2-3函数的奇偶性与周期性.ppt

1、了解奇函数、偶函数的定义/会判断一些简单函数的奇偶性，并能够用函数的奇偶性解决一些函数问题/了解周期函数的定义，并能够用函数的周期性解决一些函数问题,2.3 函数的奇偶性与周期性,1偶函数 设函数y=f(x)的定义域为D，如果对D内任意一个x，都有 ，那么函 数f(x)就叫做偶函数偶函数的图象关于y轴对称 2奇函数 设函数y=f(x)的定义域为D，如果对D内任意一个x，都有 ，那么 函数f(x)就叫做奇函数奇函数的图象关于原点对称,f(x)f(x),f(x)f(x),3周期性 一般地，对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的 每一个值时，都有 ，那么函数f(x)就叫做周期

2、函数，非零常 数T叫做这个函数的周期 对于一个周期函数f(x)，如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那 么这个最小正数就叫做f(x)的 ,f(xT)f(x),最小正周期,1下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是() Ayx3，xR Bysin x，xR Cyx，xR Dy( )x，xR 答案：A,2(2010豫南九校联考)f(x) x的图象关于() Ay轴对称 B直线yx对称 C坐标原点对称 D直线yx对称 解析：f(x)的定义域为(，0)(0，)， 又 则f(x)为奇函数，图象关于原点对称 答案：C,3已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x2)f(x)，则f(6)的值为()

3、A1B0 C1D2 解析：由f(x2)f(x)知f(x4)f(x2)2f(x2)f(x)， 故知函数yf(x)的周期为4，f(6)f(42)f(2)f(0) f(x)是R上的奇函数，易知f(0)0，f(6)f(0)0，选B. 答案：B,4f(x)，g(x)是定义在R上的函数，h(x)f(x)g(x)，则“f(x)，g(x)均为偶函 数”是“h(x)为偶函数”的() A充要条件 B充分而不必要的条件 C必要而不充分条件 D既不充分也不必要的条件 解析：“f(x)，g(x)均为偶函数” “h(x)f(x)g(x)为偶函数”， 例如f(x)x3，g(x)x3，而h(x)f(x)g(x)为偶函数 答案

4、：B,5定义在R上的奇函数f(x)，当x0时，f(x)x2x1，则f(x)_. 解析：当x0时，f(0)f(0)，即f(0)0.当x0时， f(x)f(x)x2x1， f(x) 答案：,利用定义判断函数奇偶性的方法： (1)首先求函数的定义域，定义域关于原点对称是函数是奇函数或偶函数的必要条件 (2)如果函数的定义域关于原点对称，可进一步判断f(x)f(x)，或f(x)f(x)是否对定义域内的每一个x恒成立(恒成立要给予证明，否则要举出反例),【例1】 下列函数： f(x) ；f(x)x3x；f(x)ln(x )； f(x) ；f(x)lg .其中奇函数的个数是() A2 B3 C4 D5 解

5、析：f(x) 的定义域为1,1， 又f(x)f(x)0， 则f(x) 是奇函数，也是偶函数；,f(x)x3x的定义域为R，又f(x)(x)3(x)(x3x)f(x)， 则f(x)x3x是奇函数； 由x x|x|0知f(x)ln(x )的定义域为R， 又f(x)ln(x )ln ln(x )f(x)， 则f(x)为奇函数；,f(x) 的定义域为R，又f(x) 则f(x)为奇函数； 由 0得1x1，f(x)ln 的定义域为(1,1)， 又f(x)ln ln( )1ln f(x)，则f(x)为奇函数 答案：D,研究函数奇偶性事实上是解决函数图象的对称问题，研究函数的图象和性质的大致过程应该是：求定义

6、域判断奇偶性研究其它性质或作函数图象，这样可起到事半功倍的作用(利用对称可已知“一半”求“另一半”),【例2】 已知f(x) (1)判断f(x)的奇偶性；(2)证明：f(x)0.,解答：(1)解法一：f(x)的定义域是(，0)(0，) f(x) 故f(x)是偶函数 解法二：f(x)的定义域是(，0)(0，)， f(1) ，f(1) ，f(x)不是奇函数,f(x)f(x)，f(x)是偶函数,(2)证明：当x0时，2x1,2x10，所以f(x) 0. 当x0时，x0， 所以f(x)0，又f(x)是偶函数， f(x)f(x)，所以f(x)0.综上，均有f(x)0.,变式2. 设偶函数f(x)对任意x

