讲义李委明主讲数量关系名师模块班讲义418439

1、数算第 01 讲直接代入一、题型评述数算试题都是四选一的客观单项选择题，将选项直接代入进行验证，显然是一种准确、高效并且易于操作的重要方法。很多试题，正面求解相当困难，但结合选项来看却相当容易。“答案选项”永远是整个试题的有机组成部分，孤立地看题干而忽略选项是考生答题时最大的误区之一。 二、破题密钥“直接代入法”广泛运用于多位数问题、不定方程问题、同余问题、年龄问题、周期问题、复杂行程问题、和差倍比问题等等。这种方法不仅可以单独使用达到一招制胜的效果， 还可以与其它方法进行结合使用。三、例题精析【例 1】（深圳 2013-47）小王的旅行箱为 3 位数，且三个数字全是非 0 的偶数，而且这个三

2、位数恰好是小王今年年龄的平方数。则小王今年（ ）岁。 A. 17 B. 20 C. 22 D. 34 【例 2】（浙江 2013-50）某市场运来苹果、香蕉、柚子和梨四种水果，其中苹果和柚子共 30 吨，香蕉、柚子和梨共 50 吨。柚子占水果总数的 1/4。一共运来水果多少吨？( ) A. 56 吨 B. 64 吨 C. 80 吨 D. 120 吨 【例 3】(江苏 2013B-91)三位数 A 除以 51，商是 a（a 是正整数），余数是商的一半，则 A 的最大值是 A. 927 B. 928 C. 929 D. 990 【例 4】（山东 2013-62）甲、乙两仓库各放集装箱若干个，第一天

3、从甲仓库移出和乙仓库集装箱总数同样多的集装箱到乙仓库，第二天从乙仓库移出和甲仓库集装箱总数同样多的集装箱到甲仓库，如此循环，则到第四天后，甲、乙两仓库集装箱总数都是 48 个。问甲仓库原来有多少个集装箱？ A. 33 B. 36 C. 60 D. 63 【例 5】（河北 2013-44）一个金鱼缸，现已注满水。有大、中、小三个假山，第一次把小假山沉入水中，第二次把小假山取出，把中假山沉入水中，第三次把中假山取出，把小假山和大假山一起沉入水中。现知道每次从金鱼缸中溢出水量的情况是：第一次是第二次的1/3，第三次是第二次的 2 倍。问三个假山的体积之比是（ ）。 A. 135 B. 149 C.

4、367 D. 678 第 02 讲倍数特性一、题型评述“倍数特性法”是一种特殊的“代入排除法”，也是代入排除法中最重要的内容。这种方法通过正确答案所应该满足的某种倍数特性来直接锁定答案。熟练运用本方法最关键的要点，就是牢牢掌握各种倍数关系的性质和判定方法。二、破题密钥2、4、8 整除及余数判定基本法则 一个数能被 2（或 5）整除，当且仅当其末一位数能被 2（或 5）整除； 一个数能被 4（或 25）整除，当且仅当其末两位数能被 4（或 25）整除； 一个数能被 8（或 125）整除，当且仅当其末三位数能被 8（或 125）整除。3、9 整除及余数判定基本法则 一个数能被 3 整除，当且仅当其

5、各位数字和能被 3 整除；一个数能被 9 整除，当且仅当其各位数字和能被 9 整除。7 整除判定基本法则 一个数是 7 的倍数，当且仅当其末一位的两倍，与剩下的数之差为 7 的倍数；一个数是 7 的倍数，当且仅当其末三位数，与剩下的数之差为 7 的倍数。1.2.3.1.2.1.2.【示例】362 末一位“2”的 2 倍与“36”差“32”不能被 7 整除 362 不能被 7 整除【示例】12047 末三位“047”与“12”差“35”能被 7 整除11 整除判定基本法则 12047 能被 7 整除1.一个数是 11 的倍数，当且仅当其奇数位之和与偶数位之和做的差为 11 的倍数；【示例】739

6、4 奇数位之和“7+916”与偶数位之和“3+47”做的差“16-79”不是11 的倍数7394 不能被 11 整除三、例题精析题型一：直接倍数【例 1】（上海 2011A-61）某人共收集邮票若干张，其中 1/4 是 2007 年以前的国内外发行的邮票，1/8 是 2008 年国内发行的，1/19 是 2009 年国内发行的，此外尚有不足 100 张的国外邮票。则该人共有（）张邮票。A. 87B. 127C. 152D. 239【例 2】（2011 年 424 联考-43）某单位招录了 10 名新员工，按其应聘成绩排名 1 到10，并用 10 个连续的四位自然数依次作为他们的工号。凑巧的是每

