高中数学 第三章 基本初等函数（Ⅰ）3.2 对数与对数函数 3.2.1 对数及其运算教案 新人教B版必修

1、3.2.1 对数及其运算教学分析我们在前面的学习过程中，已学习了指数函数的概念和性质，从本节开始我们学习对数及其运算使学生认识引进对数的必要性，理解对数的概念及其运算性质，了解对数换底公式及其简单应用，能将一般对数转化为常用对数或自然对数，通过阅读材料，了解对数的发现历史及其对简化运算的作用教材注重从现实生活的事例中引出对数概念，所举例子比较全面，有利于培养学生的思想素质和激发学生学习数学的兴趣和欲望教学中要充分发挥课本的这些材料的作用，并尽可能联系一些熟悉的事例，以丰富教学的情境创设教师要尽量发挥电脑绘图的教学功能，教材安排了“阅读与欣赏”的内容，有利于加强数学文化的教育，应指导学生认真研读

2、根据本节内容的特点，教学中要注意发挥信息技术的力量，使学生进一步体会到信息技术在数学学习中的作用，尽量利用计算器和计算机创设教学情境，为学生的数学探究与数学思维提供支持三维目标1理解对数的概念，了解对数与指数的关系，理解和掌握对数的性质2掌握对数式与指数式的关系，通过实例推导对数的运算性质3准确地运用对数运算性质进行运算，并掌握化简求值的技能，运用对数运算性质解决有关问题4通过与指数式的比较，引出对数的定义与性质，让学生经历并推理出对数的运算性质，并归纳整理本节所学的知识5学会对数式与指数式的互化，从而培养学生的类比、分析、归纳能力；通过对数的运算法则的学习，培养学生严谨的思维品质；在学习过程

3、中培养学生探究的意识；让学生感受对数运算性质的重要性，增加学生的成功感，增强学习的积极性重点难点教学重点：对数式与指数式的互化及对数的性质，对数运算的性质与对数知识的应用教学难点：对数概念的理解，对数运算性质的推导及应用课时安排3课时第1课时对数概念导入新课思路1.(1)庄子：一尺之棰，日取其半，万世不竭取4次，还有多长？取多少次，还有0.125尺？(2)假设2002年我国国民生产总值为a亿元，如果每年平均增长8%，那么经过多少年国民生产总值是2002年的2倍？抽象出：()4？()x0.125x？(18%)x2x？都是已知底数和幂的值，求指数你能看得出来吗？怎样求呢？像上面的式子，已知底数和幂

4、的值，求指数，这就是我们这节课所要学习的对数引出对数的概念，教师板书课题思路2.我们前面学习了指数函数及其性质，同时也会利用性质解决问题，但仅仅有指数函数还不够，为了解决某些实际问题，还要学习对数函数，为此我们先学习对数引出对数的概念，教师板书课题推进新课活动：学生讨论并作图，教师适时提示、点拨对问题，回忆计算机作函数图象的方法，抓住关键点对问题，图象类似于人的照片，从照片上能看出人的特点，当然从函数图象上就能看出函数的某些点的坐标对问题，定义一种新的运算对问题，借助，类比到一般的情形讨论结果：如下图在所作的图象上，取点P，测出点P的坐标，移动点P，使其纵坐标分别接近18、20、30，观察这时

5、的横坐标，大约分别为32.72、43.29、84.04，这就是说，如果保持年增长率为1个百分点，那么大约经过33年、43年、84年，我国人口分别约为18亿、20亿、30亿1.01x，1.01x，1.01x，在这几个式子中，要求x分别等于多少，目前我们没学这种运算，可以定义一种新运算，用符号“log”表示对数，即若1.01x，则x总以1.01为底的的对数就可写成xlog1.01.其他的可类似得到，xlog1.01，xlog1.01，这种运算叫做对数运算一般性的结论就是对数的定义：一般地，对于指数式abN，我们把“以a为底N的对数b”记作logaN，即其中，数a叫做对数的底数，N叫做真数，读作“b

