常微分方程的数值解法.ppt

1、提出第7章常微分方程式的数值解法，问题是倒葫芦形状容器壁上的刻度问题的下表是测定的部分容器的高度和直径的关系。 如果制作图所示坐标轴，则问题是根据任意的高度x显示容器体积v的刻度，从微元思想分析可知h0. 20.40.60.81.0 d0. 040.110.260.561.041.17， 在此，x表示高度，直径d是高度x的函数，标记为D(x )，因此能够得到下一个微分方程式的初始值问题、第七章常微分方程式的数值解法，从而能够显示容器壁上的容积的刻度，(7.0 )的函数D(x )没有解析式， 本章将讨论如何解决不能用分析方法解决的微分方程式的初始值问题，在第七章常微分方程式的数值解法微分方程式中

2、，自变量的个数只有一个，被称为常微分方程式。 自变量个数为2个以上的微分方程式称为偏微分方程式。 出现在微分方程式中的未知函数的最上位导数的次数称为微分方程式的次数。 如果未知函数y及其各次数导数为一次，则称为线性，否则称为非线性。 在高等数学中，对于常微分方程式的求解，给出了一些典型方程求解析解的基本方法，如可分离变量法、常系数齐次线性方程的解法、常系数非齐次线性方程的解法等。 然而，可解的常微分方程仍然有限，许多常微分方程不能给出解析解。 例如，该一阶微分方程式不能用初等函数及其积分来表现其解。 可查看表，但对于未给定表的值，必须用内插方法校正、再次、的解，从实际问题归纳的微分方程通常主要

3、通过数值解法解决。 本章主要探讨一阶常微分方程式的初始值问题、(7.1)、区间a x b中的数值解法。 如果在带状区域R=axb，-y内函数连续，对于y满足李普希茨(Lipschitz )条件，即，与x，y无关地存在常数l，可以证明对于r内的任何一个都成立，则在式() 、常微分方程式的表现方法、微分方程式中，自变量自变量个数为2个以上的微分方程式称为偏微分方程式。 例如，在x=0的情况下，可获得y=1，c=1的特性解，在x=0的情况下，可获得y=1，c=-1的特性解，并且可获得对双侧积分、通解和常微分方程式解法的回顾。 解：残奥滑道的落下速度为v(t )，残奥滑道在空中落下时，同时受到重力p和

4、阻力r的作用，重力的大小为mg，方向与v一致的阻力的大小为kv(k为比例系数)，方向与v相反，因此，残奥滑道受到的外力F=mg-kv是牛顿的第二定律f=。 由此，函数v(t )应满足的方程式是题意，初始条件是7.2数值方法的基本思想常微分方程式对初始值问题(7.1)式的数值解法是计算区间a、b上的一系列离散节点中的精确解y(x )的函数值的近似值。两个相邻节点之间的间距称为步长，步长可以相等也可以不同。 在本章中，总是将h假设为常数，称为定时步骤，但是在这种情况下，节点作为数值解法，能够表现为需要将连续性的问题离散化，求出离散节点的数值解。 对于、常微分方程式的数值解法的基本的出发点是离散化。

5、 其数值解法有两个基本特征，它们都采用“步进式”。 亦即，求解过程必须沿节点阵列顺序逐步前进，描述这种算法，以便提供用已知信息计算的递推公式。 形成这种递归公式的基本方法是在这些节点上使用诸如数值积分、数值微分、泰勒展开等离散化方法对初始值问题中的导数执行不同的离散化处理。 对于初值问题的数值解法，首先要解决的问题是如何使微分方程式离散化，建立求数值解的递归式。 递归公式通常有两种。 一个是修正yi 1时只能使用xi 1，xi和yi，即前一步的值，所以如果有初始值的话可以阶段性地向下修正。 这样的方法被称为单步法。 其代表是龙格库塔法。 另一种是在补正yi 1时，除了xi 1、xi、yi之外，

