高中数学《椭圆》教案1苏教版选修

1、椭 圆导学椭圆是我们生活中常见的一种曲线，如汽车油罐的横截面、太阳系中九大行星及其卫星运动的轨道、部分彗星的轨道等等都是椭圆形。研究椭圆的方程及其几何性质，可以帮助我们解决一些实际问题。椭圆是解析几何的重要内容，是高考常考的知识点之一。知识要点梳理1、椭圆的定义：平面内与两个定点F1、F2的距离的和等于常数（大于F1F2）的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距。问题一：对于椭园的定义我们应理解哪些内容：（1）椭圆的定义是据椭圆常见、常用的作图方法而得到的，它反映了椭圆的本质属性，是建立标准方程和解决有关问题的根本依据，必须要深刻理解。建议初学的读者，利用课本中

2、椭圆的画法，边画边体会、理解椭圆的定义。（2）在定义中要抓住关键字词：“两个定点”、“距离的和”、“常数”，弄清它们的确切含义。特别注意这个常数应大于两定点的距离（F1F2=2c），即2a2c。当2a=2c时，点的轨迹是两定点确定的线段F1F2；当2a2c时，点的轨迹不存在。（3）要注意利用椭圆的定义解题。与椭圆有关的一些问题，若根据题设条件，利用椭圆的定义来解，往往起到其它方法所不及的作用。2、如何联系椭圆的标准方程理解几何性质？请读者利用类比的方法，将椭圆的两种标准方程、图形、及几何性质列一张表，然后，思考表中哪些是相同的？哪些是不同的？为什么？再认真阅读下面的说明。对标准方程及几何性质的

3、几点说明：（1）牢记参数关系：中最大。（2）在两种标准方程表示的椭圆的几何性质中，凡是与坐标无关的性质（椭圆本身固有的性质）都是相同的。如长轴、短轴的长，焦距，离心率，椭圆的形状、大小等都是相同的。凡是与坐标有关的性质（由于坐标系选取的不同而得到的特殊性质）都是不同的。如焦点的坐标，顶点的坐标，标准方程，准线方程，椭圆的位置等都是不同的。记忆时，将焦点在x轴上方程、坐标中的x换成y，y换成x即可。（2）标准方程中的常数a、b（ab0）决定了椭圆的形状和大小，是椭圆的定形条件，这是椭圆本身固有的性质，与坐标系的选取无关。（6）椭圆的顶点是它与对称轴的交点，所以必有两个顶点与焦点在同一条直线上。椭

4、圆的中心、焦点、短轴的端点，过这三点构成一个直角三角形，且以c、b为直角边，a为斜边，这是a、b、c的一个几何意义。（7）两焦点的位置决定了椭圆在坐标系中的位置，是椭圆的定位条件，与坐标系的选取有关。当焦点在x轴上时，椭圆是“平卧”的；当焦点在y轴上时，椭圆是“直立”的。（8）椭圆的焦点一定在长轴上。观察两个标准方程，不难看出，当等号右边等于1时，若左边x2项的分母大于y2项的分母，则焦点在x轴上；若左边y2项的分母大于x2项的分母，则焦点在y轴上。即：焦点在x轴上标准方程中x2项的分母较大（是a2）；焦点在y轴上标准方程中y2项的分母较大（是a2）。简记为：“以分母大小定长（轴）短（轴）”。

5、（9）求椭圆的标准方程，常采用“先定位，后定量”的方法（待定系数法）。先定位，就是首先确定椭圆和坐标系的相对位置，以椭圆的中心为原点，看焦点在哪个坐标轴上，再确定标准方程的形式；后定量，就是根据已知条件，通过解方程（组）等手段，确定a、b的值，代入所设的方程，即可求出椭圆的标准方程。如若不能确定焦点的位置，则两种情况都要考虑，这一点一定要注意，不要遗漏，此时设所求的椭圆方程为一般形式:A x2+B y2=1(A0,B0,且AB)比较简单。（10）点P0（x0，y0）和椭圆的位置关系有：点P0（x0，y0）在椭圆上 ；点P0（x0，y0）在椭圆内；点P0（x0，y0）在椭圆外 。椭圆的标准方程教

6、学目标 根据课程标准的要求，本节教材的特点及所教学生的认知情况，把教学目标拟定如下： （1）知识目标：进一步理解椭圆的定义：掌握椭圆的标准方程，理解椭圆标准方程的推导；会根据条件写出椭圆的标准方程；能用标准方程判定是否是椭圆 （2）能力目标：通过寻求椭圆的标准方程珠推导，帮助学生领会观察、分析、归纳、数形结合等思想方法的运用；在相互交流学习中，使学生养成表述、抽象、总结的思维习惯，逐步培养学生在探索新知的过程中进行合作推理的能力，及应用代数知识进行同解变形和化简的能力 （3）情感目标：在平等的教学氛围中，让学生体验数学学习的成功与快乐，增加学生的求知欲和自信心，培养学生不怕困难、勇于探索的优良