7、个人的工号都能被他们的成绩排名整除，问排名第三的员工工号所有数字之和可能是多少?（）A. 9B. 12C. 15D. 18题型二：因子倍数【例 3】（北京 2014-75）甲工厂每天生产的零件数比乙工厂的 1.5 倍还多 40 个，乙工厂每天生产的零件数比甲工厂的一半多 20 个。则两个工厂每天共能生产多少个零件？ A. 400 B. 420 C. 440 D. 460 【例 4】（2012 年 421 联考61）某公司三名销售人员 2011 年的销售业绩如下：甲的销售额是乙和丙销售额的 1.5 倍，甲和乙的销售额是丙的销售额的 5 倍，已知乙的销售额是 56万元，问甲的销售额是：（）A. 1

8、40 万元B. 144 万元C. 98 万元D. 112 万元题型三：比例倍数【例 5】（广州 2013-26）少年宫学习美术、舞蹈和唱歌专业的学生共有 90 人，美术和舞蹈专业的学生比例为 23，舞蹈和唱歌专业的学生比例为 34,则学生人数最多的专业有多少人？ A. 25 B. 30 C. 35 D. 40 【例 6】（2012 年 915 联考49）甲、乙两种商品的价格比是 35，如果它们的价格分别下降 50 元，它们的价格比是 47，这两种商品原来的价格各为（）。A. 300 元 500 元C. 450 元 750 元B. 375 元 625 元D. 525 元 875 元第 03 讲化

9、归为一一、题型评述如果试题当中没有涉及到某个具体量的大小，并且这个具体量的大小并不影响最终结果的时候，我们可以使用“化归为一法”，将这个量设为某一个利于计算的数值，从而简化计算。这种方法又被为“设 1 法”或者“设 1 思想”。我们一般可能在工程问题、混合配比问题、加权平均问题、流水行船问题、往返行程问题、几何问题、经济利润问题、和差倍比问题等等诸多问题当中使用“化归为一法”。二、破题密钥在“化归为一法”中，我们一般都不设之为“1”，而是设之为“其中某些量的公倍数”，从而避免分数，简化计算。三、例题精析【例 1】（重庆 2013-90）甲、乙两个烧杯装有一些盐水，甲杯中盐水的质量是乙杯的 2

10、倍，但甲杯盐水的浓度是乙杯的 1/2，则将两个烧杯中的盐水混合后得到的盐水浓度为甲杯浓度的多少倍？（ ） A. 3/2 B. 4/3 C. 6/5 D. 7/6 核心提示 使用“化归为一法”时，大家最大的困惑是：什么样的量可以随便设，什么样的量不核心提示 若 a : b = m : n (m, n互质) ，则说明 a 占 m 份，是 m 的倍数；b 占 n 份，是 n 的倍数；a+b 占 m+n 份，是 m+n 的倍数；a-b 占 m-n 份，是 m-n 的倍数。 【例 2】（江苏 2013A-33）现需购买三种调料加工成一种新调料，三种调料价格分别为每千克 20 元、30 元、60 元。如果

11、购买这三种调料所花钱一样多，则每千克调料的成本是 A.30 元 B.35 元 C.40 元 D.60 元 【例 3】（河北 2013-48）小王收购了一台旧电视机，然后转手卖出，赚取了 30%的利润。1 个月后，客户要求退货，小王和客户达成协议，以当时交易价格的 90%回收了这台电视机， 后来小王又以最初的收购价格将其卖出。问小王在这台电视机交易中的利润率为（ ）。 A. 13% 【例 4】（B. 17% C. 20% D. 27% 2013-44）甲和乙两家高科技公司合并，持有甲公司 30%股份的陈先生在合并后持有新公司股份的 12%，赵先生拥有甲公司 15%的股份和乙公司 5%的股份，他在

12、合并后的公司中拥有多少比例的股份？（ ） A. 9% B. 10% C. 11% D. 12% 【例 5】（广州 2013-30）某社区服务中心每个月均对居民进行“社区工作满意度”调查。经对比发现，2 月份的居民满意度是 85 分，比 1 月份上升了 20%，3 月份的居民满意度又比2 月份下降了 20%。则 3 月份的居民满意度和 1 月份相比（ ）。 A. 两个月持平 C. 1 月份比 3 月份高 4% B. 3 月份比 1 月份高 4% D. 3 月份比 1 月份低 4% 【例 6】（贵州 201240）某调查队男、女队员的人数比是 32，分别为甲、乙、丙三个调查小组。已知甲、乙、丙三组

13、的人数比是 1087，甲组中男、女队员的人数比是 31，乙组中男、女队员的人数比是 53，则丙组中男、女队员的人数比是（）。A. 49B. 59C. 47D. 57行？总的来说，当某类量的大小在题目中无关重要时，便可以随便设为一个方便计算的数字， 这样的量一般需要满足两个条件：1. 首先，这类量在题目中没有提及具体数字大小；2. 其次，这类量也不能通过其他有具体数字大小的量计算得到。上面两个条件非常抽象，我举个例子就简单了。譬如在行程问题中，我想假设某人的速度为 1，那么就必须依次满足两个条件：1. 题目中没有提及任何速度的具体数字大小；2. 题目中也没有同时提及路程和时间的具体数字大小，因为

