数学史研究的对象

1、1. 数学史研究的对象p1数学史研究数学概念、数学方法和数学思想的起源与发展，及其与社会政治、经济和一般文化的联系2. 数学史意义p1(1)促进数学发展，累积性；(2)了解数学；(3)学习数学；(4)了解文明史3. 数学作为一种文化它的特点p4首先，数学以抽象的形式，追求高度精确、可靠的知识。与抽象性相联系的数学的另一个特点是在对宇宙和人类社会的探索中追求最大限度的一般性模式特别是一般性算法的倾向。最后，数学作为一种创造性活动，还具有艺术性的特征，这就是对美的追求。4. 数学史分为哪几个时期p9.数学的起源与早期发展（公元前6世纪前）.初等数学时期（公元前6世纪16世纪）（1） 古代希腊数学（

2、公元前6世纪6世纪）（2） 中世纪东方数学（3世纪15世纪）（3） 欧洲文艺复兴时期（15世纪16世纪）.近代数学时期（或称变量数学建立时期，17世纪18世纪）.现代数学时期（1820现在）（1） 现代数学酝酿时期（18201870）（2） 现代数学形成时期（18701940）（3） 现代数学繁荣时期（或称当代数学时期，1950现在）5. 河谷文明指什么？河谷文明史是哪个地区，流域p16 历史学家往往把兴起于埃及、美索不达米亚、中国和印度等地域的古代文明称为“河谷文明”。埃及（尼罗河）美索不达米亚（底格里斯河与幼发拉底河）中国（黄河与长江）印度（印度河与恒河）6. 数学史上最早的书p17 莱茵

3、德纸草书我们关于古埃及数学的知识，主要依据了两部纸草书莱茵德纸草书和莫斯科纸草书。7. 数学史上最早的数学家-泰勒斯p34现在所知最早的希腊数学家是泰勒斯（约公元前625前547），有第一位数学家和论证几何学鼻祖的美誉。希腊论证数学的另一位祖师是毕达哥拉斯（约公元前580公元前500），相传“哲学”和“数学”是毕达哥拉斯本人所创。8. 毕达哥拉斯学派有什么成就p35毕达哥拉斯学派的主要成就是：几何成就：（1）、勾股定理也称百牛定理；（2）、另一项几何成就是正多面体作图。数概念的成就：（1）、“完美数”、过剩数和不足数：一个数是完美数、过剩数还是不足数，分别视其因数之和等于、大于或小于该数本身而

4、定（6是最小的完美数，下一个完美数是28，等等）；（2）、亲和数:两个整数a和b被称为是亲和数，若a是b的因数之和而b又是a的因数之和（最小的一队亲和数是220和284）；（3）、无理数。9. 雅典时期的希腊数学，三大几何问题（古希腊三大著名几何问题）p41（1）、化圆为方，即作一个与给定的圆面积相等的正方形。 （2）、倍立方体，即求作意立方体，使其体积等于已知立方体的两倍。 （3）、三等分角，即作任意角为三等分。10. 最早发现圆锥曲线-梅内赫莫斯p42柏拉图学派的梅内赫莫斯（约公元前360）为解决立方体问题而发现了圆锥曲线。11. 雅典时期，数学中的演绎化倾向有了实质性的进展，这主要归功于

5、柏拉图、亚里士多德和他们的学派p4512. 欧几里得原本的最大功绩p51欧几里得的原本可以说是数学史上的第一座理论丰碑。它最大的功绩，是在于数学中演绎范式的确立，这种范式要求一门学科中的每个命题必须是在它之前已建立的一些命题的逻辑结论，而所有这样的推理链的共同出发点，是一些基本定义和被认为是不证自明的基本原理公设或公理。这就是后来所谓的公理化思想。13. 阿基米德-最伟大的四大数学之一，阿基米德有哪些数学成就，有哪些数学方法?p53 最伟大的四大数学家：牛顿、欧拉、高斯和阿基米德。数学成就：阿基米德有两本著作是关于应用数学的，即论平面图形的平衡或其重心和论浮体。前者讨论物体的平衡及重心的确定，

