一元二次不等式【高三重点复习】.ppt

1、一元二次不等式及其解法,1.会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型； 2.通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的关系； 3.会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图.,1.一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系如表：,判别式,0,=0,0,二次函数 （a0）的图象,一元二次方程 （a0）的根,（a0）的解集,（a0）的解集,或,有两相异实数根 （x1 x2）,有两相等实数根,R,没有实数根,【即时应用】 (1)不等式2x+3-x20的解集是_. (2)设二次不等式ax2+bx+10的解集为 则ab的 值为_. (3)函数 的定义域是_

2、.,2.一元二次不等式 ax2+bx+c0(a0) 的求解过程用程 序框图表示为：,是,是,否,否,R,【即时应用】 思考：上述不等式中若a0时解集的情况又将如何？ 提示：若a0,则一般先将不等式进行转化，使x2的系数转化为 正后再求解,但一定要注意转化过程中不等号的变化，0时 解集为 ,0时解集为x|x1xx2.,一元二次不等式的解法 【方法点睛】 解一元二次不等式的一般步骤 (1)变形，使一端为0且二次项系数大于0； (2)计算相应的判别式； (3)当0时，求出相应的一元二次方程的根； (4)根据对应二次函数的图象，写出不等式的解集. 【提醒】当不等式的系数为字母时，需要对字母进行分类讨论

3、.,【例1】解下列不等式： (1)x2+3x+40 (2)-3x2-2x+80 (3)12x2-axa2(aR),2.含参数的不等式解法： 解含参数的一元二次不等式,要把握好分类讨论的层 次，一般按下面次序进行讨论：(1)根据二次项系数的符号 进行分类，(2)根据根是否存在，即的符号进行分类，(3)在根存在时，根据根的大小进行分类讨论.讨论时对字 母的范围需要做到不重不漏.,【变式备选】解下列不等式： (1)10 x-125x2 (2)(1-ax)21,综上所述，当a=0时，原不等式的解集为 ； 当a0时，原不等式的解集为,一元二次不等式恒成立问题 【方法点睛】 恒成立问题及二次不等式恒成立的

4、条件 (1)解决恒成立问题一定要清楚主元和参数.一般地,已知范围的变量当主元,所求范围的变量就是参数. (2)对于二次不等式恒成立问题,恒大于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上恒在x轴上方,恒小于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上恒在x轴下方.,(3)一元二次不等式恒成立的条件 ax2+bx+c0(a0)恒成立的充要条件是： a0且b2-4ac0(xR). ax2+bx+c0(a0)恒成立的充要条件是：a0且b2-4ac0(xR).,【例2】已知不等式mx2-2x-m+10， (1)若对任意实数x不等式恒成立,求m的取值范围. (2)若对一切m-2,2不等式恒成立,求x的取值范围.

5、 【解题指南】(1)结合二次函数图象对m讨论求解. (2)变换主元将其看成关于m的一元一次不等式,利用其定 义范围-2,2求参数x的取值范围.,【规范解答】(1)不等式mx2-2x-m+10恒成立, 即函数f(x)=mx2-2x-m+1的图象全部在x轴下方. 当m=0时,不等式变为1-2x0，对任意实数x不恒成立,故m0不满足； 当m0时,函数f(x)=mx2-2x-m+1为二次函数,需满足图象开口向下且方程mx2-2x-m+10无解, 即 则m无解. 综上可知不存在这样的m,使不等式恒成立.,(2)设g(m)=(x2-1)m+(1-2x), 当x2-1=0时，即x=1,检验得x=1时符合题意

6、, 当x21时,则其为一个以m为自变量的一次函数,其图象是直线,由题意知该直线当-2m2时在x轴下方, 即,解,得 解,得 由,得 且x1, 综上得x的取值范围为,【反思感悟】解决不等式恒成立问题,通常有两种思路： (1)转化成含有参数的不等式,借助对应函数图象,找到满足题目 要求的条件,构造含参数的不等式(组)，求得参数范围；(2)分离参数，通过求函数的最值，进而确定参数的范围.,【变式训练】已知f(x)=x2-2ax+2(aR),当x-1,+)时,f(x)a恒成立,求a的取值范围.,【解析】方法一：f(x)=(x-a)2+2-a2,此二次函数图象的对称轴为直线x=a. 当a(-,-1)时,

