高二数学正弦定理、余弦定理（续）苏教版知识精讲（通用）

1、高二数学高二数学正弦定理、余弦定理（续）正弦定理、余弦定理（续）苏教版苏教版 【本讲教育信息本讲教育信息】 一. 教学内容： 正弦定理、余弦定理（续） 二、教学目标： 1. 能够利用正、余弦定理证明三角形中的三角恒等式； 2. 会在各种应用问题中，抽象或构造出三角形，标出已知量、未知量，确定解三角形的 方法； 3. 搞清利用解斜三角形可解决的各类应用问题的基本图形和基本等量关系； 4. 理解各种应用问题中的有关名词、术语，如：俯角、仰角、方位角等。 三、知识要点： 正弦定理：正弦定理：R C c B b A a 2 sinsinsin 余弦定理：余弦定理：,cos2 222 Abccba bc

2、 acb A 2 cos 222 ,cos2 222 Bcaacb ca bac B 2 cos 222 ，Cabbaccos2 222 ab cba C 2 cos 222 【典型例题典型例题】 1. 正、余弦定理的巧用 某些三角习题的化简和求值，若能巧用正、余弦定理，则可避免许多繁杂的运算，从 而使问题较轻松地获得解决。 例例 1. 求 sin220cos280sin20cos80的值。3 解：解：原式sin220sin2102sin20sin10cos150 2010150180， 20、10、150可看作一个三角形的三个内角。 设这三个内角所对的边依次是 a、b、c，由余弦定理得：a2

3、b22abcos150 c2（） 而由正弦定理知：a2sin20，b2sin10，c2sin150，代入（）式得： sin220sin2102sin20sin10cos150sin2150 4 1 原式 4 1 例例 2. 在ABC 中，三边长为连续的自然数，且最大角是最小角的 2 倍，求此三角形的 三边长。 （）cossin22sin 分析：分析：由于题设条件中给出了三角形的两角之间的关系，故需利用正弦定理建立边角 关系。其中利用正弦二倍角展开后出现了，可继续利用余弦cossin22sincos 定理建立关于边长的方程，从而达到求边长的目的。 解：解：设三角形的三边长分别为 x，x1，x2，

4、其中 x*，又设最小角为，则 ， cossin2 2 2sin 2 sin xxx x x 2 2 cos 又由余弦定理可得 x2（x1）2（x2）22（x1） （x2）cos 将代入整理得：x23x40 解之得 x14，x21（舍） 所以此三角形三边长为 4，5，6 评述：评述：此题所求为边长，故需利用正、余弦定理向边转化，从而建立关于边长的方程。 例例 3. 已知三角形的一个角为 60，面积为 10c2，周长为 20c，求此三角形的各3 边长。 分析：分析：此题所给的题设条件除一个角外，面积、周长都不是构成三角形的基本元素， 但是都与三角形的边长有关系，故可以设出边长，利用所给条件建立方程

5、，这样由于边长 为三个未知数，所以需寻求三个方程，其一可利用余弦定理由三边表示已知 60角的余弦， 其二可用面积公式ABCabsinC 表示面积，其三是周长条件应用。 2 1 解：解：设三角形的三边长分别为 a、b、c，B60，则依题意得 20 31060sin 2 1 2 60cos 222 cba ac ac bca 40 20 222 ac accab cba 由式得：b220（ac） 2400a2c22ac40（ac） 将代入得 4003ac40（ac）0 再将代入得 ac13 由 b17，b27 5 8 8 5 40 13 2 2 1 1 c a c a ac ca 或解得 所以，此

6、三角形三边长分别为 5cm，7 cm，8 cm 评述：评述：（1）在方程建立的过程中，应注意由余弦定理可以建立方程，也要注意含有正 弦形式的面积公式的应用。 （2）由条件得到的是一个三元二次方程组，要注意体会其求解的方法和思路，以提高 自己的解方程及运算能力。 2. 正、余弦定理的应用 解三角形的知识在测量、航海、几何、物理学等方面都有非常广泛的应用，如果我们 抽去每个应用题中与生产生活实际所联系的外壳，就暴露出解三角形问题的本质，这就要 提高分析问题和解决问题的能力及化实际问题为抽象的数学问题的能力。下面，我们将举 例来说明解斜三角形在实际中的一些应用。 例例 4. 用同样高度的两个测角仪

7、AB 和 CD 同时望见气球 E 在它们的正西方向的上空，分 别测得气球的仰角是和，已知 B、D 间的距离为 a，测角仪的高度是 b，求气球的高度。 解：解：在ACE 中，ACBDa，ACE，AEC，根据正弦定理，得a AE )sin( sin a 在 RtAEG 中，EGAEsin )sin( sinsin a EFEGbb )sin( sinsin a 答：答：气球的高度是b )sin( sinsin a 评述：评述：此题虽为解三角形问题的简单应用，但关键是把未知边所处的三角形找到，在 转换过程中应注意“仰角”这一概念的意义，并排除题目中非数学因素的干扰，将数量关 系从题目中准确地提炼出来

