2.3圆锥曲线的参数方程

1、第二讲 参数方程,复习,圆的参数方程,1.圆心在原点,半径为r的圆的参数方程:,2.圆心为(a, b),半径为r的圆的参数方程:,3.椭圆的标准方程：,它的参数方程是什么样的？,M,如图,以原点为圆心,分别以a, b(ab0)为半径作两个圆,点B是大圆半径OA与小圆的交点,过点A作ANOx,垂足为N,过点B作BMAN,垂足为M,A,N,B,设以Ox为始边，OA为终边的角为，,点M的坐标是(x, y)。,那么点A的横坐标为x，点B的纵坐标为y。,由于点A, B均在角的终边上，由三角函数的定义有:,yNM,xON,这是中心在原点O,焦点在x轴上的椭圆的参数方程。,常数a、b分别是椭圆的长半轴长和短

2、半轴长。,在椭圆的参数方程中，通常规定参数的范围为,|OA|cosacos，,|OB|sinbsin,椭圆的标准方程:,椭圆的参数方程中参数的几何意义:,圆的标准方程:,圆的参数方程:,x2+y2=r2,的几何意义是,AOP=,椭圆的参数方程:,是AOX=,不是MOX=.,称为点M的离心角,小 结,椭圆的标准方程：,椭圆的参数方程：,离心角,一般地：,在椭圆的参数方程中，常数a、 b分别是椭圆的长半轴长和短半 轴长. ab,练习 把下列普通方程化为参数方程.,(1),(2),(3),(4),把下列参数方程化为普通方程,练习 O是坐标原点，P是椭圆 上 离心角为-/6所对应的点，那么直线OP的倾

3、角的正切值是 .,可得P点坐标,所以直线OP的倾角的正切值是:,解：因为椭圆的参数方程为,所以可设点M的坐标为,由点到直线的距离公式，得到点M到直线的距离为,例1、如图，在椭圆 上求一点M，使M到直线 l：x+2y-10=0的距离最小.,例1、如图，在椭圆 上求一点M，(1)使M到直线 l ：x+2y-10=0的距离最小.,例1、已知椭圆 上点M(x, y)，(2)求2x+3y的最大值和最小值；,例2、如图，在椭圆x2+8y2=8上求一点P，使P到直线 l：x-y+4=0的距离最小.,分析1：,分析2：,分析3：,平移直线 l 至首次与椭圆相切，切点即为所求.,例3、已知椭圆 有一内接矩形AB

4、CD，求矩形ABCD的最大面积。,练习 已知A,B两点是椭圆 与坐标轴正半轴的两个交点,在第一象限的椭圆弧上求一点P,使四边形OAPB的面积最大.,例4 求椭圆 的内接矩形的面积及周长的最大值。,解:设椭圆内接矩形在第一象限的顶点是,矩形面积和周长分别是S、L,此时存在。,例6 取一切实数时，连接 A(4sin,6cos)和B(-4cos, 6sin) 两点的线段的中点轨迹是 . A. 圆 B. 椭圆 C. 直线 D. 线段,例5 四边形ABCD内接于椭圆 其中点A(3,0)，C(0,4)，B、D分别位于椭圆第一象限与第三象限的弧上。求四边形ABCD面积的最大值。,例7 已知点A在椭圆 上运动

5、，点B(0, 9)、点M在线段AB上，且 ,试求动点M的轨迹方程。,(是参数),消去参数得动点M的轨迹的参数方程是:,例6 椭圆 与x轴的正向相交于点A, O为坐标原点, 若这个椭圆上存在点P，使得OPAP。求该椭圆的离心率e的取值范围。,解:设椭圆上的点P的坐标是,(0且), A(a, 0),而OPAP，,（舍去），,因为,所以,可转化为,解得,于是,B,设中点M (x, y),x=2sin-2cos,y=3cos+3sin,练习:,1 取一切实数时，连接 A(4sin,6cos)和B(-4cos, 6sin)两点的线段的中点轨迹是 . A. 圆 B. 椭圆 C. 直线 D. 线段,( ),

6、B,双曲线的参数方程,M,以原点O为圆心, a, b(a0, b0)为半径分别作同心圆C1,C2.,设A为圆C1上任一点, 作直线OA,过A作圆C1的切线AA与x交于点A,过圆C2与x轴的交点B作圆C2的切线BB与直线OA交于点B。,过点A, B分别作y轴, x轴的平行线AM, BM交于点M,设OA与OX所成角为(0, 2),/2,3/2),求点M的轨迹方程, 并说出点M的轨迹。,b,a,o,x,y,),M,B,A,事实上,(t 是参数, t 0),化为普通方程, 画出方程的曲线.,练习:,4,例1. 求点M0(0, 2)到双曲线x2y2=1上点的最小距离。,不妨设M为双曲线右支上一点，其坐标

7、为,则直线MA的方程为,解得点A的横坐标为,平行四边形MAOB的面积为,由此可见，平行四边形MAOB的面积恒为定值，,与点M在双曲线上的位置无关,说明：, 这里参数 叫做双曲线的离心角与直线OM的倾斜角不同., 双曲线的参数方程可以由方程 与三角恒等式 相比较而得到，所以双曲线的参数方程的实质是三角代换.,例3,例4 求证：等轴双曲线平行于实轴的弦在两顶点所张的角均为直角。,证明：设双曲线方程为,取顶点A2(a, 0), 弦AB Ox，,弦AB对A1张直角，,同理对A2也张直角,例5 已知双曲线， A，B是双曲线同支上相异两点，线段AB的垂直平分线与x轴相交于点P ,求证：,，,解：设A，B坐

8、标分别为,则中点为M,于是线段AB中垂线方程为,将 代入上式,(A，B相异)，,例6 求证：等轴双曲线上任意一点到两渐近线的距离之积是常数。,抛物线的参数方程,前面曾经得到以时刻 t 为参数的抛物线的参数方程:,对于一般抛物线，怎样建立参数方程呢？,以抛物线的普通方程,为例，其中p为焦点到准线的距离。,设M(x, y)为抛物线上除顶点外的任意一点，以射线OM为终边的角记作,显然，当在 内变化时，点M在抛物线上运动，并且对于的每一个值，在抛物线上都有唯一的点M与之对应，因此，可以取为参数来探求抛物线的参数方程.,因为点M在的终边上，根据三角函数定义可得,由方程,(为参数),这是抛物线(不包括顶点

9、)的参数方程.,如果令,(为参数),当t=0时，上式表示的点正好就是抛物线的顶点(0,0),因此，当 时，,（t为参数）,就表示整条抛物线参数 t 表示抛物线上除顶点外的任意一点与原点连线的斜率的倒数,C,练习,例1 如图，O为原点，A,B为抛物线 上异于顶点的两动点，且OAOB，OMAB于M，求点M的轨迹方程,当点A,B在何位置时,AOB面积最小？最小值是多少？,练习 已知椭圆C1: 及抛物线C2: y2=6(x-3/2)；若C1C2，求m的取值范围。,代入得 cos2+4cos +2m-1=0,所以 t2+4t+2m-1=0 在-1, 1内有解；,3 已知A, B, C是抛物线 y2=2px(p0)上的三个点，且BC与x轴垂直，直线AB和AC分别与抛物线的轴交于D, E两点，求证：抛物线的顶点平分DE.,练习,4 经过抛物线y2=2px(p0)的顶点O任作两条互相垂直的线段OA和OB，以直线OA的斜率k为参数，求线段AB的中点M的参数方程。,解：直线