高中数学 第一章 坐标系 一 平面直角坐标系教学案 新人教A版选修

1、一 平面直角坐标系 1平面直角坐标系(1)平面直角坐标系的作用：使平面上的点与坐标、曲线与方程建立联系，从而实现数与形的结合(2)坐标法解决几何问题的“三部曲”：第一步：建立适当坐标系，用坐标和方程表示问题中涉及的几何元素，将几何问题转化为代数问题；第二步：通过代数运算解决代数问题；第三步：把代数运算结果翻译成几何结论2平面直角坐标系中的伸缩变换(1)平面直角坐标系中方程表示图形，那么平面图形的伸缩变换就可归纳为坐标伸缩变换，这就是用代数方法研究几何变换(2)平面直角坐标系中的坐标伸缩变换：设点P(x，y)是平面直角坐标系中任意一点，在变换：的作用下，点P(x，y)对应到点P(x，y)，称为平

2、面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换 用坐标法解决几何问题例1已知ABC中，ABAC，BD、CE分别为两腰上的高求证：BDCE.思路点拨由于ABC为等腰三角形，故可以BC为x轴，以BC中点为坐标原点建立直角坐标系，在坐标系中解决问题证明如图，以BC所在直线为x轴，BC的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系设B(a,0)，C(a,0)，A(0，h)则直线AC的方程为yxh，即：hxayah0.直线AB的方程为yxh，即：hxayah0.由点到直线的距离公式：得|BD|，|CE|.|BD|CE|，即BDCE.建立平面直角坐标系的原则根据图形的几何特点选择适当的直角坐标系的一些规则：如果图形有对

3、称中心，选对称中心为原点，如果图形有对称轴，可以选对称轴为坐标轴，使图形上的特殊点尽可能多地在坐标轴上1求证等腰梯形对角线相等已知：等腰梯形ABCD.求证：ACBD.证明：取B、C所在直线为x轴，线段BC的中垂线为y轴，建立如图所示的直角坐标系设A(a，h)，B(b,0)，则D(a，h)，C(b,0)|AC|，|BD|.|AC|BD|，即等腰梯形ABCD中，ACBD.2已知ABC中，BDCD，求证：AB2AC22(AD2BD2)证明：以A为坐标原点O，AB所在直线为x轴，建立平面直角坐系xOy，则A(0,0)设B(a,0)，C(b，c)，则D(，)，所以AD2BD2(a2b2c2)，AB2AC

4、2a2b2c22(AD2BD2).用平面直角坐标系解决实际问题例2如图所示，A，B，C是三个观察站，A在B的正东，两地相距6 km，C在B的北偏西30，两地相距4 km，在某一时刻，A观察站发现某种信号，并知道该信号的传播速度为1 km/s,4 s后B，C两个观察站同时发现这种信号，在以过A，B两点的直线为x轴，以AB的垂直平分线为y轴建立的平面直角坐标系中，指出发出这种信号的P的坐标思路点拨由题意可知，点P所在的位置满足两个条件：(1)在线段BC的垂直平分线上；(2)在以A，B为焦点的双曲线上解设点P的坐标为(x，y)，则A(3,0)，B(3,0)，C(5,2)因为|PB|PC|，所以点P在

5、BC的中垂线上因为kBC，BC的中点D(4，)，所以直线PD的方程为y(x4)又因为|PB|PA|4，所以点P必在以A，B为焦点的双曲线的右支上，双曲线方程为1(x2)联立，解得x8或x(舍去)，所以y5.所以点P的坐标为(8,5)运用解析法解决实际问题的步骤(1)建系建立平面直角坐标系建系原则是利于运用已知条件，使表达式简明，运算简便因此，要充分利用已知点和已知直线作为原点和坐标轴(2)设点选取一组基本量，用字母表示出题目涉及的点的坐标和曲线的方程(3)运算通过运算，得到所需要的结果3已知B村位于A村的正西方向1千米处，原计划经过B村沿着北偏东60的方向埋设一条地下管线m，但A村的西北方向4

