《特征中与特征向量》PPT课件.ppt

1、1,线性代数与空间解析几何,哈工大数学系代数与几何教研室,王 宝 玲,特征值与特征向量,2007.9,第六章,2,特征向量与特征向量 相似矩阵 矩阵的相似对角化,本章的主要内容,3,在工程技术中有许多与振动和稳定性有关的问题（如：机械、电子、土木、化工、生态学、核物理、弹性力学、气体力学), 在数学中, 解微分方程组及简化矩阵的计算等, 都会遇到这样的问题：,1. 对于给定的3阶方阵A, 是否存在非零列,向量X,使向量AX与X平行？,2. 如果存在这样的X, 则该如何求这个X ？,问题的提出：,4,设,则对于,有,而对于,可见有些向量X, 有AX与X平行这个性 质,而其它向量则没有这个性质.

2、有这样性 质的向量称为特征向量.,例1,5,6.1 特征值与特征向量,特征值与特征向量的概念 特征值与特征向量求法 特征值与特征向量的性质 实对称阵的特征值与特征向量,本节的主要内容,6,设A是n阶方阵,若存在数 及非零 列向量X, 使得,则称 是A的特征值, X是A的属于 特征值 的特征向量.,1.若X=0,则A0=0,()成立. 2.几何意义:向量AX=,注,AX= X,1.定义,6.1.1 特征值与特征向量的概念,7,求方阵A的特征值:,称,即,为矩阵A的特征多项式,征值的问题就转化为求特征方程根的问题.,AX= X(X 0),有非零解,为矩阵A的特征方程,求矩阵特,2. 特征值与特征向

3、量的求法,8,求方阵A的特征向量:,求齐次线性方程组的非零解问题.,由齐次线性方程组解的性质知特征向 量有以下2条性质:,(1)X是属于 的特征向量,则,(2) 是属于 的特征向量,则,的非零解,9,对A的特征值 ,称方程组 的解空间 为A的关于特征值 的特征子空间.,特征子空间:,求A的特征值与特征向量的步骤如下:,(1)由 求A的特征值 (2)分别把A的每个特征值 代入方程组 , 求出它的基础解系. 则基础解系的所有非零线性组合就是 A的属于 的全部特征向量.,10,求A特征值和特征向量 及特征子空间.,解 (1)求A的特征值,A的特征值为,对 ,解方程组,(2)求特征向量,例2,11,由

4、,得同解方程组:,得基础解系为,得A的属于-1的全部特征向量为,是不全为0的任意常数.,12,对 ,解方程组,得同解方程组:,得基础解系为,得A的属于5的全部特征向量为,是不为0的任意常数.,13,得A的关于特征值-1和5的特征子空间为：,为任意常数,为任意常数,14,1.特征值的性质,性质1 设,为n阶矩阵A的特征值，,则,证 由已知,6.1.2 特征值与特征向量的性质,15,只能出现在,乘积项中.,另一方面,比较(1),(2)中 的系数及常数项,得结论.,16,则,设为n阶方阵A的特征值, 且,1.,有0 特征值.,注:,A的特征值都非0.,证,则,(X0),用数学归纳法可得,对kN,有,

5、性质2,17,若,且A可逆,则,例3,(X0)，,证,且 A可逆,则,而,18,2.特征向量的性质,定理1 如果1, 2,m是n阶方阵A的互异 特征值, 则它们所对应的特征向量 X1,X2, Xm线性无关.,证 由已知,对特征值个数m用数学归纳法. 当m=1时,因为X10, 所以结论成立.,19,设m-1个特征值时结论成立, 考虑m的情形.,A左乘(1)式等号两端, 得,用m乘(1)式两端, 得,(2)式减(3)式,得,即,20,k1(1-m)X1+km-1(m-1-m)Xm-1= 0 由归纳假设 X1,X2,Xm-1线性无关. 所以 ki (i -m)=0， i=1,2,m-1 由已知i m

6、, i=1,2,m-1, 得 ki =0, i=1,2,m-1, 代入(1)式, 有 kmXm= 0,又Xm0, 所以 km= 0. 故 X1, X2,Xm线性无关.,21,设 1,2, , s的是A的s个互异的,也线性无关.,这个推论的证明与定理1类似.,推论2,若A有n个互异特征值,则A必有n个 线性无关的特征向量,推论1,特征值, 而 是属于i的,mi个线性无关的特征向量, i=1,s, 则,22,6.1.3 实对称阵的特征值与特征向量,实对称阵的性质:,性质1 实对称阵的特征值都是实数.,性质2 实对称阵对应于不同特征值的实 特征向量必正交.,证,设A是n阶实对称矩阵, 是A的的特征值

7、,且,A= , A2= 2 2,往证1T2= 0.,23,11T2 = (11 ) T 2= (A1 )T2 =1TAT2 =1T(A2) = T(2 2)= 21T 2 (1 -2)1T2 = 0 1T 2 = 0.,实对称阵的ri重特征值i一定有ri个 线性无关的实特征向量.,即方程组,的基础解系恰好含有ri个向量.,性质3,24,设三阶实对称阵A 的特征值为-1,1,1, -1所对应的特征向量为(0,1,1)T . 求1对应的特征向量.,解,设 X =(x1,x2,x3 )T,是不全为0的任意常数.,例4,25,本节主要内容,相似矩阵的概念 方阵相似对角化的条件与方法 几何重数与代数重数