6、其中给出了著名的杠杆原理。论浮体则是一部流体静力学著述，其中提出了许多流体静力学定律，特别是著名的“阿基米德原理”（浮力定律）。数学方法：穷竭法、平衡法、间接证法。14. 圆锥曲线论-阿波罗尼奥斯p59亚历山大时期第三位重要的数学家阿波罗尼奥斯（约公元前262前190），他最重要的数学成就是在前人工作的基础上创立了相当完美的圆锥曲线理论，著有圆锥曲线论。15. 中国数学三次发展高潮p68从公元前后至公元14世纪，先后经历了三次发展高潮，即（1）两汉时期；（2）、魏晋南北朝时期；（3）宋元时期，其中宋元时期达到中国古典数学的顶峰。16. 九章算术的主要内容？九章算术其中哪些具有实践意义的？ p7

7、2主要内容：九章算术是中国古典数学最重要的著作。九章算术采用问题集的形式，全书246个问题，分成九章，依次为：方田，粟米，少广，商功，均输，盈不足，方程，勾股。其中所包含的数学成就是丰富和多方面的。实践意义：（1）算术方面（问答术）；（2）代数方面：a、方程术（即消元法，比高斯消元法早2千年）；b、正负术（九章算术在代数方面另一项突出贡献是负数的引进。）；c、开方术（3）几何（方田，商功，勾股）：将几何问题算术化和代数化。17. 周髀算经p70在现存的中国古代数学著作中，周髀算经是最早的一部。 周髀算经作者不详，成书年代据考应不晚于公元前2世纪西汉时期，但书中涉及的数学、天文知识，追溯到西周（

8、公元前11世纪前8世纪）。18. 刘徽的主要数学成就？哪些思想？p79刘徽是公元3世纪魏晋时人，并于公元263年（即景元四年）撰九章算术注。九章算术注包含了刘徽本人的许多创造，完全可以看成是独立的著作，奠定了这位数学家在中国数学史的不朽地位。刘徽数学成就中最突出的是“割圆术”和体积理论。刘徽是中算史上第一位建立可靠的理论来推算圆周率的数学家。数学思想是：“极限思想”。19. 孙子算经与“物不知数”(即不定方程的问题)p90孙子算经作者不详，大约是公元4世纪时世纪的作品，全书3卷，卷上有今天仅存的中国筹算法则的记载。孙子算经最著称于世的是卷下的“物不知数”的问题：“今有物不知其数，三三数之剩二，

9、五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？”现代文献中往往把求解一次同余组的剩余定理称为“中国剩余定理”，或直称“孙子定理”。20. 中国有关数学的佳作（十大算经）p89周髀算经、九章算术、海岛算经、孙子算经、张邱建算经、夏侯阳算经、五曹算经、五经算术、缀术、缉古算经。21. 宋元时期中国最杰出的数学家有哪些？代表作哪些？p91-p103宋元数学最突出的成就之一，高次方程数值求解，是九章算术开方术和开立方术的继承发展。宋元四大家，杨辉、秦九韶、李治、朱世杰。贾 宪：皇帝九章算术细草（已经丢失，主要内容被杨辉著的详解九章算术法）；杨 辉：详解九章算术法，“贾宪三角”或“杨辉三角”；秦九韶：数书九章，

10、正负开方术、中国剩余定理（中国最早）；李 治：首先系统阐述天元术的是李治的（11921279）测圆海镜（1248）和益股演段（1259）；朱世杰：最先获得一般高次内插公式的数学家，著作算术启蒙（1299）和四元玉鉴（1303）。在李治之后，天元术被朱世杰从一个未知数推广到二元、三元及四元高次联立方程组，这就是“四元术”。22. 花拉子米代数学在解方程（代数）里有哪些成就？p115阿拉伯数学的突出成就首先表现在代数方面。花拉子米（约783850）是欧洲数学影响最大的中世纪阿拉伯数学家。著还原与对消计算概要（也称为代数学）。成就：（1）书中用代数方式处理了线性方程组与二次方程，第一次给出了一元二次

