高中数学 第三章 数系的扩充与复数的引入 3.1.1 数系的扩充和复数的概念学案（含解析）新人教A版选修

1、31.1数系的扩充和复数的概念复数的概念及代数表示提出问题问题1：方程x210在实数范围内有解吗？提示：没有问题2：若有一个新数i满足i21，方程x210有解吗？提示：有解(xi)，但不在实数范围内导入新知1复数的定义形如abi(a，bR)的数叫做复数，其中i叫做虚数单位，满足i21.全体复数所成的集合C叫做复数集2复数的表示复数通常用字母z表示，即zabi(a，bR)，这一表示形式叫做复数的代数形式，a与b分别叫做复数z的实部与虚部3复数相等的充要条件在复数集Cabi|a，bR中任取两个复数abi，cdi(a，b，c，dR)，规定abi与cdi相等的充要条件是ac且bd.化解疑难对复数概念的

2、理解(1)对复数zabi只有在a，bR时，a和b才分别是复数的实部和虚部，并注意：虚部是实数b而非bi.(2)当两个复数不全是实数时，不能比较大小，只可判定相等或不相等，但两个复数都是实数时，可以比较大小(3)利用复数相等，可以把复数问题转化成实数问题进行解决，并且一个复数等式可得到两个实数等式，为应用方程思想提供了条件.复数的分类提出问题问题1：复数zabi在什么情况下表示实数？提示：b0.问题2：如何用集合关系表示实数集R和复数集C?提示：RC.导入新知复数的分类(1)复数abi(a，bR)(2)集合表示化解疑难10的特殊性0是实数，因此也是复数，写成abi(a，bR)的形式为00i，即其

3、实部和虚部都是0.2a0是复数zabi为纯虚数的充分条件吗？因为当a0且b0时，zabi才是纯虚数，所以a0是复数zabi为纯虚数的必要不充分条件复数相等的充要条件例1(1)若512ixiy(x，yR)，则x_，y_.(2)已知(2x1)iy(3y)i，其中x，yR，i为虚数单位求实数x，y的值解析(1)由复数相等的充要条件可知x12，y5.(2)根据复数相等的充要条件，由(2x1)iy(3y)i，得解得即x，y4.答案：(1)125(2)x，y4.类题通法解决复数相等问题的步骤(1)等号两侧都写成复数的代数形式；(2)根据两个复数相等的充要条件列出方程(组)；(3)解方程(组)活学活用已知(

4、2x8y)(x6y)i1413i，求实数x，y的值解：由复数相等的充要条件得解得复数的分类例2已知mR，复数z(m22m3)i.(1)当m为何值时，z为实数？(2)当m为何值时，z为虚数？(3)当m为何值时，z为纯虚数？解(1)要使z为实数，需满足m22m30，且有意义即m10，解得m3.(2)要使z为虚数，需满足m22m30，且有意义即m10，解得m1且m3.(3)要使z为纯虚数，需满足0，且m22m30，解得m0或m2.类题通法利用复数的分类求参数的方法及注意事项利用复数的分类求参数时，要先确定构成实部、虚部的式子有意义的条件，再结合实部与虚部的取值求解要特别注意复数zabi(a，bR)为

5、纯虚数的充要条件是a0且b0.活学活用设复数zlg(m22m2)(m23m2)i.(1)当m为何值时，z是实数？(2)当m为何值时，z是纯虚数？解：(1)要使复数z为实数，需满足解得m2或1.即当m2或1时，z是实数(2)要使复数z为纯虚数，需满足解得m3.即当m3时，z是纯虚数典例(上海高考)设mR，m2m2(m21)i是纯虚数，其中i是虚数单位，则m_.解析复数m2m2(m21)i是纯虚数的充要条件是解得即m2.故m2时，m2m2(m21)i是纯虚数答案2易错防范1若忽视“纯虚数的虚部不为0”这一条件，易得出m1或2的错误结论2复数zabi(a，bR)是纯虚数的充要条件为二者缺一不可成功破

6、障若z(x21)2(x1)i为纯虚数，则实数x的值为()A1B0C1 D1或1解析：选A因为z为纯虚数，所以(x21)20.又x10，所以x1.随堂即时演练1在2，i,0,85i，(1)i,0.618这几个数中，纯虚数的个数为()A0B1C2 D3解析：选Ci，(1)i是纯虚数，2，0，0.618是实数，85i是虚数2以2i的虚部为实部，以i2i2的实部为虚部的复数是()A22i B22iCi D.i解析：选A2i的虚部为2，i2i22i，其实部为2，故所求复数为22i.3下列命题：若aR，则(a1)i是纯虚数；若(x21)(x23x2)i(xR)是纯虚数，则x1；两个虚数不能比较大小其中正确

7、命题的序号是_解析：当a1时，(a1)i0，故错误；若(x21)(x23x2)i是纯虚数，则即x1，故错；两个虚数不能比较大小，故对答案：4已知z134i，z2(n23m1)(n2m6)i，且z1z2，则实数m_，n_.解析：由复数相等的充要条件有答案：225已知复数z(a25a6)i(aR)，试求：(1)实数a取什么值时，z为实数？(2)实数a取什么值时，z为虚数？(3)实数a取什么值时，z为纯虚数？解：(1)当z为实数时，则当a6时，z为实数(2)当z为虚数时，则有即a1且a6.当a1且a6时，z为虚数(3)当z为纯虚数时，则有不存在实数a使z为纯虚数课时达标检测一、选择题1若复数2bi(

8、bR)的实部与虚部互为相反数，则b的值为()A2 B.C D2解析：选D复数2bi的实部为2，虚部为b，由题意知2(b)，所以b2.2方程1z40在复数范围内的根共有()A1个 B2个C3个 D4个解析：选D由已知条件可得z41，即z21，故z11，z21，z3i，z4i，故方程有4个根3若复数zm21(m2m2)i为实数，则实数m的值为()A1 B2C1 D1或2解析：选D复数zm21(m2m2)i为实数，m2m20，解得m1或m2.4若复数(a2a2)(|a1|1)i(aR)不是纯虚数，则()Aa1 Ba1且a2Ca1 Da2解析：选C若此复数是纯虚数，则得a1，所以当a1时，已知的复数不

9、是纯虚数5下列命题中，正确命题的个数是()若x，yC，则xyi1i的充要条件是xy1；若a，bR且ab，则aibi；若x2y20，则xy0.A0 B1C2 D3解析：选A对，由于x，yC，所以x，y不一定是xyi的实部和虚部，故是假命题；对，由于两个虚数不能比较大小，故是假命题；是假命题，如12i20，但10，i0.二、填空题6设x，yR，且满足(xy)(x2y)i(x3)(y19)i，则xy_.解析：因为x，yR，所以利用两复数相等的条件有解得所以xy1.答案：17如果(m21)(m22m)i1，则实数m的值为_解析：由题意得解得m2.答案：28已知z14a1(2a23a)i，z22a(a2a)i，其中aR，z1z2，则a的值为_解析：由z1z2，得即解得a0.答案：0三、解答题9当实数m为何值时，复数z(m22m)i满足下列条件？(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数解：(1)当即m2时，复数z是实数(2)当m22m0，且m0，即m0且m2时，复数z是虚数(3)