6、00米处，发现一古代文物遗址W.根据初步勘察的结果，文物管理部门将遗址W周围100米范围划为禁区试问：埋设地下管线m的计划需要修改吗？解：建立如图所示的平面直角坐标系，则A(0,0)，B(1 000,0)，由W位于A的西北方向及|AW|400，得W(200，200)由直线m过B点且倾斜角为906030，得直线m的方程是xy1 0000.于是，点W到直线m的距离为100(5)113.6100.所以，埋设地下管线m的计划可以不修改直角坐标系中的伸缩变换例3求满足下列图形变换的伸缩变换：由曲线x2y21变成曲线1.思路点拨设出变换公式，代入方程，比较系数，得出伸缩变换解设变换为，代入方程1，得1.与

7、x2y21比较，将其变形为x2y21，比较系数得3，2.，即将圆x2y21上所有点横坐标变为原来的3倍，纵坐标变为原来的2倍，可得椭圆1.坐标伸缩变换：注意变换中的系数均为正数在伸缩变换下，平面直角坐标系保持不变，即在同一坐标系下只对点的坐标进行伸缩变换利用坐标伸缩变换可以求变换前和变换后的曲线方程已知前换前后曲线方程也可求伸缩变换.4求4x29y21经过伸缩变换后的图形所对应的方程解：由伸缩变换得：将其代入4x29y21，得4(x)29(y)21.整理得：x2y21.经过伸缩变换后图形所对应的方程为x2y21.5在同一直角坐标系下经过伸缩变换后，曲线C变为x29y29，求曲线C的方程解：将代

8、入x29y29，得9x29y29，即x2y21.6求满足下列图形变换的伸缩变换：由曲线1变成曲线1.解：设变换为代入方程1，得1，与1比较系数，得，得2，1.，即将椭圆1上所有点横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，可得椭圆1. 一、选择题1将一个圆作伸缩变换后所得到的图形不可能是()A椭圆B比原来大的圆C比原来小的圆 D双曲线解析：由伸缩变换的意义可得答案：D2点(1,2)经过伸缩变换后的点的坐标是()A(4，3)B(2,3)C(2，3) D.解析：把(1,2)代入得答案：D3在同一平面直角坐标系中经过伸缩变换后曲线C变为曲线2x28y20，则曲线C的方程为()A25x236y20 B9x210

9、0y20C10x24y0 D.x2y20解析：将代入2x28y20，得：2(5x)28(3y)20，即：25x236y20.答案：A4在同一坐标系中，将曲线y3sin 2x变为曲线ysin x的伸缩变换是()A. B.C. D.解析：设则ysin x，即ysin x.比较y3sin 2x与ysin x，可得3，2，2.答案：B二、填空题5ycos x经过伸缩变换后，曲线方程变为_解析：由得代入ycos x，得ycosx，即y3cosx.答案：y3cos6已知平面内有一固定线段AB且|AB|4.动点P满足|PA|PB|3，O为AB中点，则|PO|的最小值为_解析：以AB为x轴，O为坐标原点建立平

10、面直角坐标系，则动点P是以AB为实轴的双曲线的右支其中a.故|PO|的最小值为.答案：7ABC中，B(2,0)，C(2,0)，ABC的周长为10，则A点的轨迹方程为_解析：ABC的周长为10，|AB|AC|BC|10.其中|BC|4，即有|AB|AC|64.A点轨迹为椭圆除去B、C两点，且2a6,2c4.a3，c2，b25.A点的轨迹方程为1(y0)答案：1(y0)三、解答题8在平面直角坐标系中，求下列方程所对应的图形经过伸缩变换后的图形(1)5x2y0；(2)x2y21.解：由伸缩变换得到 (1)将代入5x2y0，得到经过伸缩变换后的图形的方程是5x3y0，表示一条直线(2)将代入x2y21，得到经过伸缩变换后的图形的方程是1，表示焦点在x轴上的椭圆9已知ABC是直角三角形，斜边BC的中点为M，建立适当的平面直角坐标系，证明：|AM|BC|.证明：以RtABC的直角边AB，AC所在直线为坐标轴，建立如图所示的平面直角坐标系设B，C两点的坐标分别为(b,0)，(0，c)则M点的坐标为(，)由于|BC|，|AM| ，故|AM|BC|.10如图，在以点O为圆心，|AB|4为直径的半圆ADB中，ODAB，P是半圆弧上一点，POB30，曲线C是满足|MA|MB|为定值的动点M的轨迹，且曲线C过点P.建立适当的平面直角