14、知道了这两类量，是可以计算出速度具体大小的。当题目中只有路程或者时间有具体大小时，我们假设一个速度为 1 或者其他数字，就不会影响结果。同理，在经济利润问题中，如果题目中只有单价的具体数字大小，没有件数和总价的具体数字大小，那么我们可以假设某个件数为 1，或者假设总价为 1，但不能同时做这两件事情。第 04 讲比例假设一、题型评述我们在前面的“化归为一法”中学到，当题目中某个未知量不影响最终结果时，为了方便计算，我们可以将其设为某个特殊的值，从而简化计算。然而在有些题目中，虽然我们非常希望假设其中某个量为一个方便计算的数值，但随意假设可能会跟题干当中的某些已知数字矛盾，这时我们就可以使用“比例

15、假设法”。二、破题密钥尽管假设数字可能会与已知条件矛盾，但我们仍然可以假设其为某一个数字，然后看看推出的矛盾双方之间是几倍关系，按比例放大或者缩小即可。三、例题精析【例 1】（广东 20128）某企业为员工定制工作服，请服装公司的裁缝量体裁衣，裁缝每小时为 52 名男员工 35 名女员工量体。几小时后，刚好量完所有的女员工的尺寸，这时还有 24 名男员工没有量体。若男女员工的比例为 11:7，则该企业共有多少名员工？（）A. 720B. 810C. 900D. 1080【例 2】（北京 2012-75）商场销售某种商品的加价幅度为其进货价的 40%，现商场决定将加价幅度降低一半来促销，商品售价

16、比以前降低了 54 元。问该商品原来的售价是多少元？A. 324 B. 270C. 135D. 378【例 3】（上海 2013A-60）某高速公路收费站对过往车辆的收费标准是：大型车 30 元/ 辆、中型车 15 元/辆、小型车 10 元/辆。某天，通过收费站的大型车与中型车的数量比是 5 6，中型车与小型车的数量比是 411，小型车的通行费总数比大型车的多 270 元，这天的收费总额是（A. 7280 元C. 7300 元 ）。B. 7290 元D. 7350 元【例 4】(江苏 2013B-87)甲乙丙三人同去商城购物，甲花的钱的 1/2 等于乙花的钱的1/3，乙花的钱的 3/4 等于丙

17、花的钱的 4/7，结果丙比甲多花 93 元，则三人一共花的钱是（ ）？ A. 432 元 B. 422 元 C. 429 元 D. 430 元 【例 5】（浙江 2013-57）一个总额为 100 万的项目分给甲、乙、丙、丁四个公司共同来完成，甲、乙、丙、丁分到项目额的比例为 1/2:1/3:1/4:1/6，请问甲分到的项目额为多少万 ？( ) A. 35 万 B. 40 万 C. 45 万 D. 50 万 第 05 讲工程问题一、题型评述工程问题研究工作量和工作时间、工作效率之间的关系，是近年来考题中最重要、最常考的重点题型之一。二、破题密钥基础公式：工作量=工作时间工作效率；核心思想：化归

18、为一法（设“1”法）、比例假设法。三、例题精析题型一：基础计算型【例 1】（天津 2013-9）某项工程计划 300 天完工，开工 100 天后，由于施工人员减少，工作效率下降了 20%，问完成该项工程比原计划推迟了多少天？（ ） A. 40 B. 50 C. 60 D. 70 【例 2】（安徽 2011-9）某工厂的一个生产小组，当每个工人都在岗位工作，9 小时可以完成一项生产任务。如果交换工人甲和乙的岗位，其他人不变，可提前 1 小时完成任务；如果交换工人丙和丁的岗位，其他人不变，也可以提前 1 小时完成任务。如果同时交换甲和乙，丙和丁的岗位，其他人不变，可以提前多少小时完成？（）D. 2

19、.6A. 1.4B. 1.8C. 2.2 题型二：同时合作型【例 3】（重庆 2013-99）甲、乙、丙三人共同完成一项工程用了 6 小时，如果甲与乙的效率之比为 12,乙与丙的效率之比为 34，则乙单独完成这项工程需要多少小时？（ ） A. 10 B. 17 C. 24 D. 31 【例4】（山东2013-61）2 台大型收割机和4 台小型收割机在一天内可收完全部小麦3/10， 8 台大型收割机和 10 台小型收割机在一天内可收完全部小麦。如果单独用大型收割机和单独用小型收割机进行比较，要在一天内收完小麦，小型收割机要比大型收割机多用多少台? A. 8 B. 10 C. 18 D. 20 题

20、型三：交替合作型【例 5】（2010 年 425 联考-94）单独完成某项工作，甲需要 16 小时，乙需要 12 小时，如果按照甲、乙、甲、乙的顺序轮流工作，每次 1 小时，那么完成这项工作需要多长时间?（）A. 13 小时 40 分钟B. 13 小时 45 分钟C. 13 小时 50 分钟D. 14 小时核心提示 “交替合作型”工程问题，是最新考查的重点题型，也是考生易错的难点题型。由于合作的“交替性”，不能简单的使用基础公式进行计算，而要注重其工作的“周期性”。 题型四：撤出加入型【例川 2013-60）建筑公司安排 100 名工人去修某条路，工作 2 天后抽调 30 名工人，又工作了 5