7、R，都有f(x3) ，且当x3，2时， f(x)2x，则f(113.5)的值是(),解析：f(x)f(x)，f(x6)f(x33) f(x)，故f(x)的周期为6. f(113.5)f(1960.5)f(0.5),答案：D,如果奇偶性是讲函数图象的对称，那么函数的周期性就是讨论函数图象的平移，而函数图象的对称与函数的周期性也是密不可分的，比如：若函数f(x)的图象关于直线xa，xb(ab)对称，则f(x)为周期函数，其周期为T2(ba)等,【例3】设函数f(x)在(，)上满足f(2x)f(2x)，f(7x)f(7x)， 且在闭区间0,7上只有f(1)f(3)0. (1)试判断函数yf(x)的奇

8、偶性； (2)试求方程f(x)0在闭区间2 005，2 005上的根的个数，并证明你的结论,解答：(1)f(1)0，且f(x)在0,7上只有f(1)f(3)0，且f(2x)f(2x)， 令x3，f(1)f(5)0，f(1)f(1)，且f(1)f(1) f(x)既不是奇函数，也不是偶函数 (2)f(10 x)f2(8x)f2(8x)f(6x)f7(13x) f7(13x)f(20 x)， f(x)以10为周期又f(x)的图象关于x7对称知，f(x)0在(0,10)上有两个根， 则f(x)0在(0,2 005上有2012402个根； 在2 005,0上有2002400个根；因此f(x)0在闭区间上

9、共有802个根,变式3. 定义在R上的函数yf(x)满足f(x)f(x)，f(1x)f(1x)，当 x 1,1时，f(x)x3，则f(2 009)的值是() A1 B0 C1 D2 解析：由已知条件f(4x)f1(3x)f(2x)f(2x)f1(1x)f(x)f(x)，则函数yf(x)是周期为4的周期函数f(2009)f(2009) f(45021)f(1)1. 答案：A,函数的奇偶性和周期性是函数的重要性质之一，在确定函数定义域的基础上要首先考虑函数的奇偶性和周期性等，它对研究函数图象、值域及单调性等问题都会起到事半功倍的作用，要重点研究，考点一是判断函数的奇偶性和周期性；考点二是研究奇偶函

10、数的性质；考点三是应用奇偶函数定义和奇偶函数的图象对称性和周期性解决函数问题在教学时要注意以下几点：,【方法规律】,1正确理解奇函数和偶函数的定义，必须把握好两个问题： (1)定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要非充分条件； (2)f(x)f(x)或f(x)f(x)是定义域上的恒等式 2奇偶函数的定义是判断函数奇偶性的主要依据为了便于判断函数的奇偶性，有 时需要先将函数进行化简，或应用定义的等价形式： f(x)f(x)f(x)f(x)0 1(f(x)0) 3奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称，反之也真利用这一性 质可简化一些函数图象的画法，也可以利用它

11、去判断函数的奇偶性,4奇偶函数的性质 (1)奇函数的图象关于原点成中心对称图形，偶函数的图象关于y轴成轴对称图 形，反之亦真因此，也可以利用函数图象的对称性去判断函数的奇偶性； (2)奇奇奇，偶偶偶； (3)奇奇偶，偶偶偶，奇偶奇； (4)函数yf(x)，当x0时有意义，则f(0)0为yf(x)是奇函数的必要条件 因此判断函数的奇偶性，一般有三种方法： 定义法；图象法；性质法 5可考虑将奇函数和偶函数的定义进行推广 6若yf(x)关于直线xa，xb(ab)对称，则f(x)一定为周期函数，2(ba)为 yf(x)的周期.,(本题满分4分)对于函数f(x) (其中a为实数，x1)，给出下列命题：

12、当a1时，f(x)在定义域上为单调函数； f(x)的图象关于点(1，a)对称； 对任意aR，f(x)都不是奇函数； 当a1时，f(x)为偶函数； 当a2时，对于满足条件2x1x2的所有x1、x2总有f(x1)f(x2)3(x2x1) 其中正确命题的序号为_,解析：(1)当a1时，f(x) 的定义域为(，1)(1，)， 又f(x)1 ，函数的两个递减区间分别为(，1)、(1，)， 命题错误 (2)f(2x) f(x)的图象关于点(1，a)对称，命题正确； (3)f(0)1，因此f(x)不是奇函数，是正确命题；,【答题模板】,(4)当a1时，f(x) 1(x1) 因此f(x)不是偶函数，命题不正确 (5)当2x1x2，a2时， f(x1)f(x2) 又x111，x211，则(x11)(x21)1， 因此f(x1)f(x2)3(x2x1)，命题正确 答案：,1. 本题源于教材中出现的y 类型的函数，此种类型函数与反比例函数 y 有密切的关系，可通过解析式的变形和函数图