7、f(x)在-1,+)上单调递增,f(x)min=f(-1) =2a+3.要使f(x)a恒成立,只需f(x)mina,即2a+3a, 解得-3a-1. 当a-1,+)时,f(x)min=f(a)=2-a2,要使f(x)a恒成立,只需f(x)mina,即2-a2a,解得-1a1. 综上所述,a的取值范围为-3,1.,方法二：令g(x)=x2-2ax+2-a,由已知得x2-2ax+2-a0在-1,+) 上恒成立,即=4a2-4(2-a)0,即a2+a-20，得-2a1. 或 即 得-3a-2. 综上得-3a1,即实数a的取值范围是-3,1.,一元二次不等式的实际应用 【方法点睛】 解不等式应用题的一

8、般步骤,【例3】汽车在行驶中,由于惯性的作用，刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停住,我们称这段距离为“刹车距离”.刹车距离是分析事故的一个重要因素. 在一个限速为40 km/h的弯道上,甲、乙两辆汽车相向而行，发现情况不对,同时刹车,但还是相碰了.事后现场勘查测得甲车的刹车距离略超过12 m,乙车的刹车距离略超过10 m,又知甲、乙两种车型的刹车距离s(m)与车速x(km/h)之间分别有如下关系：s甲0.1x+0.01x2,s乙=0.05x+0.005x2.问：甲、乙两车有无超速现象？,【解题指南】由题意只需利用刹车距离与车速的关系，与实际刹车距离构建不等关系求解即可.,【规范解答】由题意知

9、,对于甲车,有0.1x+0.01x212,即x2+10 x-1 2000,解得x30,或x-40(不合实际意义,舍去). 这表明甲车的车速超过30 km/h.但根据题意刹车距离略超过 12 m,由此估计甲车车速不会超过限速40 km/h. 对于乙车,有0.05x+0.005x210, 即x2+10 x-2 0000, 解得x40,或x-50(不合实际意义,舍去). 这表明乙车的车速超过40 km/h,超过规定限速.,【反思感悟】不等式应用题多是解决现实生活、生产、科技中的最优化问题,本题即是利用一元二次不等式解决现实生活中常见的交通事故责任调查与取证的问题,其关键是正确确定不等关系.,【变式训

10、练】国家原计划以2 400元/吨的价格收购某种农产品m吨，按规定，农户向国家纳税为：每销售收入100元纳税8元(称税率为8个百分点，即8%).为了减轻农民负担，决定降低税率.根据市场规律，税率降低x(x0)个百分点，收购量能增加2x个百分点.试确定x的范围，使税率调低后，国家此项税收总收入不低于原计划的78%.,【解析】设税率调低后的税收总收入为y元，则 y=2 400m(1+2x%)(8-x)% 由题意知，0x8,要使税收总收入不低于原计划的78%， 有y2 400m8%78%, 整理得x2+42x-880, 解得-44x2,又0x8,0x2, 所以x的取值范围是(0,2.,【变式备选】某产

11、品生产厂家根据以往的生产销售经验得到下面有关销售的统计规律：每生产产品x(百台)，其总成本为G(x)万元，其中固定成本为2万元，并且每生产100台的生产成本为1万元(总成本=固定成本+生产成本)，销售收入R(x)满足 假定该产品产销平衡，那么根据上述统计规律: (1)要使工厂有盈利，产品数量x应控制在什么范围？ (2)工厂生产多少台产品时盈利最大？此时每台产品的售价为多少？,【解析】依题意得G(x)=x+2,设利润函数为f(x),则f(x)=R(x)- G(x)，所以 (1)要使工厂有盈利，则有f(x)0,因为 或 或 或5x8.21x5或5x8.21x8.2. 所以要使工厂盈利，产品数量应控

12、制在大于100台小于820台的 范围内.,(2)0 x5时，f(x)=-0.4(x-4)2+3.6 故当x=4时，f(x)有最大值3.6. 而当x5时，f(x)8.2-5=3.2 所以当工厂生产400台产品时，盈利最大， 又x=4时， (万元/百台) =240(元/台). 故此时每台产品的售价为240元.,【创新探究】一元二次不等式在二元二次方程中的应用 【典例】(2011浙江高考)若实数x、y满足x2+y2+xy1,则x+y的最大值是_. 【解题指南】本例可令x+y=t，利用直线与曲线必有交点,即联立消元后方程必有解可求,亦可利用基本不等式放缩后解不等式求解.,【规范解答】方法一：令x+y=t,则y=t-x，代入x2+y2+xy=1，整理得：x2-tx+t2-1=0, 则方程必有实根，即=t2-4(t2-1)0, 即 解得 故x+y的最大值为,方法二：由x2+y2+xy=1得1=(x+y)2-xy, 即 故 x+y的最大值为 答案：,【阅卷人点拨】通过对本题的深入研究，我们可以得到以下创新点拨与备考建议：,1.(2011广东高考)不等式2x2-x-10的解集是( )