11、方程的一般代数解法及几何证明，同时又引进了移项、同类项合并等代数运算等等，这一切为作为“解方程的科学”的代数学开拓了道路。（2）花拉子米还指出，任何二次方程都可以通过“还原”与“对消”的步骤化成他所讨论的六种类型方程。23. 意大利数学家三、四次方程解法的主要思想，虚数什么时候出现的？p127意大利数学家三、四次方程解法的主要思想：解高次方程。虚数：1572年，意大利数学家邦贝利（约15261573）在其所著教科书代数中引进了“虚数”，用以解决三次方程不可约情况，并以dimRq11表示卡尔丹还发现了三次方程的三根之和等于项的系数的相反数，每两根乘积之和等于x项的系数。24. 是谁首先将数学符号

12、系统化的？数学符号系统化首先归功于法国数学家韦达，由于他的符号体系的引入导致代数性质上产生重大变革。25. 是谁证明了代数基本定理？（高斯证明代数基本定理。）26. 对数什么时候出现？p137 苏格兰贵族数学家纳皮尔（15501617）正是在球面天文学的三角学研究中首先发明对数方法。1614年他在题为奇妙的对数定理说明书的小书中，阐述了他的对数方法。27. 解析几何产生的时代背景p138近代数学本质上可以说是变量数学，文艺复兴以来资本主义生产力的发展，对科学技术提出了全新的要求：（1）机械的普及使用引起了对机械运动的研究；（2）世界贸易的高涨促使航海事业的空前发达，而测定船舶位置问题要求准确地

13、研究天体运行的规律；（3）武器的改进刺激了弹道问题的探究，等待。28. 解析几何的基本思想p138 变量数学的第一个里程碑是解析几何的发明。解析几何的基本思想是在平面上引进所谓“坐标”的概念，并借助这种坐标在平面上的点和有序实数对（x，y）之间建立一一对应的关系。每一对实数（x，y）都对应于平面上的一个点；反之，每一点都对应于它的坐标（x，y）。以这种方式可以将一个代数方程f（x，y）=0与平面上一条曲线对应起来，于是几何问题便可归结为代数问题，并反过来通过代数问题的研究发现新的几何问题。29. 解析几何产生的意义：使常量数学进入变量数学30. 微积分的创立p145 解析几何是代数与几何相结合

14、的产物，它将变量引进了数学。使运动与变化的定量表述成为可能，从而为微积分的创立搭起了舞台。 与积分学相比而言，微积分的起源则要晚的多。刺激微分学发展的主要科学问题是求曲线的切线。求瞬时变化率以及求函数的极大极小值等问题。31. 17世纪哪些问题促进微积分的主要代表工作p147（1）瞬时变化率问题，（2）切线问题，（3）函数极大值、极小值问题，（4）积分学的基本问题面积、体积、曲线长、重心和引力计算以下的只需了解： 1、开普勒与旋转体体积：德国天文学家、数学家开普勒（15711630）在1615年发表测量酒桶的新立方体几何论述了求圆锥曲线围绕起所在平面上某直线旋转而成的立体体积的积分法。（定积分

15、） 2、卡瓦列里不可分量原理：意大利数学家卡瓦列里（15981647）在其著作用新方法促进连续不可分量的几何学（1647）中发展了系统的不可分量方法。（面积）3、笛卡儿“圆法”：其在几何学中提出了求切线的所谓“圆法”，本质上是一种代数方法。（切线）4、费马求极大值与极小值的方法5、巴罗“微分三角形”：“微分三角形”也叫“特征三角形”。巴罗是牛顿的老师，是英国剑桥大学第一任“卢卡斯教授”6、沃利斯“无穷算术”：沃利斯（16161703）是在牛顿和莱布尼茨以前，将分析方法引入微积分贡献最大的数学家。著作无穷算术。沃利斯利用他的算术不可分量方法获得了许多成就，其中之一就是讲卡瓦列里的幂函数积分推广到

16、分数幂情形，另一项重要研究室计算四分之一单位圆的面积，并由此的到的无穷乘积表达式。32. 描述巴罗求切线的方法？与现在对比缺陷在哪？p153巴罗求切线的方法：巴罗使用了几何的方法求曲线切线，就是“微分三角形”，也叫“特征三角形”。如右图设有曲线,欲求其上一点p处得切线。巴罗考虑一段“任意小的弧” ,它是由增量QR=e引起的。PQR就是所谓的微分三角形。巴罗认为当这个三角形越来越小时，它与TPM应趋近与相似，故应有,即，因Q、P在曲线上，故应有 在上式中消去一切包含含有e，a的幂或二者乘积的项，从所得的方程中解出，即切线斜率，于是可得到t的值而作出切线。 巴罗的方法实质上是把切线看做当a和e趋于

