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.,第九节 函数的单调性与曲线的凹凸性一、函数单调性的判定法,定理,.,证,应用拉格朗日中值定理, 得,.,例1,解,注意: 函数的单调性是一个区间上的性质，要用导数在这一区间上的符号来判定，而不能用一点处的导数符号来判别一个区间上的单调性,.,单调区间求法,问题: 如上例，函数在定义区间上不是单调的，但在各个部分区间上单调,定义: 若函数在其定义域的某个区间内是单调的，则该区间称为函数的单调区间.,导数等于零的点(称为驻点)和不可导点，可能是单调区间的分界点,方法:,.,的单调区间.,解:,令,得,单调增区间为,单调减区间为,例2. 确定函数,.,例3,解,单调增区间为,单调减区间为,.,如果函数在某驻点两边导数同号, 则不改变函数的单调性 .,例如,注意：,驻点,又例如,证明 (留作习题 ),.,例4,证,利用单调性证明不等式：,则,.,时, 成立不等式,证: 令,即,所以当,且,例5. 证明,时,内,.,例6,证明,证,则,.,例7,证,.,小结,单调性的判别是拉格朗日中值定理的重要应用.,定理中的区间换成其它有限或无限区间，结论仍然成立.,应用：利用函数的单调性可以确定某些方程实根的个数和证明不等式.,.,思考与练习,上,则,或,的大小顺序是 ( ),提示:,单调增加 ,及,B,1. 设在,.,2,解,.,函数有两个零点，分别位于,函数仅有一个零点，

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