微分几何向量函数讲义与教案.ppt

1、第 一 章 曲 线 论,1、向量函数 向量函数的极限、连续、微商、积分 2、曲线的概念 曲线、光滑曲线、曲线的切线和法面、自然参数。 3、空间曲线 3、1 空间曲线的密切平面 3、2 空间曲线的基本三棱形 3、3 空间曲线的曲率、挠率和伏雷内公式 3、4 空间曲线在一点邻近的结构 3、5 空间曲线的基本定理 3、6 一般螺线,内 容 提 要,引 言,曲线与曲面的微分几何包括两个方面，其中一方面是随微积分的出现而开始的，这部分可以称为经典的微分几何，粗略地说,经典微分几何是研究曲线与曲面的局部性质的，即仅取决于曲线与曲面在一点邻近的行为的哪些性质。 另一方面是整体微分几何，这部分研究局部性质对整

2、个曲线和曲面的行为的影响。 经典微分几何最有趣和最有代表性的部分是曲面的研究，然而在研究曲面时，自然会出现曲线的某些局部性质，因此我们将在第一章先介绍曲线以及曲线的性质，再在第二章研究曲面。 研究方法：向量分析，张量分析，活动标架法。,向量代数复习,一、向量的概念 1、向量的定义。 2、向量的表示 3、特殊向量（自由向量、单位向量、零向量、逆向量） 4、向量的坐标。,二、向量的运算 （几何意义） 1、加减法： 2、数乘： 3、内积： 4、外积：,5、混合积： 6、二重向量积： 7、Lagrange恒等式 8、模： 方向余弦：,四、运算规律、几个充要条件 1、 2、 3、,三、几种运算的几何意义

3、,第一节 向量函数,向量函数的概念：给出一点集G ，如果对于G 中的每一个点 ，有一 个确定的向量 和它对应，则说在 G上给定了一个向量函数，记作 例如 设G是实数轴上一区间 ，则得一元向量函数 设G是一平面域， ，则得二元向量函数 设G是空间一区域， ，得三元向量函数,1、定义 设 是所给的一元函数， 是常向量，如果对任给的 ，都存在数 ，使得当 时,有 成立，则说当 时，向量函数 趋向于极限 ，记作,1、1 向量函数的极限,2、向量函数的性质,如果 和 是两个一元函数， 是一个实函数，并且 当 时，有 则有,证明（2）由 得 (4) 注意,（1）两向量之和（差）的极限等于极限之和（差）。

4、（2）数乘向量的极限等于极限的乘积。 （3）数量积的极限等于极限的数量积。 （4）向量积的极限等于极限的向量积。,1、2 向量函数的连续性,3、命题2 如果 和 是在点t0连续的向量函数，而 是点 t0连续的实函数，则向量函数 和实数 也都有在t0点连续（把命题中的点t0改为区间t,t0时，命题材也成立）。,2、如果 在闭区间t1,t2的每一点都连续，则称 在区间 t1,t2上是连续的。,1、3 向量函数的微商,1、设 是定义在区间t1,t2上的向量函数，设 ，如 果极限 存在，则称 在t0点是可微分的， 这个极限称为 在 t0 点的微商（或导矢）。 记为,即 如果 在某个开区间的每一点都有微

5、商存在，则说 在此区间内是可微的或简称向量函数 是可微的，它的微商记为,2、命题3 设 分别是可微的向量函数， 是可微 的实函数，则 都是可微函数，并且,3、向量函数 的微商 仍为 t 的一个向量函数，如果函数 也是连续和可微的，则 的微商 称为 的二阶微商。 类似可定义三阶、四阶微商。如,法则3证明,5、 任一向量函数 与三个实函数 一一对应，即有,证明 将 两边点乘 得 由于 是常向量，而 是 类的，所以x(t)是 类函数 同理， 是 类函数。,命题4 如果向量函数 在 上是 类函数，则向量函数 所对的三个实函数 在 上是 类函数。,4、在区间 t1,t2上有直到 k 阶连续微商的函数称为

6、这区间上的 k次 可微函数或 类函数，连续函数也称为 类函数，无限可微的 函数记为 类函数。解析函数记为 类函数。,1、4 向量函数的泰勒公式,2、当 时，我们可以把它展成泰勒级数 3、如果 ，则上述泰勒级数是收敛的。,1、定理 设向量函数 在 上是 类函数，则有泰 勒展开式 其中 时,证明,1、5 向量函数的积分,1、定义 如果向量函数 是可积的，则有,2、命题5 如果向量函数 是区间a,b上的连续函数，则积分 存在，并且 （1）当acb时有 （2）m 是常数时有 （3）如果 是常向量，则有 （4）,证明 因为x(t),y(t),z(t)为连续函数，所以在a,b上可积，由它对应 的向量函数也可积，且有,3、命题6 (1) 向量函数 具有固定长的