机械振动与机械波习题讨论课

1、机械振动与机械波 习题讨论课,I. 机械振动,一、简谐振动的表达式及确定方法：,然后确定三个特征量： 、A、,旋转矢量法确定：先在X轴上找到相应x0，有两个旋转矢量，由速度的方向正负来确定其中的一个。,二、简谐振动的判定：,分析步骤： 1、找到平衡位置O，建立坐标系； 2、沿X轴正方向移动一小位移x； 3、证明,I. 机械振动,三、简谐振动的能量：,I. 机械振动,势能,总能量,四、简谐振动的合成：,1、同方向、同频率的两个简谐振动的合成：,2、同方向、不同频率的两个简谐振动的合成：,I. 机械振动,五两相互垂直的谐振动的合成 当两分振动的频率相同时，合运动轨迹一般为一椭 圆。其具体形状决定于

2、两分振动的相位差和振幅。 当两分振动的频率不同但为整数比时，其合运动的 轨迹为李萨如图。,六、阻尼振动 阻尼振动的微分方程 弱阻尼时 (其中),I. 机械振动,七、受迫振动 受迫振动的微分方程 其稳定解为与驱动力频率相同的简谐振动。当驱动力的频率等于振动系统的固有频率时发生共振现象。,I. 机械振动,一、机械波的产生及条件：,三、波动表达式及确定方法： 先求出波源的振动方程,依x处的振动与波源比较超前或滞后，写出波函数:,波源及弹性介质,二、描写波的物理量,三者之间的关系,波速、波长和频率,II. 机械波,四、机械波的能量：,II. 机械波,平均能量密度,平均能流密度,相干条件： 频率相同 振

3、动方向相同 相位差恒定,五、机械波的合成：,II. 机械波,六、驻波：,II. 机械波,七、半波损失： 入射波在界面处反射时位相发生突变的现象。,八、反射波表达式的确定：,、先将反射点的坐标代入入射波方程，得到入射波在反射点的振动方程； 、判断入射波在反射过程中有无半波损失，求出反射波在反射点的振动方程； 、写出反射波的标准表达式，将反射点的坐标代入，并与中的振动方程比较，确定其反射波表达式中的初相位即可。,九、多普勒效应：,II. 机械波,一、讨论题,解:(a）,由牛顿第二定律：,a,b,1.如图所示，求a、b两种情况下的振动的圆频率。,解: (b) 由于L1+L2 = x ，且k1L1 =

4、 k2L2 所以m所受的回复力 k1 k2 x,由牛顿第二定律：,2. 图中所画的是两个简谐振动的振动曲线. 若这两个简谐振动可叠加，则合成的余弦振动的初相为,（A）,（B）,3. 一质点作谐振动，周期为T，当它由平衡位置向 x 轴正方向运动时，从二分之一最大位移处到最大位移处这段路程所需要的时间为,（A）T/4 （B）T/12 （C）T/6 （D）T/8,4. 如图所示一向右传播的简谐波在 t = 0 时刻的波形，已知周期为 2 s ，则 P 点处质点的振动速度与时间的关系曲线为：,P,5. 如图所示一向右传播的简谐波在t时刻的波形，BC为波密介质的反射面，则反射波在t时刻的波形图为：,答：

5、（B） P 点两振动反相,6. 一平面简谐波动在弹性介质中传播时，在传播方向上介质中某质元在负的最大位移处，则它的能量是,7.在驻波中，两个相邻波节间各质点的振动,8. 判断下面几种说法,哪些是正确的,那些错的?,(1)机械振动一定能产生机械波;,(2)质点振动的速度是和波的传播速度相等的;,(3)质点振动的周期和波的周期数值是相等的;,(4)波函数式中的坐标原点是一定要选取在波源处.,错,机械振动在弹性介质中传播形成的波,叫机械波,错,对,错,9. 波的干涉的产生条件是什么?若两波源所发出的波的振动方向相同,频率不同,则它们在空间叠加时,加强和减弱是否稳定?,两波的相干条件：,3）恒定的相位

6、差,2）相同的振动方向,两波源具有：,1）相同的频率,频率不同,就不会有恒定的相位差,加强和减弱不会稳定.,补充条件：强度相差不太大,10. 已知如下的三个简谐振动，求合振动.,3. 一质量为M的盘子系于竖直悬挂的轻弹簧下端，弹簧的劲度系数为k。现有一质量为m的物体自离盘h高处自由下落，掉在盘上没有反弹，以物体掉在盘上的瞬时作为计时起点，求盘子的振动表式。(取物体掉入盘子后的平衡位置为坐标原点，竖直向下为x轴正方向。),解：与M碰撞前瞬间，物体m的速度,由动量守恒定律，求得碰撞后的速度,碰撞时，物体m离开平衡位置距离,碰撞后，物体系统作简谐振动，振动角频率,由初始条件，x0=Acos0，0=-