6、等于以a为底N的对数”实质上，上述对数表达式，不过是指数式Nab的另一种表达形式由此得到对数和指数幂之间的关系：aNb指数式abN底数幂指数对数式logaNb对数的底数真数对数例如：42162log416；1021002log10100；2log42；1020.012log100.01.为什么在对数定义中规定a0，且a1？根据对数定义求loga1和logaa(a0，且a1)的值.负数与零有没有对数？alogaNN与logaabb(a0，且a1)是否成立？什么是常用对数？讨论结果：这是因为若a0，则N为某些值时，b不存在，如log(2)；若a0，N不为0时，b不存在，如log03，N为0时，b可

7、为任意正数，是不唯一的，即log00有无数个值；若a1，N不为1时，b不存在，如log12，N为1时，b可为任意数，是不唯一的，即log11有无数个值综之，就规定了：a0，且a1.loga10，logaa1.因为对任意a0，且a1，都有a01，所以loga10.同样易知：logaa1.即1的对数等于0，底的对数等于1.因为底数a0，且a1，由指数函数的性质可知，对任意的bR，ab0恒成立，即只有正数才有对数，零和负数没有对数因为abN，所以blogaN，abalogaNN，即alogaNN.因为abab，所以logaabb.故两个式子都成立(alogaNN叫对数恒等式)常用对数：我们通常将以1

8、0为底的对数叫做常用对数为了简便，N的常用对数log10N简记作lgN.例如：log105简记作lg5；log103.5简记作lg3.5.例如：loge3简记作ln3；loge10简记作ln10.思路1例1求log22，log21，log216，log2.解：因为212，所以log221；因为201，所以log210；因为2416，所以log2164；因为21，所以log21.点评：本题要注意方根的运算，同时也可借助对数恒等式来解变式训练求下列各式的值：(1)log525；(2)log32；(3)3log310；(4)log2.52.5.活动：学生独立解题，教师同时展示学生的做题情况，要求学生

9、说明解答的依据，利用指数式与对数式的关系，转化为指数式求解解：(1)因为5225，所以log5252.(2)因为()532，所以log325.(3)设3log310N，则log3Nlog310，所以N10，即3log31010.(4)因为2.512.5，所以log2.52.51.例2求lg10，lg100，lg0.01.解：因为10110，所以lg101；因为102100，所以lg1002；因为1020.01，所以lg0.012.例3利用科学计算器求对数(精确到0.000 1)：lg2 001；lg0.061 8；lg0.004 5；lg396.5.解：用科学计算器计算：按键显示 2001 3

10、. 0.0618 1. 0.0045 2. 396.5 2.所以lg2 0013.301 2，lg0.061 81.209 0，lg0.004 52.346 8，lg395.62.598 2.思路2例1以下四个命题中，属于真命题的是()(1)若log5x3，则x15(2)若log25x，则x5(3)若logx0，则x(4)若log5x3，则xA(2)(3) B(1)(3) C(2)(4) D(3)(4)活动：学生观察，教师引导学生考虑对数的定义解析：对数式化为指数式，根据指数幂的运算性质算出结果对于(1)，因为log5x3，所以x53125，错误；对于(2)，因为log25x，所以x255，正

11、确；对于(3)，因为logx0，所以x0，无解，错误；对于(4)，因为log5x3，所以x53，正确总之(2)(4)正确答案：C点评：对数的定义是对数形式和指数形式互化的依据.变式训练1将下列指数式写成对数式：(1)54625；(2)33；(3)816；(4)5a15.解：(1)log56254；(2)log33；(3)log816；(4)alog515.2将下列对数式写成指数式(1)164；(2)log32435；(3) 3；(4)lg0.11.活动：学生阅读题目，独立解题，发表自己的见解，把结果用多媒体显示在屏幕上解：根据指数式与对数式的关系，得(1)()416；(2)35243；(3)(

