高中数学 第二章 随机变量及其分布 2.2 二项分布及其应用 2.2.1 条件概率学案（含解析）新人教A版选修

1、22.1条件概率100件产品中有93件产品的长度合格，90件产品的质量合格，85件产品的长度、质量都合格令A产品的长度合格，B产品的质量合格，AB产品的长度、质量都合格问题1：试求P(A)，P(B)，P(AB)提示：P(A)，P(B)，P(AB).问题2：任取一件产品，已知其质量合格(即B发生)，求它的长度(即A发生)也合格(记为A|B)的概率提示：事件A|B发生，相当于从90件质量合格的产品中任取1件长度合格，其概率为P(A|B).问题3：试探求P(B)，P(AB)，P(A|B)间的关系提示：P(A|B).1条件概率设A，B为两个事件，且P(A)0，称P(B|A)为在事件A发生的条件下，事件

2、B发生的条件概率P(B|A)读作A发生的条件下B发生的概率2条件概率的性质(1)条件概率具有概率的性质，任何事件的条件概率都在0和1之间，即0P(B|A)1.(2)如果B和C是两个互斥事件，则P(BC|A)P(B|A)P(C|A)1事件B在“事件A发生”这个附加条件下的概率与没有这个附加条件的概率是不同的2由条件概率的定义知，P(B|A)与P(A|B)是不同的；另外 ，在事件A发生的前提下，事件B发生的可能性大小不一定是P(B)，即P(B|A)与P(B)不一定相等3P(B|A)可变形为P(AB)P(B|A)P(A)，即只要知道其中两个值就可以求得第三个值4利用公式P(BC|A)P(B|A)P(

3、C|A)求解有些条件概率问题较为简捷，但应注意这个性质是在“B与C互斥”这一前提下才具备的，因此不要忽视这一条件而乱用这个公式利用条件概率公式求解5个乒乓球，其中3个新的，2个旧的，每次取一个，不放回地取两次，求：(1)第一次取到新球的概率；(2)第二次取到新球的概率；(3)在第一次取到新球的条件下第二次取到新球的概率记第一次取到新球为事件A，第二次取到新球为事件B.(1)P(A).(2)P(B).(3)法一：因为P(AB)，所以P(B|A).法二：因为n(A)3412，n(AB)326，所以P(B|A).计算条件概率的两种方法(1)在缩小后的样本空间A中计算事件B发生的概率，即P(B|A)；

4、(2)在原样本空间中，先计算P(AB)，P(A)，再按公式P(B|A)计算求得P(B|A)设某种动物能活到20岁的概率为0.8，能活到25岁的概率为0.4，现有一只20岁的这种动物，问：它能活到25岁的概率是多少？解：设事件A为“能活到20岁”，事件B为“能活到25岁”，则P(A)0.8，P(B)0.4，而所求概率为P(B|A)，由于BA，故ABB，于是P(B|A)0.5，所以一只20岁的这种动物能活到25岁的概率是0.5.利用条件概率的性质求概率在某次考试中，要从20道题中随机地抽出6道题，若考生至少能答对其中的4道题即可通过；若至少能答对其中5道题就获得优秀已知某考生能答对20道题中的10

5、道题，并且知道他在这次考试中已经通过，求他获得优秀的概率设事件A为“该考生6道题全答对”，事件B为“该考生答对了其中5道题，另一道题答错”，事件C为“该考生答对了其中4道题，而另2道题答错”，事件D为“该考生在这次考试中通过”，事件E为“该考生在考试中获得优秀”，则A，B，C两两互斥，且DABC，EAB，由古典概型计算概率的公式及概率的加法公式可知：P(D)P(ABC)P(A)P(B)P(C)，P(AD)P(A)，P(BD)P(B)，P(E|D)P(AB|D)P(A|D)P(B|D).故所求的概率为.若事件B，C互斥，则P(BC|A)P(B|A)P(C|A)，即为了求得比较复杂事件的概率，往往

6、可以先把它分解成两个(或若干个)互斥的较简单事件，求出这些简单事件的概率，再利用加法公式即得所求的复杂事件的概率1号箱中有2个白球和4个红球，2号箱中有5个白球和3个红球现随机地从1号箱中取出一个球放入2号箱，然后从2号箱中随机取出一个球，问：从2号箱取出红球的概率是多少？解：记A从2号箱中取出的是红球，B从1号箱中取出的是红球，则P(B)，P()1P(B)，P(A|B)，P(A|)，P(A)P(ABA )P(AB)P(A )P(A|B)P(B)P(A|)P().袋中有6个黄色的乒乓球，4个白色的乒乓球，做不放回抽样，每次抽取一球，取两次，求第二次才能取到黄球的概率记“第一次取到白球”为事件A

7、，“第二次取到黄球”为事件B，“第二次才取到黄球”为事件C，所以P(C)P(AB)P(A)P(B|A).1解答本题易混淆P(AB)与P(B|A)的含义，而误认为P(C)P(B|A).2P(AB)表示A与B同时发生的概率；而P(B|A)表示在事件A已经发生的条件下事件B发生的概率一个盒子装有4件产品，其中3件一等品、1件二等品，从中取产品两次，每次任取1件，做不放回抽样，若第一次取到的是一等品，求第二次取到一等品的概率解：设事件A为“第一次取到的是一等品”，事件B为“第二次取到的是一等品”，则AB表示“第一次取到一等品，第二次也取到一等品”因为P(A)，P(AB)，所以在第一次取到一等品的情况下