7、Asin0，得,振动表式为,火车的危险速率与轨长,11. 车轮行驶到两铁轨接缝处时，受到一次撞击，使车厢受迫振动 当车速达某一速率时（使撞击频率与车厢固有频率相同）发生激烈颠簸，这一速率即为危险速率,设车厢总负荷为 m = 5.5104 kg，车厢弹簧每受力F = 9.8103 N 被压缩 x = 0.8 mm，铁轨长 L = 12.6 m，求危险速率,已知：m = 5.5104 kg；受力F =9.8103 N；压缩 x = 0.8 mm；铁轨长 L = 12.6 m,解,长轨有利于高速行车，无缝轨能避免受迫振动,解:,(2)绳上的质点振动速度,(3)t=1s和t=2s时的波形方程分别为,波

8、形如图,x=1.0m处质点的运动方程,已知波动方程为,振动图形如图,波形图表示某确定时刻波线上所有质点的位移情况,振动图表示某确定位置的一个质点,其位移随时间变化的情况.,解:,14. 波源作简谐运动,周期为0.02s,若该振动以100m.s-1的速度沿直线传播,设t=0时,波源处的质点经平衡位置向正方向运动,求:(1)距波源15.0m和5.0m处质点的运动方程和初相;(2)距波源分别为16.0m和17.0m的两质点间的相位差.,解:,(1)由题意知:T=0.02s,u=100m.s-1,可得,t=0时,波源处的质点经平衡位置向正方向运动,质点的初相为,设波源为坐标原点,距波源15.0m和5.

9、0m处质点的运动方程为,它们的初相分别为10=-15.5和20=-5.5,(2)距波源16.0m和17.0m的两点间的相位差,0=-/2,解,波函数就是普适性的振动方程.,把x=75.0m代入向x轴正方向传播时波动方程的一般形式与P点的振动方程进行比较,得:,(2)波向x轴负方向传播时的波动方程;,把x=75.0m代入向x轴负方向传播时波动方程的一般形式与P点的振动方程进行比较,得:,17. 图示为平面间谐波在t=0时的波形图,设此简谐波的频率为250Hz,且此时图中点P的运动方向向上.求(1)该波的波动方程;(2)在距原点7.5m处质点的运动方程与t=0时该点的振动速度.,解,确定坐标原点的

10、振动初相0,由图得:,根据t=0点P的运动方向向上,可知波沿Ox轴负向传播.,t=0时位于原点处的质点 将沿oy轴的负方向运动.,(2)在距原点7.5m处质点的运动方程.,t=0时该点的振动速度,18. 平面简谐波以波速u=0.50m.s-1沿x轴负向传播,t=2s时刻的波形如图所示,求原点的运动方程.,解,确定坐标原点的振动初相0,由图得:,根据t=2s原点处质点处于平衡位置且向上运动 =3/2,原点的运动方程,波形平移法,根据t=0原点处质点处于平衡位置且向下运动,解法2,19. 有一波在介质中传播,其波速u=1.0103m.s-1,振幅A= 1.010-4m,频率= 1.0103Hz,若

11、介质的密度为= 8.0102kg.m-3,求:(1)该波的能流密度;(2)1min内垂直通过4.010-4m2的总能量.,解,(1)能流密度I的表达式得,(2)1min内垂直通过4.010-4m2的总能量,20. 如图所示,两振动方向相同的平面简谐波波源分别位于A,B点,设它们相位相同,且频率=30Hz,波速u=0.50m.s-1.求点P处两列波的相位差.,解,点P处两列波的波程差,相位差,21. 如图所示,两相干波源分别在P,Q两点,它们发出频率为,波长为,初相相同的两列相干波,设PQ=3/2,R为PQ连线上的一点.求（1）自P,Q发出的两列波在R处的相位差；（2）两波在R处干涉时的合振幅.,解,R处两列波的相位差,合振幅,解法一 入射波和反射波在 B 点振动同相位（自由端）,反射波在 点振动,反射波波函数,20. 已知弦线上入射波在 x = l 处发生反射，反射点为自由端，若波在传播和反射过程中振幅不变 ，入射波波函数为 ，求反射波波函数.,解法二 入射波和反射波在 B 点振动同相位（自由端）,反射波在O点