高二数学高三新课：离散型随机变量的分布列（理）人教版知识精讲（通用）

1、高二数学高三新课：离散型随机变量的分布列（理）高二数学高三新课：离散型随机变量的分布列（理）人教版人教版 【本讲教育信息本讲教育信息】 一. 教学内容： 高三新课：离散型随机变量的分布列 二. 教学重、难点： 1. 随机变量： （1）定义 （2）离散型随机变量 2. 离散型随机变量的分布列 （1）概率分布列及性质 （2）二项分布 （3）几何分布 【典型例题典型例题】 例 1 一袋中装有 5 只球，编号为 1，2，3，4，5，在袋中同时取 3 只，以表示取出的 三只球中的最小号码，写出随机变量的分布列。 解：解：随机变量的可能取值为 1，2，3 当时，即取出的 3 只球中最小号码为 1，则其他

2、2 只球只能在编号为1 2，3，4，5 的 4 只球中任取 2 只，故有；当时，即取出的) 1(P 5 3 10 6 3 5 2 4 C C 2 3 只球中最小号码为 2，则其他 2 只球只能在编号为 3，4，5 的 3 只球中任取 2 只，故有 ；当时，即取出的 3 只球中最小号码为 3，则其他 2 只球只能 10 3 )2( 3 5 2 3 C C P3 在编号为 4，5 的 2 只球中任取 2 只，故有，因此，的分布列如表 10 1 )3( 3 5 2 2 C C P 所示。 123 P 5 3 10 3 10 1 例 2 从一批有 13 个正品和 2 个次品的产品中任意取 3 个，求抽

3、得的次品数的分布列， 并求。) 2 5 2 1 (P 解：解：由题意可知只能取整数，从而)2() 1() 2 5 2 1 (PPP 的一切可能取值为 0，1，2 ， 35 22 )0( 3 15 3 13 C C P 35 12 ) 1( 3 15 2 13 1 2 C CC P 35 1 )2( 3 15 1 13 2 2 C CC P 所以的分布列为 012 P 35 22 35 12 35 1 35 13 )2() 1() 2 5 2 1 (PPP 例 3 若离散型随机变量的分布列为 01 P cc 2 9c83 试求出常数。c 解：解：由性质可知，均应不小于 0 不大于 1，且它们的和

4、为 1。)0(P) 1(P 由离散型随机变量分布列的基本性质知 1830 190 1839 2 2 c cc ccc 解得常数，即的分布列为 3 1 c 01 P 3 2 3 1 例 4 已知随机变量的分布列如下表所示： 210123 P 12 1 4 1 3 1 12 1 6 1 12 1 分别求出随机变量的分布列 2 21 , 2 解：解：由于对于不同的有不同的取值，所以。 2 1 2 3 , 1 , 2 1 , 0 , 2 1 , 1 1 所以。以此类推可得的分布列如下表所示。 12 1 )2() 1( 1 PP 1 1 1 2 1 0 2 1 1 2 3 P 12 1 4 1 3 1

5、12 1 6 1 12 1 对于的不同取值，所以 2 2 9 , 0 , 1 , 4 2 3 1 )0()0( 2 PP ， 3 1 ) 1() 1() 1( 2 PPP ，所以 4 1 )2()2()4( 2 PPP) 3()9( 2 PP 12 1 的分布列如下表所示。 2 2 0149 P 3 1 3 1 4 1 12 1 例 5 数字 1，2，3，4 任意排成一排，如果数字恰好出现在第个位置上，则称有一kk 个巧合，求巧合数的分布列。 解：解：时，没有巧合，若 1234 为四个数都巧合，则没有一个巧合的情况有0 以下几种： 314 143 341 2 124 214 241 3 123