21、 天后再抽走 20 名工人，总共用时十二天修完。如果整条路希望在 10 天内修完，且中途不得增减人手，则要安排多少名工人? A. 80 B. 90 C. 100 D. 120 题型五：两项工程型【例 7】（国考 2014-75）甲、乙两个工程队共同完成 A 和 B 两个项目。已知甲队单独完成 A 项目需 13 天，单独完成 B 项目需 7 天；乙队单独完成 A 项目需 11 天，单独完成 B 项目需 9 天。如果两队合作用最短的时间完成两个项目，则最后一天两队需要共同工作多长时间就可以完成任务？（ ） A. 1/12 天 B. 1/9 天 C. 1/7 天 D. 1/6 天 第 06 讲十字交

22、叉一、题型评述“十字交叉法”是数的效果。二、破题密钥算题中一种经典的技巧，对符合使用条件的试题有近乎“秒杀”“十字交叉法”实际上是一种简化方程的形式，凡是符合下图左边方程的形式，都可以用右边的“十字交叉”的形式来简化：A:ar-bA = r - br-bAAa + Bb = ( A + B)r r=Ba - rBa-rB:ba-r很多考生疑惑哪种题型可以使用十字交叉法，并且不知道得到的比例是哪两个量的比例， 这时，可以列出上面形式的式子来判断。当然这是平时就要积累的，如果考场之上无法判断 的话，就不建议使用这种方法，直接列方程更快更准确。三、例题精析【例 1】（山东 2013-60）某单位共有

23、职工 72 人,年底考核平均分数为 85 分,根据考核分数,90 分以上的职工评为优秀职工，已知优秀职工的平均分数为 92 分，其他职工的平均分数是 80 分，问优秀职工的人数是多少？ A. 12 B. 24 C. 30 D. 42 核心提示 当我们使用“十字交叉法”的时候，有一点技巧非常重要，那就是当我们计算得到比例之后，应该如何算得最后的实际数值。譬如上例中，我们得到比例为 5：7，然后就需要跟原题中的实际数字去对照：如果原【例 2】(甘肃 2013-26)甲、乙两种商品原来的单价和为 100 元，因市场变化，甲商品降价 10%，乙商品提价 40%，调价后两种商品的单价和比原来的单价和提高

24、 20%，则乙商品提价后为多少元？（ ） A. 40 B. 60 C. 36 D. 84 【例 3】（江苏 2013B-90）有 100 克溶液，第一次加入 20 克水，溶液的浓度变成 50%；第二次再加入 80 克浓度为 40%的同种溶液，则溶液的浓度变为？（ ） A.45% B.47% C.48% D.46% 【例 4】（上海 2013A-63）某养鸡场计划购买甲、乙两种小鸡苗共 2000 只进行饲养，已知甲种小鸡苗每只 2 元，乙种小鸡苗每只 3 元。相关资料表明：甲、乙两种小鸡苗的分别为 94%和 99%。若要使这批小鸡苗的不低于 96%，且买小鸡苗的总费用最小，则应选购甲、乙两种小鸡

25、苗各有（A. 500 只、1500 只C. 1100 只、900 只 ）。B. 800 只、1200 只D. 1200 只、800 只【例 5】（国考 2014-64）烧杯中装了 100 克浓度为 10%的盐水。每次向该烧杯中加入不超过 14 克浓度为 50%的盐水，问最少加多少次之后，烧杯中的盐水浓度能达到 25%？（假设烧杯中盐水不会溢出）（ C. 4 ）。 D. 3 A. 6 B. 5 第 07 讲思维一、题型评述“思维”是我们日常生活、学习和工作当中普遍运用的思维方式，也是近年来考题的一大热点内容，大量相关考题出现在近年的试卷当中，各位考生务必对此引起足够的重视。二、破题密钥当试题当中

26、出现了“至多”、“至少”、“最多”、“最少”、“最大”、“最小”、“最快”、“最慢”、“最高”、“最构造出满足题意要求的最三、例题精析字样时，我们通常需要考虑“的情形，所以从本质上来讲思维法”。我们需要分析题意，思维也是一种“构造设定法”。【例 1】（江苏 2013A-27）5 名学生参加某学科竞赛，共得 91 分，已知每人得分各不相同，且最高是 21 分，则最低分最低是多少？（ ） A. 14 B. 16 C. 13 D. 15 题中告诉我们优秀员工是 15 个，正好是 5 的 3 倍，那么就把 5:7 这个比例的分子、分母同时乘以 3，得到 15：21；如果原题中告诉我们其他员工是 56