12、)3；(4)1010.1.例2计算：(1)log927；(2) 81；(3)log(2)(2)；(4) 625.活动：教师引导，学生回忆，教师提问，学生回答，积极交流，学生展示自己的解题过程，教师及时评价学生利用对数的定义或对数恒等式来解求式子的值，首先设成对数式，再转化成指数式或指数方程求解另外利用对数恒等式可直接求解，所以有两种解法解法一：(1)设xlog927，则9x27,32x33，所以x.(2)设x81，则()x81,34，所以x16.(3)令xlog(2)(2)log(2)(2)1，所以(2)x(2)1，x1.(4)令x625，所以()x625,54，x3.解法二：(1)log92

13、7log933log99.(2) 81()1616.(3)log(2)(2)log(2)(2)11.(4) 625()33.点评：首先将其转化为指数式，进一步根据指数幂的运算性质算出结果，对数的定义是转化和对数恒等式的依据.变式训练本节练习A5.1把下列各题的指数式写成对数式：(1)4216；(2)301；(3)4x2；(4)2x0.5；(5)54625；(6)32；(7)()216.解：(1)2log416；(2)0log31；(3)xlog42；(4)xlog20.5；(5)4log5625；(6)2log3；(7)2log16.2把下列各题的对数式写成指数式：(1)xlog527；(2)

14、xlog87；(3)xlog43；(4)xlog7；(5)log2164；(6) 273；(7) x6；(8)logx646；(9)log21287；(10)log327a.解：(1)5x27；(2)8x7；(3)4x3；(4)7x；(5)2416；(6)()327；(7)()6x；(8)x664；(9)27128；(10)3a27.3求下列各式中x的值：(1)log8x；(2)logx27；(3)log2(log5x)1；(4)log3(lgx)0.解：(1)因为log8x，所以x8(23)23()22；(2)因为logx27，所以2733，即x(33)3481；(3)因为log2(log5

15、x)1，所以log5x2，x5225；(4)因为log3(lgx)0，所以lgx1，即x10110.4(1)求log84的值；(2)已知loga2m，loga3n，求a2mn的值解：(1)设log84x，根据对数的定义有8x4，即23x22，所以x，即log84；(2)因为loga2m，loga3n，根据对数的定义有am2，an3，所以a2mn(am)2an(2)234312.点评：此题不仅是简单的指数与对数的互化，还涉及到常见的幂的运算法则的应用对于a0，a1，下列结论正确的是()(1)若MN，则logaMlogaN(2)若logaMlogaN，则MN(3)若logaM2logaN2，则MN

16、(4)若MN，则logaM2logaN2A(1)(3) B(2)(4)C(2) D(1)(2)(4)活动：学生思考，讨论，交流，回答，教师及时评价回想对数的有关规定对(1)若MN，当M为0或负数时logaMlogaN，因此错误；对(2)根据对数的定义，若logaMlogaN，则MN，正确；对(3)若logaM2logaN2，则MN，因此错误；对(4)若MN0时，则logaM2与logaN2都不存在，因此错误综上，(2)正确答案：C点评：0和负数没有对数，一个正数的平方根有两个(1)对数引入的必要性；(2)对数的定义；(3)几种特殊数的对数；(4)负数与零没有对数；(5)对数恒等式；(6)两种特

17、殊的对数课本本节练习B1、2.本节课在前面研究了指数函数及其性质的基础上，为了运算的方便，引进了对数的概念，使学生感受到对数的现实背景，它有着丰富的内涵，和我们的实际生活联系密切，也是以后学习对数函数的基础，鉴于这种情况，安排教学时，无论是导入还是概念得出的过程，都比较详细，通俗易懂，要反复练习，要紧紧抓住它与指数概念之间的联系与区别，结合指数式理解对数式，强化对数是一种运算，并注意对数运算符号的理解和记忆，多运用信息化的教学手段，顺利完成本堂课的任务，为下一节课作准备备选例题例1将下列指数式与对数式互化，有x的求出x的值(1)；(2) 4x；(3)3x；(4)()x64；(5)lg0.000