17、零时割线的极限位置，并利用忽略高阶无限小来取极限缺陷;忽略高阶无限小来取极限。33. 牛顿微积分分为哪四个时期？分别有哪些贡献代表作？对微积分认识的过程是怎么样的？p157牛顿（16421727）于伽利略去世那一年诞生，笛卡儿的几何学和沃利斯的无穷算术对他影响最深四个时期：（1）流数术的建立（1664年秋1667年春），代表作流数简论牛顿对微积分问题的研究始于1664年秋，牛顿首创了小记号表示的无限小且最终趋向于零的增量。1665年11月发明“正流数术”（微分法），次年5月又建立了“反流数术”（积分法）。流数简论是历史上第一篇系统的微积分文献。（2）流数术的发展（1667年春1693），代表作

18、是三篇微积分论文：运用无线多项式方程的分析（简称分析学，完成于1669年）、流数法与无穷级数（简称流数法，完成于1671年）、曲线求积数（简称求积数，完成于1691年）。（3）原理与微积分，代表作自然哲学的数学原理（简称原理，1687年发表），这也是牛顿微积分学说最早的公开表述。原理被爱因斯坦盛赞为“无比辉煌的演绎成就”。（4）对微积分认识的过程：34. 莱布尼茨微积分的发表p166在微积分的创立上，牛顿（发现早）需要与莱布尼茨（发表早）分享荣誉 1684年莱布尼茨发表了他的第一篇微分学论文一种求极大与极小值和求切线的新方法（简称新方法）刊登在教师学报上，这也是数学史上第一篇正式发表的微积分文

19、献。35. 18世纪后半叶新变革最突出的问题p208当时数学家门面临一系列数学发展进程中自身提出的长期悬而未决的问题，其中最突出的是：（1）：高于四次的代数方程的根式求解问题（近世代数）；（2）：欧几里得几何中平行公理的证明问题（非欧几何产生的原因）；（3）：牛顿、莱布尼茨微积分算法的逻辑基础问题(理论完善)。36. 法国柯西的定义，现在的定义是什么？p252柯西长期担任巴黎综合工科学校教授，他有许多著作都是以工科大学讲义形式面世的。在分析方法方面，他写出了一系列著作，其中最有代表的是分析教程（1821）和无限小计算教程概论（1823），它们以严格化为目标，对微积分的基本概念，如变量、函数、极

20、限、连续性、导数、微分、收敛等等都给出了明确的定义。（1）极限：“当同一变量逐次所取的值无限趋向于同一个固定的值，最终使它的值与该定值的差要多小就对小，那么最后这个定值就称为所有其他值的极限”。现在是（2）导数与微分：柯西把导数明确定义为差商 当h无限趋向于零的极限，函数的微分则定义为dy=f(x)dx。以往常常是先取某种形式的微分作为基本概念，而把y=f（x）的导数作为表达式dy=f(x)dx的“微分系统”而引入。现在是作为差商的极限（3）积分：柯西首先指出，在研究积分或原函数的各种性质以前，应先证明它们是存在的。也就是说需要对一大类函数给出积分的一般定义。设函数f(x)在给定区间上连续，并用点x0,x1,x2,xn=x把区间划分为n个子区间，对应于每个这样的划分，构造近似和： 柯西证明这个和数当区间长趋向于零时的极限与划分的方式无关，并把这个极限定义为（x）在区间上的积分。这个定义后来被黎曼直接推广，将每个区间端点用区间内任一点来代替，就得到现在所说的黎曼积分。 现在是 ，在（以上的三个定义式要进行柯西定义与现在定义对比）37. 魏尔斯特拉斯p257德国魏尔斯特拉斯（18151897），在数学史上，魏尔斯特拉斯关于分析严格化的贡献使他获得了“现代分析之父”的称号。38