27、个，正好是 7 的 8 倍，那么就把 5：7 这个比例的分子、分母同时乘以 8，得到 40：56；而事实上，原题给的是这两者之和为 72，5：7 这个比例分子、分母之和为 12，是 72 的六分之一，所以应该把 5：7 这个比例的分子、分母同时乘以 6，得到 30：42，两个数字分别就是这两个部分的实际数字。【例 2】（国考 2014-65）某连锁企业在 10 个城市共有 100 家专卖店，每个城市的专卖店数量都不同。如果专卖店数量排名第 5 多的城市有 12 家专卖店，那么专卖店数量排名最后的城市，最多有几家专卖店？（ ） C. 4 A. 2 B. 3 D. 5 【例 3】（河北 20124

28、2）要把 21 棵桃树栽到街心公园里 5 处面积不同的草坪上，如果要求每块草坪必须有树且所栽棵数要依据面积大小各不相同，面积最大的草坪上至少要栽几棵?（）A. 7B. 8C. 10D. 11【例 4】（春季联考 2013-46）60 名员工投票从甲、乙、丙三人中评选最佳员工，选举时每人只能投票选举一人，得票最多的人当选。中途累计，前 30 张选票中，甲得 15票，乙得 10 票，丙得 5 票。问在尚未统计的选票中，甲至少再得多少票就一定当选？（ ） A. 15 B. 13 C. 10 D. 8 【例 5】（浙江 2012-58）一个班里有 30 名学生，有 12 人会跳拉丁舞，有 8 人会跳肚

29、皮舞，有 10 人会跳芭蕾舞。问至多有几人会跳两种舞蹈？A.12 人B.14 人C.15 人D.16 人【例 6】（深圳 2013-46）一小偷藏匿于某商场，三名保安甲、乙、丙分头行动搜查商场的 100 家商铺。已知甲检查过 80 家，乙检查过 70 家，丙检查过 60 家，则三人都检查过的商铺至少有（ ）家。 A. 5 B. 10 C. 20 D. 30 第 08 讲基本方程一、题型评述方程与方程组，是解答文字应用题的重要工具。尽管数算的很多试题不需要也不应该使用方程的方法来解答，因为那样可能会耗去大量的精力，但仍然有着相当一大部分问题，采用方程法才是最简单的。如果论及数无愧。二、破题密钥算

30、“第一重要的方法”，“方程法”当之数算的大部分题型，都可以使用“方程法”来解答。其中，“盈亏问题”、“鸡兔同笼问题”、“和差倍比问题”和“牛吃草问题”一般都应该使用“方程法”；除此之外，“经济利润问题”、“浓度问题”、“年龄问题”、“行程问题”、“等差数列”、“平均数问题”、“容斥问题”、“工程问题”等等题型当中的相当一部分试题也需要利用方程来求解。三、例题精析题型一：巧设未知数 核心提示 【例 1】甲、乙、丙、丁共有 48 本书，若在他们原有基础上做如下变动：甲增加 3 本，乙减少 3 本，丙增加到原来的 3 倍，丁减少为原来的 1/3，此时四人的书一样多，则原有书本最多的人有（ ）本书。A

31、.18 B.24C.27D.36【例 2】（北京 2013-80）某服装如果降价 200 元之后再打 8 折出售，则每件亏 50 元。如果直接按 6 折出售，则不赚不亏。如果销售该服装想要获得 100%的利润，需要在原价的基础上加价多少元？（ ） A. 90 B. 110 C. 130 D. 150 【例 3】（上海 2013A-58）某公司针对 A、B、C 三种岗位招聘了 35 人，其中只能胜任 B 岗位的人数等于只能胜任C 岗位人数的 2 倍，而只能胜任 A 岗位的人数比能兼职别的岗位的人多 1 人，在只能胜任一个岗位的人群中，有一半不能胜任 A 岗位，则招聘的 35 人中能兼职别的岗位的

32、有（ ）。 A. 10 人 B. 11 人 C. 12 人 D. 13 人 题型二：快速解方程 【例 4】（上海 2012A-64）某农场有一批大米需运往市中心的超市销售，现只租到一辆货运卡车，第一次运走了总数的五分之一还多 60 袋，第二次运走了总数的四分之一少 60袋，最后还剩 220 袋没有运走，则这批大米一共有 袋。 A400 B450 C500 D640 【例 5】（国考 2014-66）某单位原有 45 名职工，从下级单位调入 5 名党员职工后，该核心提示 当方程出现比例形式的时候，可能可以通过下面的转换进行简化：1. a = c a = c = a + c = a - c （当两

33、个分子或两个分母的和或差为常数时）bdbdb + db - d2. a = c a d a=c （当一个分数的分子、分母之和或差为常bddb ad c数时）核心提示 同样列出方程，有考生可以很快解得答案，有考生看着方程就头痛，求解方程（组） 本身就有很多的技巧，包括但不限于：1. 当方程中因为有小数或分数而计算复杂时，应首先考虑两边乘以一个数以化为整数；2. 方程组中若存在多个未知数，尽量消去无关未知数，保留我们关心的未知数；3. 方程组中有一些无关的未知数，完全可以作为整体直接消去；4. 比例型的方程形式，可以有很好的化简方法。设未知数的时候，应该首先考虑未知数设出来要便于理解，便于表示其它