18、 1x.解：(1) 化为对数式是log5；(2)x4化为指数式是()x4，即22，2，x4；(3)3x化为对数式是xlog3，因为3x()333，所以x3；(4)()x64化为对数式是xlog64，因为()x6443，所以x3；(5)lg0.000 1x化为指数式是10x0.000 1，因为10x0.000 1104，所以x4.例2计算3log3log3的值解：设xlog3，则3x，(3)x，所以x.所以3log3log3.例3计算alogablogbclogcN(a0，b0，c0，N0)解：alogablogbclogcNblogbclogcNclogcNN.(设计者：路致芳)第2课时积、商

19、、幂的对数导入新课思路1.上节课我们学习了以下内容：1对数的定义2指数式与对数式的互化abNlogaNb.3重要公式：(1)负数与零没有对数；(2)loga10，logaa1；(3)对数恒等式alogaNN.下面我们接着讲积、商、幂的对数教师板书课题思路2.我们在学习指数的时候，知道指数有相应的运算法则，即指数运算法则amanamn；amanamn；(am)namn；a.从上节课我们还知道指数与对数都是一种运算，而且它们互为逆运算，对数是否也有和指数相类似的运算法则呢？答案是肯定的，这就是本堂课的主要内容，点出课题推进新课1)在上节课中，我们知道，对数运算可看作指数运算的逆运算，你能从指数与对

20、数的关系以及指数运算性质，得出相应的对数运算性质吗？2)如我们知道amM，anN，amanamn，那mn如何表示，能用对数式运算吗？3)在上述(2)的条件下，类比指数运算性质能得出其他对数运算性质吗？(4)你能否用最简练的语言描述上述结论？如果能，请描述.,5)上述运算性质中的字母的取值有什么限制吗？(6)上述结论能否推广呢？,(7)学习这些性质能对我们进行对数运算带来哪些方便呢？讨论结果：(1)通过问题(2)来说明(2)如amanamn，设Mam，Nan，于是MNamn，由对数的定义得到MammlogaM，NannlogaN，MNamnmnlogaMN，loga(MN)logaMlogaN.

21、因此mn可以用对数式表示(3)令Mam，Nan，则amanamn，所以mnloga.又由Mam，Nan，所以mlogaM，nlogaN.所以logaMlogaNmnloga，即logalogaMlogaN.设Mam，则Mn(am)namn.由对数的定义，所以logaMm，logaMnmn.所以logaMnmnnlogaM，即logaMnnlogaM.这样我们得到对数的三个运算性质：如果a0，a1，M0，N0，则有loga(MN)logaMlogaN，logalogaMlogaN，logaMnnlogaM(nR)(4)以上三个性质可以归纳为：性质：两数积的对数，等于各数的对数的和；性质：两数商的

22、对数，等于被除数的对数减去除数的对数；性质：幂的对数等于幂指数乘底数的对数(5)利用对数运算性质进行运算，所以要求a0，a1，M0，N0.(6)性质可以推广到n个数的情形：即loga(M1M2M3Mn)logaM1logaM2logaM3logaMn(其中a0，a1，M1、M2、M3、Mn均大于0)(7)纵观这三个性质我们知道，性质的等号左端是乘积的对数，右端是对数的和，从左往右看是一个降级运算性质的等号左端是商的对数，右端是对数的差，从左往右是一个降级运算，从右往左是一个升级运算性质从左往右仍然是降级运算利用对数的性质可以使两正数的积、商的对数转化为两正数的各自的对数的和、差运算，大大的方便

23、了对数式的化简和求值思路1例1用logax，logay，logaz表示下列各式：(1)loga；(2)loga(x3y5)；(3)loga；(4)loga.解：(1)logaloga(xy)logazlogaxlogaylogaz；(2)loga(x3y5)logax3logay53logax5logay；(3)logalogaloga(yz)loga(logaylogaz)logaxlogaylogaz；(4)logaloga(x2)logax2logaloga2logaxlogaylogaz.点评：对数的运算实质上是把积、商、幂的对数运算分别转化为对数的加、减的运算.变式训练1用logax

