题考查的是有关解析几何的问题，涉及到的知识点有椭圆方程的求解，用到的结论有椭圆中点弦所在直线的斜率的特征，再者就是直线与椭圆相交的综合题，认真审题是正确解题的关键，注意正确的等价转化.21设函数.（）

20、当时，求函数的单调区间；（）当时，若函数与函数的图像总有两个交点，设两个交点的横坐标分别为，. 求的取值范围； 求证：.【答案】（）当时，单调递增区间是；单调递减区间是.（），见解析【解析】（）求出函数的导数，结合题中所给的的条件，令导数大于零和导数小于零，分别求出函数的单调增区间和单调减区间；（）函数与函数的图像总有两个交点，等价于函数 有两个零点，对函数求导，研究函数的单调性，从而求得参数m的范围，之后根据两个零点的条件，以及函数图象的特点，证得结果.【详解】（）由已知得，由，令得：，令得，所以，当时，单调递增区间是；单调递减区间是.（）令 ，解法一：由得，；由得，易知，为的极大值点.，当时，；当时，.由题意，只需满足，的取值范围是：.解法二：，由得，；由得，易知，为极大值点.而在时取得极小值，由题意，只需满足，解得.由题意知，为函数 的两个零点，由知，不妨设，则，且函数在上单调递增，欲证，只需证明，而，所以，只需证明.令，则，即所以，即在上为增函数，所以，成立，所以，.【点睛】该题考查的是有关导数的应用问题，涉及到的知识点有利用导数研究函数的单调性，将图象交点的个数转化为函数零点的个数问题，构造新函数，利用导数研究其图