34、量，便于列出方程。在某些情况下，不一定要直接设所求量，也可以设中间量为 x，还可以设某种倍数关系（如 12x、5x 等）的未知数，以消除方程当中的分数形式。单位的党员人数占总人数的比重上升了 6 个百分点。如果该单位又有 2 名职工，那么该单位A. 50% 员人数占总人数的比重为多少？（ ） B. 40% C. 70% D. 60% 第 09 讲不定方程一、题型评述在我们的解题过程中，经常会遇到含有 1 个未知数的方程，也可能遇到含有 2 个未知数2 个方程的方程组，或者 3 个未知数 3 个方程的方程组，这些方程或者方程组一般都有确定的解。然而，我们还可能遇到 2 个未知数只有 1 个方程等

35、式，或者 3 个未知数只有 2 个方程等式等等，我们把这样的形式称为“不定方程”或者“不定方程组”，这种题型的考察能够突出体现应试者的对数字把控的逻辑素质，因此成为最新考题的一大热点。二、破题密钥多元不定方程组：特值代入法； 二元不定方程：代入试值法。三、例题精析 题型一：多元不定方程组 【例 1】（深圳 2011-11）小刚买了 3 支钢笔，1 个笔记本，2 瓶墨水花去 35 元钱，小强在同一家店买同样的 5 支钢笔，1 个笔记本，3 瓶墨水花去 52 元钱，则买 1 支钢笔，1 个笔记本，1 瓶墨水共需（）元。 A.9 B.12 C.15 D.18 【例 2】（江苏 2013A-26）一项

36、工程，甲、乙合作 12 天完成，乙、丙合作 9 天，丙、丁合作 12 天完成。如果甲、丁合作，则完成这项工程需要的天数是？ A. 16 B. 18 C. 24 D. 26 【例 3】某工程，甲队单独做所需天数是乙、丙两队合作天数的 a 倍，乙队单独所需天数是甲、丙两队合作天数的 b 倍，丙队单独做所需天数是甲、乙两队合作天数的 c 倍，则111+的 值 是 （ ）。 a +1b +1c +1A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 题型二：二元不定方程 核心提示 核心提示 在方程组中，方程的个数如果少于未知数的个数，并且没有譬如“整数”之类的限制， 说明未知数是不能完全确定下来的。在这种情形下，

37、我们一般可以直接设定一种最特殊的情况（譬如假设其中 1 个未知数为 0），从而简化计算过程。 【例 4】（山东 2013-54）某单位向希望工程捐款，其中部门领导每人捐 50 元，普通员工每人捐 20 元，该单位所有人员共捐款 320 元，已知该单位总人数超过 10 人，问该单位可能有几名部门领导？（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【例 5】（国考 2014-73）小王、小李、小张和小周 4 人共为某希望小学捐赠了 25 个书包，按照数量多少的顺序分别是小王、小李、小张、小周。已知小王捐赠的书包数量是小李和小张捐赠书包的数量之和；小李捐赠的书包数量是小张和小周捐赠的书包数量之和。

38、问小王捐赠了多少个书包？（ ） A. 9 B. 10 C. 11 D. 12 【例 6】（北京 2014-81）小张购买了 2 个苹果、3 根香蕉、4 个面包和 5 块蛋糕，共消费 58 元。如果四种商品的单价都是正整数且各不相同，则每块蛋糕的价格最高可能为多少元？ A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 第 10 讲容斥原理一、题型评述“容斥原理”是一种历年常考的题型，出现频率高，题目难度中等，是广大考生得分的重点。二、破题密钥本节讲述的“容斥原理”一共有五种小题型，分别用五种不同的思路来解答，所以首先要懂得题型的区分，这样才能选用到最合适的方法。对于“两集合容斥原理”：1.如果题目涉及的是

39、这样五个量满足条件 A 的数目满足条件 B 的数目同时满足条件 A 和 B 的数目条件A、B 都不满足的数目总数，那么选用“两集合标准型”的标准公式作答；如果题目涉及“只满足条件 A 的数目”或者“只满足条件 B 的数目”，那么标准公式无法解答，一般选用“两集合图示标数”来完成答题。2.对于“三集合容斥原理”：1.关于满足两个条件的描述，如果题目只涉及满足条件 A、B 的数目满足条件B、C 的数目满足条件 C、A 的数目，一般选用“三集合标准型”的标准公式作答； 如果题目涉及“只满足条件 A、B 的数目”，一般选用“三集合图示标数”来作答；2.如果两个未知数只有一个方程关系（或者是方程组化成这

