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文档简介

1、第 一 章 曲 线 论,1、向量函数 向量函数的极限、连续、微商、积分 2、曲线的概念 曲线、光滑曲线、曲线的切线和法面、自然参数。 3、空间曲线 3、1 空间曲线的密切平面 3、2 空间曲线的基本三棱形 3、3 空间曲线的曲率、挠率和伏雷内公式 3、4 空间曲线在一点邻近的结构 3、5 空间曲线的基本定理 3、6 一般螺线,内 容 提 要,引 言,曲线与曲面的微分几何包括两个方面,其中一方面是随微积分的出现而开始的,这部分可以称为经典的微分几何,粗略地说,经典微分几何是研究曲线与曲面的局部性质的,即仅取决于曲线与曲面在一点邻近的行为的哪些性质。 另一方面是整体微分几何,这部分研究局部性质对整

2、个曲线和曲面的行为的影响。 经典微分几何最有趣和最有代表性的部分是曲面的研究,然而在研究曲面时,自然会出现曲线的某些局部性质,因此我们将在第一章先介绍曲线以及曲线的性质,再在第二章研究曲面。 研究方法:向量分析,张量分析,活动标架法。,向量代数复习,一、向量的概念 1、向量的定义。 2、向量的表示 3、特殊向量(自由向量、单位向量、零向量、逆向量) 4、向量的坐标。,二、向量的运算 (几何意义) 1、加减法: 2、数乘: 3、内积: 4、外积:,5、混合积: 6、二重向量积: 7、Lagrange恒等式 8、模: 方向余弦:,四、运算规律、几个充要条件 1、 2、 3、,三、几种运算的几何意义

3、,第一节 向量函数,向量函数的概念:给出一点集G ,如果对于G 中的每一个点 ,有一 个确定的向量 和它对应,则说在 G上给定了一个向量函数,记作 例如 设G是实数轴上一区间 ,则得一元向量函数 设G是一平面域, ,则得二元向量函数 设G是空间一区域, ,得三元向量函数,1、定义 设 是所给的一元函数, 是常向量,如果对任给的 ,都存在数 ,使得当 时,有 成立,则说当 时,向量函数 趋向于极限 ,记作,1、1 向量函数的极限,2、向量函数的性质,如果 和 是两个一元函数, 是一个实函数,并且 当 时,有 则有,证明(2)由 得 (4) 注意,(1)两向量之和(差)的极限等于极限之和(差)。

4、(2)数乘向量的极限等于极限的乘积。 (3)数量积的极限等于极限的数量积。 (4)向量积的极限等于极限的向量积。,1、2 向量函数的连续性,3、命题2 如果 和 是在点t0连续的向量函数,而 是点 t0连续的实函数,则向量函数 和实数 也都有在t0点连续(把命题中的点t0改为区间t,t0时,命题材也成立)。,2、如果 在闭区间t1,t2的每一点都连续,则称 在区间 t1,t2上是连续的。,1、3 向量函数的微商,1、设 是定义在区间t1,t2上的向量函数,设 ,如 果极限 存在,则称 在t0点是可微分的, 这个极限称为 在 t0 点的微商(或导矢)。 记为,即 如果 在某个开区间的每一点都有微

5、商存在,则说 在此区间内是可微的或简称向量函数 是可微的,它的微商记为,2、命题3 设 分别是可微的向量函数, 是可微 的实函数,则 都是可微函数,并且,3、向量函数 的微商 仍为 t 的一个向量函数,如果函数 也是连续和可微的,则 的微商 称为 的二阶微商。 类似可定义三阶、四阶微商。如,法则3证明,5、 任一向量函数 与三个实函数 一一对应,即有,证明 将 两边点乘 得 由于 是常向量,而 是 类的,所以x(t)是 类函数 同理, 是 类函数。,命题4 如果向量函数 在 上是 类函数,则向量函数 所对的三个实函数 在 上是 类函数。,4、在区间 t1,t2上有直到 k 阶连续微商的函数称为

6、这区间上的 k次 可微函数或 类函数,连续函数也称为 类函数,无限可微的 函数记为 类函数。解析函数记为 类函数。,1、4 向量函数的泰勒公式,2、当 时,我们可以把它展成泰勒级数 3、如果 ,则上述泰勒级数是收敛的。,1、定理 设向量函数 在 上是 类函数,则有泰 勒展开式 其中 时,证明,1、5 向量函数的积分,1、定义 如果向量函数 是可积的,则有,2、命题5 如果向量函数 是区间a,b上的连续函数,则积分 存在,并且 (1)当acb时有 (2)m 是常数时有 (3)如果 是常向量,则有 (4),证明 因为x(t),y(t),z(t)为连续函数,所以在a,b上可积,由它对应 的向量函数也可积,且有,3、命题6 (1) 向量函数 具有固定长的

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