24、，logay，logaz表示下列各式：(1)loga(x2yz)；(2)loga；(3)loga.活动：学生思考观察，教师巡视，检查学生解题情况，发现问题及时纠正利用对数的运算性质，把整体分解成部分对(1)可先利用性质1，转化为两数对数的和，再利用性质3，把幂的对数转化为两数对数的积对(2)(3)可先利用性质2，转化为两数对数的差，再利用性质1，把积的对数转化为两数对数的和，最后利用性质3，转化为幂指数与底数的对数的积.解：(1)loga(x2yz)logax2logaylogaz2logaxlogaylogaz.(2)logalogax2loga(yz)2logaxlogaylogaz.(3

25、)logalogaloga(y2z)logax2logaylogaz.例2计算：(1)lg；(2)lg4lg25；(3)(lg2)2lg20lg5.解：(1)lglg100；(2)lg4lg25lg(425)lg1002；(3)(lg2)2lg20lg5(lg2)2(1lg2)(1lg2)(lg2)21(lg2)21.点评：此例题体现对数运算性质的综合运用，应注意掌握变形技巧，如变形要化到最简形式，同时注意分子、分母的联系；要避免错用对数运算性质，特别是对数运算性质的灵活运用，运算性质的逆用常被学生所忽视.变式训练计算：(1)lg142lglg7lg18；(2)；(3).解：(1)解法一：lg

26、142lglg7lg18lg(27)2(lg7lg3)lg7lg(322)lg2lg72lg72lg3lg72lg3lg20.解法二：lg142lglg7lg18lg14lg()2lg7lg18lglg10.(2).(3).思路2例1：求下列各式的值(1)log525；(2)log0.41；(3)log2(4725)解法一：(1)log525log5522；(2)log0.410；(3)log2(4725)log247log225log2227log22527519.解法二：(1)设log525x，则5x2552，所以x2；(2)设log0.41x，则0.4x10.40，所以x0；(3)log

27、2(4725)log2(21425)log221919，或log2(4725)log247log2257log222log22527519.点评：此题关键是要记住对数运算性质的形式.变式训练计算：(1)log3(9235)；(2)lg.解：(1)log3(9235)log392log335log3345log33459.(2)lglg1022.例2计算下列各式的值：(1)lglglg；(2)lg52lg8lg5lg20(lg2)2；(3).活动：学生思考、交流，观察题目特点，教师可以提示引导：将真数中的积、商、幂化为对数的和、差、积；再就是逆用对数的运算性质先利用对数的性质把积、商、幂化为对数

28、的和、差、积进行计算再就是逆用对数的运算性质，把对数的和、差、积转化为真数的积、商、幂再计算(1)解法一：lglglg(5lg22lg7)lg2(2lg7lg5)lg2lg72lg2lg7lg5lg2lg5(lg2lg5)lg10.解法二：lglglglglg7lglg()lg.(2)解法一：lg52lg8lg5lg20(lg2)22lg52lg2lg5(2lg2lg5)(lg2)22lg10(lg2lg5)22(lg10)2213.解法二：lg52lg8lg5lg20(lg2)22lg52lg2lg5(2lg2lg5)(1lg5)22lg10lg52(1lg5)lg5(1lg5)22lg5(

29、2lg5)(1lg5)222lg5(lg5)212lg5(lg5)23.(3)解法一：.解法二：.点评：这类问题一般有以下几种处理方法：一是将真数中的积、商、幂运用对数的运算法则化为对数的和、差、积，然后化简求值；二是将式中对数的和、差、积运用对数的运算法则化为真数的积、商、幂，然后化简求值；三是上述两种方法灵活运用，化简求值.变式训练计算：(1)2log510log50.25；(2)2log5253log264；(3)log2(log216)解：(1)因为2log510log5102log5100，所以2log510log50.25log5100log50.25log5(1000.25)lo

30、g5522log552.(2)因为2log5252log5524log554,3log2643log22618log2218，所以2log5253log26422.(3)因为log216log2244，所以log2(log216)log24log2222.1用logax，logay，logaz，loga(xy)，loga(xy)表示下列各式：(1)loga；(2)loga(x)；(3)loga(xyz)；(4)loga；(5)loga(y)；(6)loga3.解：(1)logalogalogay2zlogax(2logaylogaz)logax2logaylogaz.(2)loga(x)log