40、种形式），这两个未知数是不能完成确定下来的。但如果这些未知数被限定在“正整数”范围内，我们便可以利用整数的倍数关系和大小范围进行代入试值，利用类似“枚举”的办法确定唯一满足题目要求的解。上一题型“多元不定方程组”与本题型“二元不定方程”的区别在于：前者方程的具体解是不唯一、不确定的，但不论是哪种解，题目所求的数字是确定的；后者直接从方程来看解也是不确定的，但加上“正整数”类似的条件后，其解就唯一确定了。3.如果题目涉及“满足一个条件的数目”和“满足两个条件的数目”，只给了我们一个总数而不是分项的数字，一般选用“三集合整体重复型”的公式来作答。三、例题精析题型一：两集合标准型 【例 1】（浙江

41、2013-54）某班对 50 名学生进行体检，有 20 人近视，12 人超重，4 人既近视又超重，该班有多少人既不近视又不超重？( ) A. 22 人 B. 24 人 C. 26 人 D. 28 人 【例 2】（天津 2013-12）有 70 名学生参加数学、语文考试，数学考试得 60 分以上的有56 人，语文考试得 60 分以上的有 62 人，都不及格的有 4 人，则两门考试都得 60 分以上的有多少人？（ ） A. 50 B. 51 C. 52 D. 53 题型二：两集合图示标数型 【例 3】（北京 2013-73）一批游客中每人都去了 A、B 两个景点中至少一个。只去了 A 的游客和没去

42、A 的游客数量相当，且两者之和是两个景点都去了的人数的 3 倍。则只去一个景点的人数占游客总人数的比重为（ ） A. 2/3 B. 3/4 C. 4/5 D. 5/6 【例 4】（国考 2014-67）工厂组织职工参加周末公益活动，有 80%的职工报名参加，报名参加周六活动的人数与报名参加周日活动的人数比为 2：1，两天的活动都报名参加的人数为只报名参加周日活动的人数的 50%。问未报名参加活动的人数是只报名参加周六活动的人数的？ A. 20% B. 30% C. 40% D. 50% 题型三：三集合标准型核心公式特别注意：上式左边代表至少满足三个条件之一的情况，也等于总数减去三个条件都不满足

43、的情况。核心公式涉及到两个集合的容斥原理问题时，如果题目提及“只满足某 1 个条件”的数目，那么我们无法通过标准的两集合容斥原理公式得到答案。这时，推荐大家利用简洁的“文氏图”标数得到所求结果。图示标数的关键是：从最中间“两个条件都满足”的数字入手。 核心公式满足条件 I 的个数+满足条件 II 的个数-两者都满足的个数=总个数-两者都不满足的个数 【例 5】（安徽 2011-15）如图所示：A、B、C 分别是面积为 60、170、150 的三张不同形状的卡片，它们部分重叠放在一起盖在桌面上，总共盖住的面积为 280，且 A 与 B、B 与 C、C 与A 重叠部分的面积分别是 22、60、35

44、。问阴影部分的面积是多少？（ ） A.15 B.16 C.17 D.18 【例 6】（2012 年 421 联考54）某公司招聘员工，按规定每人至多可投考两个职位， 结果共 42 人报名，甲、乙、丙三个职位报名人数分别是 22 人、16 人、25 人，其中同时报甲、乙职位的人数为 8 人，同时报甲、丙职位的人数为 6 人，那么同时报乙、丙职位的人数为：A. 7 人B. 8 人C. 5 人D. 6 人题型四：三集合图示标数型 【例 7】外语学校有英语、法语、日语教师共 27 人，其中只能教英语的有 8 人，只能教日语的有 6 人，能教英、日语的有 5 人，能教法、日语的有 3 人，能教英、法语的

45、有 4人，三种都能教的有 2 人，则只能教法语的有多少人（）D.7 人A.4 人B.5 人C.6 人题型五：三集合整体重复型 【例 8】（陕西 2013-78）五年级一班共有 55 个学生，在暑假期间都参加了特长培训班， 35 人参加书法班，28 人参加美术班，31 人参加舞蹈班，其中以上三种特长培训班都参加的有 6 人，则有（ ）人只参加了一种特长培训班。 A.45 B.33 C.29 D.22 【例 9】（北京 2014-80）某旅行团共有 48 名游客，都报名参观了三个景点中的至少一个。其中，只参观了一个景点的人数与至少参观了两个景点的人数相同，是参观了三个景点核心公式在三集合的题型中，

46、假设满足三个条件的元素数量分别为BA、B、C，而至少满足三个条件之一的元素的总量为 W。其中： 满足一个条件的元素数量为 x，满足两个条件的元素数量为 y， 满足三个条件的元素数量为 z，根据右图可以得到下面两个等式：W = x + y + z A + B + C = x 1+ y 2 + z 3AC从图中很明显可以看出，x 和 y 都分别包含 3 个部分，是这 3 个部分的总和。因此， 当题目关心的是这样的总和，而不是各个单独部分数值时，往往就应该用这两个公式。核心要点当题目条件不能直接代入标准公式时，我们可以考虑利用图示配合，标数解答。1. 特别注意“满足某条件”和“仅满足某条件”的区分；

