高数一第一次辅导讲义.ppt

1、高等数学(一)学习辅导 第一部分：内容提要和考试要求 一、 函数、极限与连续 （1）理解函数的概念，理解函数的两个要素：函数的定义域与函数的对应法则 （2）理解函数的奇偶性和单调性，了解函数的有界性和周期性 （3）了解反函数的概念，会求单调函数的反函数 （4）理解和掌握函数的四则运算和复合运算，熟练掌握复合函数的复合过程 （5）掌握基本初等函数的简单性质及其图象，了解初等函数的概念,（6）了解函数极限的直观概念. （7）理解函数在一点处左、右极限的概念，理解函数在一点处极限存在的充分必要条件. （8）熟练掌握用两个重要极限求极限的方法. （9）掌握极限的四则运算法则. （10）理解无穷小量概念

2、，了解无穷大量概念，掌握无穷小量性质.了解无穷小量的阶的概念. （11） 理解函数在一点连续与间断的概念，掌握判断简单函数（含分段函数）在一点连续的方法. （12）了解在闭区间上连续函数的性质 （13）理解初等函数在其定义区间上性质.并会利用函数连续性求极限.,二、 一元函数微分学 （1）理解导数的概念及其几何意义. （2）会求曲线上一点处的切线方程. （3）熟练掌握导数的基本公式、四则运算法则以及复合函数的求导方法. （4）掌握隐函数的求导法. （5）了解高阶导数的概念，会求函数的二阶导数. （6）理解微分的概念.会求函数的一阶微分. （7）熟练掌握用洛必达法则求 、 、 、 、 型未定式的

3、极限方法.,（8）掌握利用导数判定函数的单调性及求函数的单调增、减区间的方法，会利用函数的增减性证明简单的不等式 （9）理解函数极值的概念，掌握求函数的极值、最大值与最小值的方法，并会求解简单的应用问题 （10）会判定曲线的凹凸性，会求曲线的拐点 三、一元函数积分学 （1）理解原函数与不定积分的概念及其关系，掌握不定积分的性质 （2）熟练掌握不定积分的基本公式,(3)理解定积分的概念、基本性质、定积分中值定理 (4)掌握微积分基本定理（即变上限积分定理）和微积 分基本公式（即牛顿-莱布尼兹公式）. (5)运用定积分的换元法和分部积分法计算定积分. (6)运用定积分求平面曲线围成图形的面积和简单

4、 立体的体积.,第二部分：解题方法和典型例题 一、求极限的主要方法 1.利用各极限定理与性质（包括左右极限定理、单调 有界定理、夹逼准则等）. 2.运用四则运算公式与连续性求定式的极限. 3.求未定式的极限，常用如下方法： （1）未定式变形法，即运用初等变形（通分、约分、同乘同除、有理化分母与分子、求数列之和、用恒等式或三角公式变形、换元法、取对数等）化未定式为定式，再求出极限. （2）利用重要极限与常用极限公式，利用等价无穷小求极限.,（3）利用洛必达法则求极限（作为导数的应用）. 例1 求 解：题目含 和 ，需用左、右极限来求. 左极限= 右极限= 所以原极限=1.,例2 求 解 ：题目比

5、较复杂，可用等价无穷小替换变简单. 原式= 例3 设 ，求 解 先证数列 存在极限.易知 当 时，,.假设 时， ，则当 时， ，所以 ， 即 是有界数列. 由于 ，所以 ，从而 ， 则 ，故 是单调增加数列，从而数 列 必定存在极限. 设 ，对等式 两边取极限， 得 ，从而 （ 舍去 ）.,例4 已知 ，求 解因为，所以， 从而 .以 代入原式得 原式= 所以 . 二、一 元函数微分法 1. 要求掌握导数、微分及高阶导数的定义和几何意义.,2.熟练掌握计算导数、导函数、微分及高阶导数的各种方法，特别是复合函数、隐函数求导公式、对数求导法等. 例5 设 ，求 和 解: 当 时， 当 时， 由于

6、 不存在极限， 所以 在 处不连续，故 在 不可导，即,不存在. 例6 求二次曲线 上任一点 处切线方程. 解: 由隐函数求导法，将方程两边对 求导得， , 从而 切线斜率 故切线方程为,例7 求函数 的 阶导数. 解 例8 设 对任何 都满足 ，且 （常数），求 解 令 ，则 ，从而,三、微分中值定理与导数的应用 1.掌握罗尔定理、拉格朗日定理的条件、结论、几何意义、相互关系. 2.熟练运用洛必达法则求各种未定式的极限（包括 七种类型）. 3.利用导数研究函数的各种性态（包括单调性、极值、最值及应用题、凹凸性及拐点）.,例9 设 ，其中 有二阶连 续导数，且 . （1）确定 的值，使 在点

