高斯投影坐标正反算.ppt

1、第四章 高斯投影坐标正反算,正形投影的一般条件 高斯投影坐标正算 高斯投影坐标反算 高斯投影几何解释,提前在黑板上写出四个m2,上一讲应掌握的内容,1、地图(数学)投影：将椭球面上元素(包括坐标，方位和距离)按一定的数学法则投影到可展平面上。 坐标投影公式： 2、地图投影变形几个概念： 长度比，主方向，变形椭圆 3、四种投影变形： 长度变形，方向变形，角度变形，面积变形 4、地图投影的分类： 5、高斯投影的基本概念,上一讲应掌握的内容,1）几个概念： 长度比m：投影面上无限小的微分线段ds， 与椭球面上相应的微分线段dS之比。 主方向：投影后一点的长度比依方向不同而变化，其中最大及最小长度比的

2、方向称为主方向。 变形椭圆：以定点为中心，以长度比的数值为向径，构成以两个长度比的极值为长、短半轴的椭圆。 2）投影变形： 长度变形： 方向变形：,上一讲应掌握的内容,2）投影变形： 角度变形：最大角度变形是最大方向变形的两倍。 面积变形：,地图投影的分类,按投影变形性质分类: 等角投影 等距投影 等积投影 a=b a=1 or b=1 ab=1 按投影面分类 : 圆锥面 圆柱(椭圆柱) 面 平面投影 按投影的中心轴线: 正轴投影 横轴投影 斜轴投影 按椭球面与投影面的切割情况分: 切投影 割投影,高斯投影的基本概念,横切椭圆柱等角（分带）投影。 高斯投影特性（三个）： 中央子午线投影后为一直

3、线，且长度不变；其它经线为凹向中央子午线的曲线，且长度改变。 投影后，赤道为一直线，但长度改变，其它纬线呈凸向赤道的曲线。 投影后，中央子午线与赤道线正交，经线与纬度也互相垂直，即高斯投影为等角投影。 高斯投影分带： 6投影带； 3投影带。 对于6带： N=（L/6）的进整数， L=N-3 对于3带： n=L/3(四舍五入) ， L=3n 高斯平面直角坐标系： 区分为：自然坐标；国家统一坐标。（掌握两者的换算）,4.9.2 正形投影的一般条件,一、长度比的通用公式推导,长度比平方为：,一、长度比的通用公式推导（续）,长度比平方为：,长度比m2的表达式简化为：,q称它为等量纬度，它仅与纬度有关,

4、长度比的通用公式推导（续）,将上述两式代入ds2式，整理，并令,得长度比的通用公式：,将长度比的通用公式中引入方向,二、柯西.黎曼条件,上式为与方向有关的长度比的通用公式。 上式在什么条件下与方向无关？,？,柯西.黎曼条件（续）,正形条件：m与A无关，即满足：,柯西-黎曼条件（公式）是 椭球面与平面之间的正形投影的一般条件,考虑到F=0，E=G，长度比公式简化为,4.9.3 高斯投影坐标正反算公式,二、高斯投影必须满足以下三个条件 (1)中央子午线投影后为直线； (2)中央子午线投影后长度不变； (3)投影具有正形性质，即正形投影条件。,一、什么是高斯投影坐标正反算,已知椭球面上的大地坐标B、

5、L，求高斯平面坐标x、y 的问题称高斯投影坐标正算。 函数式：（1）一般的 x=F1(B,L) ， y=F2(B,L) (2) 一带上， 令l =L-L0 ，x=F1(B,l) ， y=F2(B,l),已知高斯平面坐标(x,y)，求椭球面上的大地坐标(B，L）的问题称高斯投影坐标反算。 函数式：,三、高斯投影坐标正算公式推导,1) 由第一个条件可知，由于地球椭球体是一个旋转椭球体，即中央子午线东西两侧的投影必然对称于中央子午线。 x 为 l 的偶函数，而y 则为 l 的奇函数。,2) 由第三个条件正形投影条件,分别对l 和q 求偏导数,l =3=0.052,由恒等式两边对应系数相等，建立求解待

6、定系数的递推公式,高斯投影坐标正算（2）,m0=? ) 由第二条件可知，位于中央子午线上的点，投影后的纵坐标 x 应该等于投影前从赤道量至该点的子午弧长。,即当 l=0 时,高斯投影坐标正算（3）,子午线曲率半径,等量纬度定义式,高斯投影坐标正算（4）,将各系数代入，略去高次项，得高斯投影坐标正算公式 精度为0.001m,四、高斯投影坐标反算公式推导,同正算一样，对投影函数提出三个条件,(1) x 坐标轴投影成中央子午线，是投影的对称轴； (2) x 轴上长度投影保持不变； (3) 正形投影条件。,1) 由第一个条件可知,分别对x和y 求偏导数,高斯投影坐标反算（2）,2) 由第三个条件，正形

7、条件,顾及到：,高斯投影坐标反算（3）,由恒等式两边对应系数相等，从而得待定系数的递推公式,) 由第二条件可知， 当y=0时，x=X（ 等于投影前从赤道量至该点的子午弧长）；此时对应的点称为底点，其纬度称为底点纬度，用Bf。,n0=? 当 y=0时，x=X B=n0=Bf ，,高斯投影坐标反（4）,依次求各系数,因为,所以,高斯投影坐标反算公式,B，l 的单位为弧度。 当l3.5时， 上式换算精度达0.0001,Bf为x值对应的底点纬度， tf f Mf Nf 均为底点纬度的函数。,适用于电算的高斯坐标计算的实用公式,将75国际椭球参数代入前面推导的高斯计算公式，经过一些简单变化，可得高斯投影正、反算公式。 高斯投影正算公式:,高斯投影反算公式:,实用公式的系数,五、高斯投影几何解释,1、高斯投影正算公式的几何解释,高斯投影几何解释,2、高斯投影反算公式的几何解释,Bf,高斯投影的特点分析,(1)当l等于常数时，随着B的增加x值增大，y值减小；无论B值为正或负，y值不变。这就是说，椭球面上除中央子午线外，其他子午线投影后，均向中央子午线弯曲，并向两极收敛，同时还对称于中央子午线和赤