31、axlogalogax(logaz3logay2)logaxlogaylogazlogaxlogaylogaz.(3)loga(xyz)logaxlogaylogazlogaxlogaylogaz.(4)logalogaxyloga(x2y2)logaxlogayloga(xy)(xy)logaxlogayloga(xy)loga(xy)(5)loga(y)logalogayloga(xy)loga(xy)logay.(6)loga33logaylogaxloga(xy)3logay3logax3loga(xy)2已知f(x6)log2x，则f(8)等于()A. B8 C18 D.解析：因为f

32、(x6)log2x，x0，令x68，得x，所以f(8)log2.另解：因为f(x6)log2xlog2x6，所以f(x)log2x.所以f(8)log28log223.答案：D3若a0，a1，x0，y0，xy，下列式子正确的个数为()logaxlogayloga(xy)logaxlogayloga(xy)logalogaxlogayloga(xy)logaxlogayA0 B1 C2 D3答案：A4若a0，a1，xy0，nN，下列式子正确的个数为()(logax)nnlogax(logax)nlogaxnlogaxlogalogalogaxlogaxlogalogaxnnlogaxlogalo

33、gaA3 B4 C5 D6答案：B5科学家以里氏震级来度量地震的强度若设I为地震时所散发出来的相对能量程度，则里氏震级r可定义为r0.6lgI，试比较6.9级和7.8级地震的相对能量程度解：设6.9级和7.8级地震的相对能量程度分别为I1和I2，由题意，得因此0.6(lgI2lgI1)0.9，即lg1.5.所以101.532.因此，7.8级地震的相对能量程度约为6.9级地震的相对能量程度的32倍已知x、y、z0，且lgxlgylgz0，求xyz的值活动：学生讨论、交流、思考，教师可以引导大胆设想，运用对数的运算性质由于所求的式子是三项积的形式，每一项都有指数，指数中又有对数，因此想到用对数的运

34、算性质，如果能对所求式子取对数，那可能会好解决些，故想到用参数法，设所求式子的值为t.解：令xyzt，则lgt()lgx()lgy()lgz3，所以t103即为所求1对数的运算法则2对数的运算法则的综合应用，特别是公式的逆向使用3对数与指数形式比较：式子abNlogaNb名称a幂的底数b幂的指数N幂值a对数的底数b以a为底的N的对数N真数运算性质amanamn；amanamn；(am)namn(a0，a1，m、nR)loga(MN)logaMlogaN；logalogaMlogaN；logaMnnlogaM(nR)(a0，a1，M0，N0)课本本节练习B1、2、3.在前面研究了对数概念的基础上

35、，为了运算的方便，本节课我们借助指数的运算法则，推出了对数的运算法则，引导学生自己完成推导过程，加深对公式的理解和记忆，对运算性质的认识类比指数的运算法则来理解记忆，强化法则的使用条件，注意对数式中每一个字母的取值范围，由于它是以后学习对数函数的基础，所以安排教学时，要反复练习，加大练习的量，多结合信息化的教学手段，顺利完成本堂课的任务备选例题 例 已知a、b、c均为正数，3a4b6c，求证：.活动：学生思考观察，教师引导，及时评价学生的思考过程从求证的结论看，解题的关键是设法把a、b、c从连等号式中分离出来，为便于找出a、b、c的关系，不妨设3a4b6ck(k0)，则a、b、c就可用这一变量

36、k表示出来，再结合对数的运算性质就可证得结论证法一：设3a4b6ck，则k0.由对数的定义得alog3k，blog4k，clog6k，则左边2logk3logk4logk9logk4logk36，右边2logk6logk36，所以.证法二：对3a4b6c同时两边取常用对数得lg3alg4blg6c，alg3blg4clg6.所以log63，log64.又log6(94)2，所以.点评：本题主要考查指数、对数的定义及其运算性质灵活运用指数、对数的概念及性质解题，适时转化(设计者：卢岩冰)第3课时换底公式与自然对数导入新课思路1.问题：你能根据对数的定义推导出下面的换底公式吗？a0，且a1，c0，