6、 213 321 4 所以；时，只有一个巧合，； 8 3 24 99 )0( 4 4 A P1 4 4 1 4 2 ) 1( A C P 3 1 时，只有 2 个巧合，；时，只有三个巧合，不存在，2 4 11 )2( 4 4 2 4 A C P3 ，时，四个数位置都巧合，所以的分布列为：0)3(P4 24 11 )4( 4 4 A P 01234 P 8 3 3 1 4 1 0 24 1 例 6 某人骑车从家到公司的途中有 5 个路口，假设他在各个路口遇红灯的事件是相互独 立的，且概率都是。 3 1 求：（1）此人在途中遇到红灯的次数的分布列； （2）此人首次遇到红灯或到达目的地而停车时所经过

7、了的路口数的分布列； （3）此人途中至少遇一次红灯的概率。 解：解：（1）由已知，随机变量，所以，) 3 1 , 5( B 243 32 ) 3 2 () 3 1 ()0( 500 5 CP ， 243 80 ) 3 2 () 3 1 () 1( 411 5 CP 243 80 ) 3 2 () 3 1 ()2( 322 5 CP ， 243 40 ) 3 2 () 3 1 ()3( 233 5 CP 243 10 ) 3 2 () 3 1 ()4( 144 5 CP 243 1 ) 3 1 ()5( 55 5 CP 因此，遇到红灯的次数的分布列是 012345 P 243 32 243 80

8、 243 80 243 40 243 10 243 1 （2）代表事件“前个路口为绿灯，第个路口为红灯” ，)4 , 3 , 2 , 1 , 0(kkk1k 代表事件“5 个路口均为绿灯” ，其中，5 3 1 )0(P 9 2 3 1 3 2 ) 1(P ， 2 ) 3 2 ()2(P 27 4 3 1 81 8 3 1 ) 3 2 ()3( 3 P 243 16 3 1 ) 3 2 ()4( 4 P 243 32 ) 3 2 ()5( 5 P 因此，随机变量的分布列是 012345 P 3 1 9 2 27 4 81 8 243 16 243 32 （3）所求概率即 243 211 ) 3

9、2 (1)0(1) 1( 5 PP 例 7 将 3 个小球任意地放入 4 个大的的玻璃杯中去，杯子中球的最多个数记为，求 的分布列。 解：解：依题意可知，杯子中球的最多个数的所有可能值为 1，2，3，当时，对应1 于 4 个杯子中恰有三个杯子各放一球的情形；当时，对应于 4 个杯子中恰有一个杯2 子放两球的情形；当时，对应于 4 个杯子恰有一个杯子放三个球的情形。3 当时，；1 8 3 4 )( 3 3 4 A P 当时，；2 16 9 4 )( 3 1 3 1 4 2 3 CCC P 当时，3 16 1 4 )( 3 1 4 C P 依上可得的分布列为 123 P 8 3 16 9 16 1

10、 例 8 在一次购物抽奖活动中，假设某 10 张券中有一等奖券 1 张，可获价值 50 元的奖品； 有二等奖券 3 张，每张可获价值 10 元的奖品；其余 6 张没有奖。某顾客从此 10 张券中任 抽 2 张，求： （1）该顾客中奖的概率；（2）该顾客获得的奖品总价值（元）的概率分布列。 解：解：（1），即该顾客中奖的概率为。 3 2 45 15 11 2 10 2 6 C C p 3 2 （2）的所有可能值为：0，10，20，50，60（元） 且， 3 1 )0( 2 10 2 6 C C P 5 2 )10( 2 10 1 6 1 3 C CC P 15 1 )20( 2 10 2 3 C

11、 C P ， 15 2 )50( 2 10 1 6 1 1 C CC P 15 1 )60( 2 10 1 3 1 1 C CC P 故有分布列： 010205060 P 3 1 5 2 15 1 15 2 15 1 【模拟试题模拟试题】 一. 选择题 1. 投掷一枚质地均匀的硬币若干次，随机变量为（ ） A. 出现正面的次数B. 出现正面或反面的次数 C. 掷硬币的次数D. 出现正、反面次数之和 2. 下面给出了三个随机变量：某传呼台 1min 内接到呼叫次数；某森林树木的高度在 这一范围变化，测得某一树木的高度；某人射击一次击中的环数，其中，离散50, 0( 型随机变量有（ ） A. 0B