47、2. 特别注意有没有“三个条件都不满足”的情形；3. 标数时，注意由中间向外围标记。的人数的 4 倍。则需要为这些游客购买多少张景点门票？ A. 48 B. 72C. 78D. 84 【例 10】（春季联考 2013-42）有 100 人参加运动会的三个比赛项目，每人至少参加一项，其中未参加跳远的有 50 人，未参加跳高的有 60 人，未参加赛跑的有 70 人。问至少有多少人参加了不止一个项目？（ ） A. 7 B. 10 C. 15 D. 20 第 11 讲排列组合一、题型评述毫无疑问，“排列组合”是广大考生最为头疼的难点题型，又是几乎每次都必考的重点题型。能否在这一部分有所突破，是最终能否

48、取得高分的关键。二、破题密钥n!排列公式： Am = n (n -1) (n - 2) (n - m +1)n(n - m)!n (n -1) (n - 2) (n - m +1)n!组合公式： C =m=n(n - m)! m!m (m -1) (m - 2) 1逆向公式：满足条件的情况数总情况数-不满足条件的情况数三、例题精析题型一：基础公式型【例 1】（浙江 2012-54）南阳中学有语文教师 8 名、数学教师 7 名、英语教师 5 名和体育教师 2 名。现要从以上四科教师中各选出 1 名教师去参加培训，问共有几种不同的选法？ A.96 B.124 C.382 D.560 【例 2】（上

49、海 2013A-61）从甲地到乙地每天有直达班车 4 班，从甲地到丙地每天有直达班车 5 班，从丙地到乙地每天有直达班车 3 班，则从甲地到乙地共有（ ）不同的乘车法。 A. 12 种 B. 19 种 C. 32 种 D. 60 种 题型二：分类讨论型【例 3】（秋季联考 2013-34）某单位有职工 15 人，其务人员 9 人。现要从整个单位选出 3 人参加培训，要求其同的选人方法？（ ） 务人员的人数不能少于非业务人员的人数。问有多少种不A. 156 B. 216 C. 240 D. 300 题型三：分步计算型【例 4】（秋季联考 2013-33）某科室共有 8 人，现在需要抽出两个 2

50、人的小组到不同的下级单位检查工作，问共有多少种不同的安排方案？（ ） A. 210 B. 260 C. 420 D. 840 【例 5】（国考 2014-71）一次会议某单位邀请了 10 名专家，该单位预定了 10 个房间， 其中一层 5 间、二层 5 间。已知邀请专家中 4 人要求住二层、3 人要求住一层、其余 3 人住任一层均可。那么要满足他们的住房要求且每人 1 间，有多少种不同的安排方案？（ ） B. 7200 A. 43200 C. 450 D. 75 题型四：逆向计算型【例 6】（天津 2013-13）由 19 组成一个 3 位数，肯定有数字重复的组合有多少种？（ ） A. 220

51、 B. 255 C. 280 D. 225 第 12 讲概率问题一、题型评述概率问题是一类从排列组合衍生出来的新的题型，这种题型基于排列组合，但又有很多自己的特征和知识点，是近年来考试的最新热点题型。二、破题密钥概率满足条件的情况数总的情况数。三、例题精析题型一：基础计算型【例 1】（春季联考 2013-49）某种锁的界面是一组汉字键，只有不重复并且不遗漏地依次按下界面上的汉字才能打开，其中只有一种顺序是正确的。要使得每次对锁进行破解的成功率在万分之一以下，则锁的界面至少要设置多少个汉字键？（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 题型二：分步乘法型【例 2】（北京 2013-74）一个

52、由 4 个数字(0-9 之间的整数)组成的，每连续两位都不相同，问任意猜一个符合该规律的数字组合，猜中的概率为（ ）。 D.1/10000 A.1/5040 B.1/7290 C.1/9000 核心提示分步概率满足条件的每个步骤概率之积。【例 3】（2012 年 915 联考48）甲某打电话时忘记了对方电话号码最后一位数字，但记得这个数字不是“0”。甲某尝试用其他数字代替最后一位数字，恰好第二次尝试成功的概率是（）。A. 1/9B. 1/8C. 1/7D. 2/9题型三：分类加法型【例 4】（2013-57）甲、乙两人进行乒乓球比赛，比赛采取三局两胜制，无论哪一方先胜两局则比赛结束。甲每局获胜

53、的概率为 2/3，乙每局获胜的概率为 1/3。问甲最后取胜的概率是多少？（ ） A.20/27 B.2/3 C.4/9 D.8/27 【例 5】（春季联考 2013-54）某次抽奖活动在三个箱子中均放有红、黄、绿、蓝、紫、橙、白、黑 8 种颜色的球各一个，奖励规则如下：从三个箱子中分别摸出一个球，摸出的 3个球均为红球的得一等奖，摸出的 3 个球中至少有一个绿球的得二等奖，摸出的 3 个球均为彩色球(黑、白除外)的得三等奖。问不中奖的概率是多少?（ ） A. 在 025之间 B. 在 2550之间 C. 在 5075之间 D. 在 75100之间 题型四：逆向计算型 【例 6】（山东 2013-57）桌子中有编号为 1-