37、且c1，b0，logab.教师直接点出课题思路2.前两节课我们学习了以下内容：1.对数的定义及性质；2.对数恒等式；3.对数的运算性质及应用我们能就同底数的对数进行运算，那么不同底数的对数集中在一起，如何解决呢？这就是本堂课的主要内容教师板书课题思路3.从对数的定义可以知道，任意不等于1的正数都可作为对数的底，数学史上，人们经过大量的努力，制作了常用对数表和自然对数表，只要通过查表就能求出任意正数的常用对数或自然对数，这样，如果能将其他底的对数转换为以10为底或以e为底的对数就能方便地求出任意不等于1的正数为底的对数，那么，怎么转化呢？这就需要一个公式，即对数的换底公式，从而引出课题推进新课活

38、动：学生针对提出的问题，交流讨论，回顾所学，力求转化，教师适时指导，必要时提示学生解题的思路，给学生创造一个互动的学习环境，培养学生的创造性思维能力对目前还没有学习对数的换底公式，它们又不是同底，因此可考虑对数的定义，转化成方程来解；对参考的思路和结果的形式，借助对数的定义可以表示；对借助的思路，利用对数的定义来证明；对根据证明的过程来说明；对抓住问题的实质，用准确的语言描述出来，一般是按照从左到右的形式；对换底公式的意义就在于对数的底数变了，与我们的要求接近了；自然对数与常用对数是两种特殊的对数，它们对科学研究和了解自然起了巨大的作用讨论结果：因为lg20.301 0，lg30.477 1，

39、根据对数的定义，所以100.301 02,100.477 13.不妨设log23x，则2x3，所以(100.301 0)x100.477 1,100.301 0x100.477 1，即0.301 0x0.477 1，x.因此log231.585 1.根据我们看到，最后的结果是log23用lg2与lg3表示，是通过对数的定义转化的，这就给我们以启发，本来是以2为底的对数转换成了以10为底的对数，不妨设log23x，由对数定义知道，2x3，两边都取以a为底的对数，得loga2xloga3，xloga2loga3，x，也就是log23.这样log23就表示成了以a为底的3的对数与以a为底的2的对数的

40、商证明logab.证明：设logabx，由对数定义知道，axb；两边取c为底的对数，得logcaxlogcbxlogcalogcb；所以x，即logab.一般地，logab(a0，a1，b0，c0，c1)称为对数换底公式由的证明过程来看，换底公式的证明要紧扣对数的定义，证明的依据是：若M0，N0，MN，则logaMlogaN.一个数的对数，等于同一底数的真数的对数与底数的对数的商，这样就把一个对数变成了与原来对数的底数不同的两个对数的商换底公式的意义就在于把对数式的底数改变，把不同底问题转化为同底问题，为使用运算法则创造条件，更方便化简求值说明：我们使用的计算器中，“log”通常是常用对数，因

41、此要使用计算器计算对数，一定要先用换底公式转化为常用对数如log23，即计算log23的值的按键顺序为：“log”“3”“”“log”“2”“”再如：在前面要求我国人口达到18亿的年份，就是要计算xlog1.01，所以xlog1.0132.883 733年可以看到运用对数换底公式，有时要方便得多在科学技术中，常常使用以无理数e2.718 28为底的对数以e为底的对数叫做自然对数logeN通常记作lnN.根据对数的换底公式，可以得到自然对数与常用对数的关系：lnN，即lnN2.302 6 lgN.用科学计算器可直接求自然对数例如，求ln34(精确到0.000 1)，可用科学计算器计算如下：按键显

42、示 34 3.所以ln343.526 4.思路1例1求下列各式的值：(1)log89log2732的值；(2)ln1.解：(1)log89log2732.(2)因为e01，所以ln10.变式训练计算：(1)log927；(2)lne5.解：(1)log927.(2)因为lne55lne5，所以lne55.例2 (1)求证：logxylogyzlogxz.证明：因为logxylogyzlogxylogxz，所以logxylogyzlogxz.(2)求证：loganbnlogab.证明：因为loganbnlogab，所以loganbnlogab.点评：本题的结论可作为公式直接应用.变式训练本节练习