12、. 1C. 2D. 3 3. 设随机变量的概率分布如表所示： 012 Pa 3 1 6 1 ，则当的范围是时，等于（ ）)()(xPxFx)2 , 1 )(xF A. B. C. D. 3 1 6 1 2 1 6 5 4. 已知随机变量的概率分布如下： 12345678910 P 3 2 2 3 2 3 3 2 4 3 2 5 3 2 6 3 2 7 3 2 8 3 2 9 3 2 m 则（ ）)10(P A. B. C. D. 9 3 2 10 3 2 9 3 1 10 3 1 5. 设随机变量，则的值为（ ）) 2 1 , 6( B)3(P A. B. C. D. 16 5 16 3 8

13、5 16 7 6. 随机变量的概率分布规律为，其中 C 是常数， ) 1( )( kk C kP4 , 3 , 2 , 1k 则的值为（ ）) 2 5 2 1 (P A. B. C. D. 3 2 4 3 5 4 6 5 7. 设随机变量等可能取值 1，2，3，如果，那么（ ）n3 . 0)4(P A. B. C. D. 3n4n10n9n 8. 若，其中，则等于（ 1)( 2 xP1)( 1 xP 21 xx )( 21 xxP ） A. B. )1)(1 ()(1 C. D. )1 (1)1 (1 二. 解答题： 1. 已知的分布列如下表所示。求的分布列。12 01234 P 3 1 6

14、1 9 1 12 1 36 11 2. 某小组有 10 台各为 7.5kW 的机床，如果每台机床的使用情况是互相独立的，且每台 机床平均每小时开动 12 分钟，问全部机床用电功率超过的可能性有多大？kW48 3. 从一批有 10 个合格品与 3 个次品的产品中，一件一件地抽取产品，设各个产品被抽 取到的可能性相同。在下列三种情况下，分别求出直到取出合格品为止时所需抽取次数 的分布列。 （1）每次取出的产品都不放回此批产品中； （2）每次取出的产品都立即放回此批产品中，然后再取出一件产品。 试题答案试题答案 一. 1. A 2. C 3. D 4. C 5. A 6. D 7. C 8. B 二

15、. 1. 解：当0，1，2，3，4 时，的可能取值为 1，3，5，7，9，而取这些不同值的 概率分别为 ， 3 1 )0() 112() 1(PPP 6 1 ) 1()312()3(PPP 9 1 )2()512()5(PPP ， 12 1 )3()712()7(PPP ，写成分布列，即为下表所示： 36 11 )4()912()9(PPP 13579 P 3 1 6 1 9 1 12 1 36 11 2. 解：由于每台机床正在工作的概率为，而且每台机床有“工作”与“不工作” 5 1 60 12 两种情况，故每一时刻正在工作的机床台数服从二项分布，即，) 5 1 ,10( B)(kP （0，1

16、，2，10） 。据题意，可供 6 台机床同时工作， kkk C 10 10 ) 5 4 () 5 1 (kkW48 用电超过，即意味着，有 7 台或 7 台以上的机床在工作，这一事件的概率为kW48 377 10 ) 5 4 () 5 1 ()10()9()8()7()7(CPPPPP 88 10 ) 5 1 (C00864 . 0 ) 5 4 () 5 1 () 5 4 () 5 1 () 5 4 ( 01010 10 99 10 2 CC 由上面可以看出，用电超过的可能性是很小的，据此，可以选择适当的供电设kW48 备，做到既保证供电而又合理节约用电。 3. 解： （1）的取值为 1，2，3，4，当=1 时，只取一次就取到合格品，故 P（=1）= ；当=2 时，即第一次取到次品，而第二次取到合格品，故 P（=2） 13 10 =。类似地，有 P（=3），P（=4）= 26 5 12 10 13 3 143 5 11 10 12 2 13 3 。所以的分布列如下表所示： 286 1 10 10 11 1 12 2 13 3 1234 P 13 10 26 5 143 5 286 1 （2）的取值为 1，2，3，。当时，即第一次就取到合格品，故n1 =