7、处连续. （2）求 . （3）讨论 在点 处的连续性. 解 （1）利用洛必达法则求极限： 所以当 时， ，这时 在点 处连续.,（2） 时， 时，用定义求导数：,（3） 所以 在 处连续. 四、计算不定积分的方法 主要有：直接积分法、两个换元积分法、分部积分法、有理函数及可化为有理函数的积分法等，其中换元法和分部积分法是常用的两个主要方法.,例10 已知 的一个原函数为 ，求 . 解 因为 ，即 ，所以,例11 已知 ，求 . 解 令 ，则 ，从而 ，所以 考虑到上式中 的 ，且题目设 时 所以应取 ，从而应舍去 ，故,例12 求 解 若先让 凑成 ，计算将很复杂，应优先化简分母. 原式,例1

8、3 求 解 原式,五、定积分及其应用 1.理解定积分的概念、基本性质、定积分中值定理. 2.掌握微积分基本定理（即变上限积分定理）和微积分基本公式（即牛顿-莱布尼兹公式），利用求原函数（或不定积分）和牛顿-莱布尼兹公式计算定积分. 3.运用定积分的换元法（包括第一类和第二类）和分部积分法计算定积分. 4.运用定积分求平面曲线围成图形的面积以及简单立体的体积. 例14 设函数 在0，1上连续，在（0，1）内可导，,，求证在（0，1）内至少存在一 点 ，使 . 证明 由已知 的条件， 满足定积分中值定理的 条件，所以存在 ，使 ， 从而 ，再由罗尔定理，存在 ， 使 .,例15 已知 ，求证 .

9、分析：被积函数 在 处不连续，所以不能应用积分上限求导公式，而要用分部积分法将 改造成在 处连续的另一函数，问题即可解决. 证明 其中约定 于是新的被积函数 在 处连续，从而,另设 ，则 所以 例16 求 分析：对于被积函数含根式、绝对值或分段函数的积分，应设法去掉根号、绝对值或分段来计算，应注意被积函数在不同部分区间所取的正负号或不同的表达式.,另设，则 所以 例16 求 分析：对于被积函数含根式、绝对值或分段函数的积分，应设法去掉根号、绝对值或分段来计算，应注意被积函数在不同部分区间所取的正负号或不同的表达式.,解：原式 例17：设在上连续，在内可导,且 令 ， 求证在 内. 证明 由定积

10、分中值定理，存在 ，使,从而 ,又因为,所以单调减少，从而 ，又 ，从而 例18 设曲线 , 轴和轴所围区域被曲线 分成面积相等的两部分，其中为常数，试求 的值. 解：由， 求得交点坐标为,分别记上、下两块的面积为和，则 而 ， 从而 ，故 .,例19 计算下列定积分 解 （1）原式,（2）令，则 ，从而 移项得,（3） 原式 例20：设在上连续，且 求证 (1) (2)方程 在 内有且仅有一个根.,证明（1）由积分变上限函数的性质知 （2） 又知 在 上连续，所以由零点存在定理，方程 在内至少有一个根.又因，所以 在 上严格单调增加，从而方程 在 内仅有一个根. 例21 设 ，求,解：设，则

11、 原式,例22 求下列极限： （1） （2） 解:(1) 原式=,（2）,例23 求下列极限： （1） （2） 解（1） 原式=,（2）,例24 求下列极限： （1） （2）,解：（1）当时， 所以,（2）,例25 求下列函数极限： （1） （2）,解（1）,（2）,例26求下列极限： （1） ,（2） 解（1）原式=,（2） 另求下列极限： （3） （4）,解（3）,（4）,或（4）,例27：求下列极限： (1) （2） 解（1）因 所以,（2）因 所以,例28求下列函数在分段点处的极限： （1） （2）,解：(1) 即 故,（2）,即 故 不存在. 例29 已知 ，求的值. 解：因当 时，

12、由此及已知，可得必有,（否则，将与已知矛盾）, 即从而有 即,或由已知，必有 即 ，由 比较两端系数，得 例30：若 , 求的值,解：此为“ ”型极限，即 因分母为的一次二项式，分子必为常数，即,例31判断函数的连续性 (1) (2) 解:(1)当时，处处连续，在分段点处，,即。从而在 不连续 （2）当时，处处连续，分段点 为，,即 所以，且， 即，所以函数在 也连续，从而在 上连续.,例32：求函数 的间断点. 解：函数在 处没定义， 因此 为间断点.,例33 求函数 的间断点 解： 为分段函数，分段点为 对，有,，即左、右极 限存在但不相等，故其为间断点对,从而有，又 从而为连续点，故 只

13、有 为间断点.,有,例34设函数 在 处可导， 且 ，求 解：由导数定义可知,例35讨论 在处的可导性. 解： = = 虽然左、右导数都存在，但不相等，所以在 处不可导.,例36 求下列函数的导数 （1） （2） （3） （4） 解:(1)函数是由 复合而成的，于是,(2)函数 是由 复合而成的，于是 (3) (4) .,例37求函数的极值. 解：函数 的定义域为 , 函数的导数为 = 令 ,得驻点 .且 是不可导 点.列表讨论 的极值如下:,由上表可知，在处，函数取得极小值 ； 在处，取得极大值,例38要造一圆柱形油桶，体积为V，问如 何设计底半径R和高 ,才能使用料最省？此 时，底直径与高的比是多少？ 解：依题意 ，桶的表面积为,令 ,解得驻点 , 而 ，