8、 实对称矩阵正交相似对角化的方法,6.2 相似矩阵,26,设A,B是两个n阶方阵,如果存在 可逆矩阵T, 使,T-1AT =B,则称A与B相似, 记作AB. 从A到B 的这种变换称为相似变换, T为相似变换矩阵.,6.2.1 相似矩阵的概念,1 定义,例如,T-1ET =E,27,即相似关系满足:,(1) 自反性:AA; (2) 对称性:若AB, 则BA; (3) 传递性:若AB,BC,则AC.,矩阵的相似关系是 上的一种等价关系,所以彼此相似的矩阵构成一个等价类, 最简单的代表元就是对角阵.,28,2 相似矩阵的特征多项式,定理6.2 若A与B相似, 则特征多项式同, 即,证,因A与B相似,

9、 所以存在可逆矩阵T, 使,T-1AT =B,29,推论,若n阶方阵A与对角阵,相似,结论成立.,30,3 相似矩阵有5,(4) 迹同:,(1) 特征多项式同:,(2) 特征值同:,(3) 行列式同:,(5) 秩同:,如果A, B是两个n阶方阵, AB.则有,但逆命题不成立 即特征值同但不 相似,阵,(2)的反例如下:,31,(1) 相似矩阵有相同的可逆性, 当A可逆时, 若AB,则A-1B-1, B*A*,B*=T-1A*T . (2) 若AB, 则Am Bm, 其中m是正整数. (3) 若AB, 设 f(x) 是一个一元多项式, 则 f (A)f (B),4 相似矩阵的同性质,(5) 若A

10、B,则对常数t有,(4) 若AB,则AT BT .,32,与,相似,解,由|5E A|=5-5x=0,x = 1,tr(A) =x- 2= tr() =y,y = -1.,例1,求 x , y .,两矩阵相似,等价,5 矩阵的相似与等价的关系,显然A有特征值 5,-5.,33,6.2.2 相似对角化的条件及方法,1 定义,若A与对角阵相似,称A可以相似 对角化.,2 相似对角化的条件,A有n个线性无关的特征向量.,A的n个线性无关的特征向量,且的主对角线上元素是与其对应的特征值.,T-1AT=为对角阵,T的n个列向量是,34,证,设A与对角阵相似,则可逆阵T, 使,所以有 AT = T,用T1

11、, T2, Tn表示T 的n个列向量, 即,T=(T1, T2, Tn),(注意:证明过程给出相似对角化的方法),35,即 A(T1, Tn)=(AT1, ATn)=,等式两边的列向量应当对应相等, 所以:,由T可逆知, T1, Tn线性无关,故是A的,n个线性无关的特征向量.,36,设T1,T2,Tn是n个线性无关的列向量, 满足: ATi =iTi, i=1,2,n 如果令 T=(T1,T2,Tn) AT =A(T1,T2,Tn) =(AT1,AT2,ATn) =(1T1, 2T2, nTn) =(T1,T2,Tn) diag(1,2, , n) =Tdiag(1, 2, , n),T-1

12、AT,37,A可相似对角化.,若A有n个互异特征值,例如, n阶单位阵E 可对角化, 但是它的 互异特征值只有1个( n重 ).,属于A的不同特征值的特征向量线性无关,问题：若A可相似对角化, 那么A一定有n个 互异特征值?,推论,38,6.2.3 几何重数与代数重数,几何重数:矩阵A的每个特征值i的特征子 空间 Vi的维数为i的几何重数. (即 (iE-A)X=0基础解系含向量的个数). 代数重数: i在特征方程中的重根数.,A的特征值的几何重数代数重数.,定理6.4,注 复矩阵A的所有特征值的代数重数之和,特征值几何重数=代数重数时.,=n,所以有,39,解,x = y.,r(E A)=1

13、,可相似对角化,求x , y 满足的条件.,例2,r(3E A)=2,特征值为1，1，3.,40,设三阶方阵A 的特征值为1,-1,-1,依次是对应的特征向量,求A与,解 设,则,线性无关, A可相似对角化.,例3,41,任意实对称阵A不仅可对角化, 而且能找到一个正交阵P, 使得P-1AP = PTAP = 为对角阵. 即A可正交相似对角化.,6.2.4 实对称矩阵的正交相似对角化,42,实对称矩阵可以正交相似对角化.,其中 是A的特征值.,证 A为n阶实对称阵, 有,定理6.6,即:若A为n阶实对称阵, 则正交阵P, 使得,(证明过程给出方法),43,不同特征值 1 2 s,代数重数 r1 r2 rs,几何重数 r1 r2 rs,无关特征向量 X11 X1r1 X21X2r2 Xs1Xs rs,标准正交化,标准正交 特征向量,则,为正交阵,令,例4 设,求正交阵 使 为对角阵 .,解,特征值为,得基础解系,正交化,单位化,46,得基础解系,单位化,故,为正交阵,diag(2, 2, -7),47,已知矩阵A是三阶实对称阵, 它的特征 值分别是 1, 1, 2, 且属于2 的特征向量 是 ( 1, 0, 1, )T, 求A=?,解 A是三阶实对称