7、作风，增强学习审美体验，提高学习的数学思维的情趣，给学生以成功的体验，形成学习数学知识的积极态度 重点、难点 重点：如何确定椭圆的标准方程： 难点：椭圆标准方程的推导： 教学方法 启发、探索、小组讨论等 教学手段 运用多媒体（计算机等）辅助教学 教学过程 （一）创设情景 情景一：复习上节课内容，重点是椭圆的定义上节课我们已经学习了椭圆，请大家回忆一下椭圆的定义，想一想我们是怎么画椭圆的？平面内到两个定点的距离的和等于常数（大于）的点的轨迹叫做椭圆，两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距 情景二：展示图片一，思索：油罐的横截面而不是椭圆？ 情景三：展示图片二，思索：“鸟巢”顶部的椭圆

8、型建筑如何设计？ 情景四：展示图片三，思索：“嫦娥奔月”中卫星如何精确定位？ 通过研究椭圆的方程，可以帮助我们回答这些问题 目的：利用课件生动形象的演示提高学习学习兴趣，激活学生思维，使学生的注意，记忆、思维凝聚在一起，加强学生对椭圆形象的认识，提高参与程度，让学生认识到学习椭圆的必要性，引出课题 （二）互动探究 椭圆标准方程的推导 问题1：联想必修2中圆方程的推导步骤是如何的？ （建立坐标系，设点的坐标、列等式、代坐标、化简方程） 问题2：怎样给椭圆建立直角坐标系？ 设椭圆的两个焦点分别为，它们之间的距离为，椭圆上任意一点到的距离的和为 通过几何画板来画一个椭圆，让学生思考根据所画的椭圆，选

9、取适当的坐标系 结合建立坐标系的一般原则使点的坐标、几何量的表达式简单化，并且从“对称美”、“简洁美”的角度出发作一定的点拨；若学生选取适当的坐标系都一样，教师多画几个坐标系，让学生选，注意要有中心在原点，焦点在轴的坐标系；并提问：为什么选取这样的坐标系，依据是什么 （1）建立直角坐标系：以所在直线为轴，线段的垂直平分线为轴，建立直角坐标系 （2）设点的坐标：设点是椭圆上任意一点，且椭圆的焦点坐标为， （3）列等式：依据椭圆的定义有 （4）将坐标代入得到 目的：教学生学会建立适当的坐标系，构造数与形的桥梁，学会用解析的方法来解决问题，渗透数形结合的数学思想 这是一个比较复杂的根式变形，化简的关

10、键在于将根式去掉，而去根式则要两边平方，那么怎样平方去根式会较简单呢？ （5）化简：通过平移、两次平方后得到：，为使方程简单、对称、和谐，引入字母，令，可的椭圆的标准方程先让学生尝试化简，然后教师指出含有根式的化简规则 总结含有根式的化简步骤：（1）方程中有一个根式时，需将根式单独留在方程的一边，把其他项移到方程的另一边，然后两边平方；（2）方程中有两个根式时，需将它们分别放在方程的两边，并使其中一边只有一项，再两边平方（三）合作交流焦点在轴的椭圆方程该如何推导？ 通过几何画板的建系，再次让学生体会：“建立坐标系、设点的坐标、列等式、代坐标、化简方程”这个推导曲线方程的过程，并能在对比中猜想出

11、标准方程，即焦点，焦距为，椭圆的方程为 （四）数学建构 请同学们观察归纳两个方程的特征，从而区别焦点在不同坐标轴上的椭圆标准方程：令渗透数学对称美，简洁美教学标准方程不同点图形焦点坐标，相同点定义平面内到两个定点的距离的和等于常数（大于）的点的轨迹的关系焦点位置的判断分母哪个大，焦点就在哪个轴上强调：是；是；是定方程“型”与曲线“形”目的：通过对比总结，强化不同类型的方程的异同，从而深化学生对椭圆标准方程的理解；通过讨论，学生自主学习，构建新的知识体系，不但能学习到真正属于自己的、可灵活运用的知识，而且在此过程中掌握求知的方法；通过讨论，利用类比的方法来深化学生对椭圆标准方程的理解（五）学生活

12、动第一次数学练习：（1），则 ， ， ，焦点在 轴上，焦点坐标为 ；（2），则 ， ， ，焦点在 轴上，焦点坐标为 ；目的：通过本题的练习，使学生能加深椭圆的焦点位置与标准方程之间关系的理解，同时会求出焦点坐标、焦距等基本量（求前要将方程先化成标准式），教学时采用在教师引导下学生自主完成的方法（六）数学应用例1：已知一个运油车上的贮油罐横截面的外轮廓线是一个椭圆，它的焦距为2.4m，外轮廓线上的点到两个焦点距离的和为3m，求这个椭圆的标准方程解：以两焦点所在直线为轴，线段的垂直平分线为轴，建立如图所示的直角坐标系，则这个椭圆的标准方程可设为根据题意知，即，所以，因此，这个椭圆的标准方程为目的：（1）进一步熟悉椭圆的焦点位置与标准方程之间的关系；（2）掌握运用待定系数求椭圆的标准方程，解题时强调“二定”即定位定量；（3）培养学生运用知识解决问题的能力（七）学生活动第二次练习：求适合下列条件的椭圆的标准方程：，焦点在轴上；，焦点在坐标轴上；焦距为，且过点目的：熟悉巩固知识，运用知识（八）回顾反思（1）启发引导学生进行归纳整理；（2）利用幻灯片展示归纳结果；（3）对学生主动学习的态度及方式给予肯定；（4）强调学生学习数学过程中，需踏实、认真的学习态