43、A3、5.思路2例1 (1)已知log23a，log37b，用a、b表示log4256.(2)若log83p，log35q，求lg5.活动：学生交流，展示自己的思维过程，教师对学生的表现及时评价，要注意转化利用对数运算性质法则和换底公式进行化简，然后再表示对(1)据题目的特点，底数不同，所以考虑把底数统一起来，再利用对数的运算性质化简对(2)利用换底公式把底数统一起来，再灵活利用对数的运算性质解决解：(1)因为log23a，则log32，又因为log37b，所以log4256.(2)因为log83p，即log233p，所以log233p.所以log32.又因为log35q，所以lg5.点评：本

44、题是条件问题，要充分考虑到条件与结论的关系，更要灵活运用对数的换底公式和运算性质.变式训练已知log189a,18b5，用a、b表示log3645.解：因为log189a，所以log181log182a.所以log1821a.因为18b5，所以log185b.所以log3645.点评：在解题过程中，根据问题的需要，指数式转化为对数式，或对数式转化为指数式，这正是数学中转化思想的具体体现，转化思想是中学中重要的数学思想，要注意学习、体会，逐步达到灵活运用.例2设x、y、z(0，)，且3x4y6z.(1)求证：；(2)比较3x、4y、6z的大小活动：学生观察，积极思考，尽量把所学知识与题目结合起来

45、，教师及时提示引导(1)利用对数的定义把x、y、z表示出来，根据对数的定义把3x4y6z转化为指数式，求出x、y、z，然后计算(2)在(1)的基础上利用中间量，作差比较，利用对数的运算性质进行比较(1)证明：设3x4y6zk，因为x、y、z(0，)，所以k1.取对数，得x，y，z，所以，即.(2)解：因为3x4y()lgklgk0，所以3x4y.又因为4y6z()lgklgk0，所以4y6z.所以3x4y6z.点评：如果题目中有指数式，常根据对数的定义转化为对数式，有对数式常根据对数的定义转化为指数式，比较大小常用作差，如果是几个数比较大小，有时采用中间量法，要具体情况具体分析例3已知loga

46、xlogacb，求x.活动：学生讨论，教师指导，教师提问，学生回答，教师对解题中出现的问题及时处理把对数式转化为指数式求解，或把b转化为对数形式利用对数的运算性质来解由于x作为真数，故可直接利用对数定义求解；另外，由于等式右端为两实数和的形式，b的存在使变形产生困难，故可考虑将logac移到等式左端，或者将b变为对数形式来解解法一：由对数定义，可知xalogacbalogacabcab.解法二：由已知移项可得logaxlogacb，即logab，由对数定义，知ab，所以xcab.解法三：因为blogaab，所以logaxlogaclogaablogacab.所以xcab.点评：利用对数定义进行

47、指数式与对数式的互化对解题起到关键作用(1)已知lg2a，lg3b，则等于()A. B. C. D.(2)已知2lg(x2y)lgxlgy，则的值为()A1 B4 C1或4 D4或1(3)若3a2，则log382log36_.(4)lg12.5lglg0.5_.答案：(1)C(2)B(3)a2(4)1探究换底公式的其他证明方法：活动：学生讨论、交流、思考，教师可以引导：大胆设想，运用对数的定义及运算性质和指数幂的运算性质证法一：设logaNx，则axN，两边取以c(c0且c1)为底的对数，得logcaxlogcN，所以xlogcalogcN，即x.故logaN.证法二：由对数恒等式，得NalogaN，两边取以c(c0且c1)为底的对数，得logcNlogaNlogca，所以logaN.证法三：令logcam，logaNn，则acm，Nan，所以N(cm)ncmn.两边取以c(c0且c1)为底的对数，得mnlogcN，所以n，即logaN.对数换底公式的应用：换底公式logaN(c0且c1，a0且a1，N0)的应用包括两个方面，即由左端到右端的应用和由右端到左端的应用前者较为容易，而后者则易被学生忽视，因此，教学时应重视后者的用法，下面仅就后者举例说明：例：化简：.解：原式