8、，第二次取到一等品的概率为P(B|A).1已知P(A)0.4，P(B)0.5，P(A|B)0.6，则P(B|A)为()A0.2B0.4C0.75 D0.24解析：选CP(A|B)，P(AB)0.3.P(B|A)0.75.24张奖券中只有1张能中奖，现分别由4名同学无放回地抽取若已知第一名同学没有抽到中奖券，则最后一名同学抽到中奖券的概率是()A. B.C. D1解析：选B因为第一名同学没有抽到中奖券已知，所以问题变为3张奖券，1张能中奖，最后一名同学抽到中奖券的概率，显然是.3甲、乙两市都位于长江下游，根据一百多年来的气象记录，知道一年中下雨天的比例甲市占20%，乙市占18%，两地同时下雨占1

9、2%，记P(A)0.2，P(B)0.18，P(AB)0.12，则P(A|B)_，P(B|A)_.解析：由公式P(A|B)，P(B|A).答案：4某人一周晚上值2次班，在已知他周日一定值班的条件下，他在周六晚上值班的概率为_解析：设事件A为“周日值班”，事件B为“周六值班”，则P(A)，P(AB)，故P(B|A).答案：5一个口袋内装有2个白球和2个黑球(1)先摸出1个白球不放回，再摸出1个白球的概率是多少？(2)先摸出1个白球后放回，再摸出1个白球的概率是多少？解：(1)设“先摸出1个白球不放回”为事件A，“再摸出1个白球”为事件B，则“先后两次摸出白球”为事件AB，“先摸一个球不放回，再摸一

10、个球”共有43种结果，所以P(A)，P(AB)，所以P(B|A).所以先摸出1个白球不放回，再摸出1个白球的概率为.(2)设“先摸出1个白球放回”为事件A1，“再摸出1个白球”为事件B1，“两次都摸出白球”为事件A1B1，P(A1)，P(A1B1)，所以P(B1|A1).所以先摸出1个白球后放回，再摸出1个白球的概率为.一、选择题1下列说法正确的是()AP(B|A)P(A|B)BP(BC|A)P(B|A)P(C|A)CP(B|A)DP(AB)P(B|A)P(A)解析：选DP(B|A)，P(AB)P(B|A)P(A)2为考察某种药物预防疾病的效果，科研人员进行了动物试验，结果如下表：患病未患病总

11、计服用药104555未服药203050总计3075105在服药的前提下，未患病的概率为()A.B.C. D.解析：选C在服药的前提下，未患病的概率P.3抛掷两枚骰子，则在已知它们点数不同的情况下，至少有一枚出现6点的概率是()A. B.C. D.解析：选A设“至少有一枚出现6点”为事件A，“两枚骰子的点数不同”为事件B.则n(B)6530，n(AB)10，所以P(A|B).4某班学生的考试成绩中，数学不及格的占15%，语文不及格的占5%，两门都不及格的占3%.已知一学生数学不及格，则他语文也不及格的概率是()A. B.C. D.解析：选A设A为事件“数学不及格”，B为事件“语文不及格”，P(B

12、|A).所以数学不及格时，该学生语文也不及格的概率为.5从1,2,3,4,5中任取2个不同的数，事件A等于“取到的2个数之和为偶数”，事件B等于“取到的2个数均为偶数”，则P(B|A)等于()A. B.C. D.解析：选BP(A)，P(AB)，P(B|A).二、填空题6设A，B为两个事件，若事件A和B同时发生的概率为，在事件A发生的条件下，事件B发生的概率为，则事件A发生的概率为_解析：由题意知，P(AB)，P(B|A).由P(B|A)，得P(A).答案：7分别用集合M2,4,6,7,8,11,12中的任意两个元素作分子与分母构成真分数，已知取出的一个元素是12，则取出的另一个元素与之构成可约

13、分数的概率是_解析：设取的两个元素中有一个是12为事件A，取出的两个元素构成可约分数为事件B，则n(A)6，n(AB)4.所以P(B|A).答案：8根据历年气象资料统计，某地4月份刮东风的概率是，既刮东风又下雨的概率是.则在4月份刮东风的条件下，该地4月份下雨的概率为_解析：设某地4月份刮东风为事件A，该地4月份下雨为事件B，则AB为该地4月份既刮东风又下雨，则P(A)，P(AB)，所以P(B|A).答案：三、解答题9某个兴趣小组有学生10人，其中有4人是三好学生现已把这10人分成两小组进行竞赛辅导，第一小组5人，其中三好学生2人(1)如果要从这10人中选一名同学作为该兴趣小组组长，那么这个同

14、学恰好在第一小组内的概率是多少？(2)现在要在这10人中任选一名三好学生当组长，这名同学在第一小组内的概率是多少？解：设A表示“在兴趣小组内任选一名同学，该同学在第一小组内”，B表示“在兴趣小组内任选一名同学，该同学是三好学生”，而第二问中所求概率为P(A|B)(1)由等可能事件概率的定义知，P(A).(2)P(B)，P(AB).所以P(A|B).10某班从6名班干部中(其中男生4人，女生2人)，任选3人参加学校的义务劳动(1)设所选3人中女生人数为，求的分布列；(2)求男生甲或女生乙被选中的概率；(3)设“男生甲被选中”为事件A，“女生乙被选中”为事件B，求P(B)和P(B|A)解：(1)的所有可能取值为0,1,2，依题意得P(0)，P(1)，P(2).的分布列为012P(2)设“甲、乙都不被选中”为事件C，则P(C)，所求概率为P()1P(C)1.(