8、。 例例 5. 某渔船在航行中不幸遇险，发出求救信号，我海军舰艇在 A 处获悉后，立即测出 该渔船在方位角为 45、距离 A 为 10 海里的 C 处，并测得渔船正沿方位角为 105的方 向，以 9 海里的速度向某小岛 B 靠拢，我海军舰艇立即以 21 海里的速度前去营 救，试问舰艇应按照怎样的航向前进?并求出靠近渔船所用的时间。 分析：分析：设舰艇从 A 处靠近渔船所用的时间为 xh，则利用余弦定理建立方程来解决较好， 因为如图中的1，2 可以求出，而 AC 已知，BC、AB 均可用 x 表示，故可看成是一个 已知两边夹角求第三边的问题。 解：解：设舰艇从 A 处靠近渔船所用的时间为 xh

9、则 AB21x 海里，BC9x 海里，AC10 海里 ACB1245（180105）120 根据余弦定理，可得 AB2AC2BC22ACBCcos120 得（21x）2102（9x）22109xcos120，即 36x29x2100 解得 x1，x2 （舍去） 3 2 12 5 AB21x14，BC9x6 再由余弦定理可得 cosBAC,9286 . 0 10142 61014 2 222222 ACAB BCACAB BAC2147，4521476647 所以舰艇方位角为 6647，小时即 40 分钟。 3 2 答：舰艇应以 6647的方位角方向航行，靠近渔船则需要 40 分钟。 评述：评述

10、：解好本题需明确“方位角”这一概念，方位角是指由正北方向顺时针旋转到目 标方向线的水平角，其范围是（0，360） 。 【模拟试题模拟试题】 （答题时间：20 分钟） 1、如图，为了测量河对岸 A、B 两点间的距离，在这一岸定一基线 CD，现已测出 CDa 和ACD，BCD，BDC，ADC，试求 AB 的长。 2、如图，是曲柄连杆机的示意图。当曲柄 CB0绕 C 点旋转时，通过连杆 AB 的传递，活 塞作直线往复运动。当曲柄在 CB0位置时，曲柄和连杆成一条直线，连杆的端点 A 在 A0处。 设连杆 AB 长为 340mm，曲柄 CB 长为 85mm，曲柄自 CB0按顺时针方向旋转 80，求活

11、塞移动的距离（即连杆的端点 A 移动的距离 A0A） （精确到 1mm） 。 3、如图，在海岸 A 处发现北偏东 45方向，距 A 处（1）海里的 B 处有一艘走私3 船。在 A 处北偏西 75方向，距 A 处 2 海里的 C 处的我方缉私船，奉命以 10海里3 时的速度追截走私船，此时走私船正以 10 海里时的速度，从 B 处向北偏东 30方向逃 窜。问：缉私船沿什么方向行驶才能最快截获走私船?并求出所需时间。 4、在ABC 中，AB5，AC3，D 为 BC 中点，且 AD4，求 BC 边长。 试题答案试题答案 1、解：在ACD 中，已知 CDa，ACD，ADC，由正弦定理得 AC )sin

12、( sin )(180sin sin aa 在BCD 中，由正弦定理得 BC )sin( sin )(180sin sin aa 在ABC 中，已经求得 AC 和 BC，又因为ACB，所以用余弦定理,就可以 求得 AB)cos(2 22 BCACBCAC 2、解：在ABC 中，由正弦定理可得 sinA.2462 . 0 340 80sin85sin AB CBC 因为 BCAB，所以 A 为锐角，得 A1415 B180（AC）180（141580）8545 由正弦定理，可得 AC. 3 . 344 9848 . 0 5485sin340 sin sin mm C BAB 因此，A0AA0CA

13、C（ABBC）AC（34085）344.380.781（） 答：活塞移动的距离约为 81mm 3、解：设缉私船应沿 CD 方向行驶 t 小时，才能最快截获（在 D 点）走私船 则 CD10t 海里，BD10t 海里3 BC2AB2AC22ABACcosA （1）2222（1）2cos120633 BC6 2 2 6 120sin2sin sin sinsin BC AAC ABC ABC AC A BC ABC45，B 点在 C 点的正东方向上 CBD9030120 , 2 1 310 120sin10sin sin sinsin t t CD CBDBD BCD CBD CD BCD BD BCD30,DCE903060 由CBD120，BCD30 得D30 BDBC，即 10t6 t（小时）15（分钟） 10 6 答：缉私船沿北偏东 60的方向行驶，才能最快截获走私船，需时约 15 分钟。 4、解：设 BC 边为 x，则由 D 为 BC 中点，可得