6、还使用前面k步的值的方法，这样的方法被称为多阶段法，其代表是亚当斯法。 7.3欧拉法7.3.1欧拉式欧拉法是求解初始值问题的最简单的数值方法。 初始值问题的解y=y(x )表示被称为通过点微分方程式的积分曲线。 积分曲线上各点处的切线斜率等于该点处的函数值。 当：从初始点P0(即，点(x0，y0) )在P0点处切线(其斜率)积分曲线y=y(x )，并且x=x1直线超过点(x0，y0)以f(x0，y0)为斜率的切线方程式为时，由此同样，通过点P1(x1，y1)并且积分曲线y=y(x )的切线x=x2是P2点，切线的斜率=直线方程式是、重复以上的步骤，可以得到一系列点：P1，P1，Pn。 对于要求

7、的点，以=为斜率构成直线，取、从图形来看，得到接近曲线y=y(x )的折线。 从x0开始计算相应的数值解，、通常取(常数)时，以欧拉法的修正计算格式、I数值积分为例导出。 如果在区间对方程式的两端进行积分，则如果选择、不同的校正方法来校正上式的积分项，则能够得到不同的校正式。 通过用(7.3)、公式导出、左矩形法校正积分项，代入(7.3)式，用yi近似置换式中的y(xi )，可以得到前向欧拉(Euler )式。当在步骤h=0.2时，校正过程保留四个小数位，并且在解： h=0.2、欧拉重复格式、k=0、x1=0.2时，x0是已知的。 在y(0.4) y2=0.20.8(40.20.8)0.614

8、4为k=2、x3=0.6时，可知x2=0.4、y2=0.6144的x0=y0=0； 从h=0.1欧拉法的递归式得出： yn1=yn0.1(xny2n ) yn=0n=0，1，2，3，4，5从上式得出的数据是n 012345 xn0. 10.20.40.5 yn0. 010.029990.059990 如果使用7.3梯形法修正其积分项，则代入、(7.4)、(7.4)式，由近似代替式得到的梯形式，(7.5)由于数值积分的梯形式比矩形式精度高，所以在梯形式(7.5)比、(7.5)、(7.5)式的右端包含未知的yi 1 相反，欧拉法是关于yi 1的直接修正公式，将这样的数值方法称为显式方法。 用例7.

9、3梯形公式求出下面初始值问题的解，取x=0.01以上的值y(0.01) y=y y (0)=1解： h=0.01，由梯形公式得到，用中矩形公式修正y=exe0.01=1.01000其积分项，即代入上式，在式中可以得到2阶段的欧拉式，(7.7)，先前介绍的数值方法，无论是欧拉法还是梯形法，它们都是单阶段法，具有只能在修正yi 1时使用的特征，但是，在式(7.7)中，除了yi以外，还有更前面的步骤的信息yi-1 这称为两步欧拉公式，7.3.4欧拉法的局部截止误差是测量求解公式好坏的一个主要标准是求解公式的精度，因此引入了局部截止误差和次数的概念。 在以定义7.1yi为正确的前提的情况下，即，用数值

10、方法校正yi-1的误差，用该数值方法校正后的情况下，称为yi-1的局部截止误差。 对于欧拉公式，假定有、以及，因为真解y(x )在xi上用二次泰勒展开，所以有定义7.2的数值方法的局部截止误差，该数值方法的阶数称为p。 步骤(h1 )越小，p越高，局部截止误差越小，修正计算精度越高。 欧拉式的局部截止误差，欧拉法只有一次法。 2步欧拉式也是精度比欧拉式高的数值方法，如果前面的2步正确，则将2步欧拉式、y(xi-1 )在xi展开成Taylor级数(7.9)，因此从(7.8)和(7.9)得到的2阶欧拉式梯形式虽然精度提高了，但是为了默认式需要用反复法解，修正算作业量很多。 欧拉公式和台式结合可以得

11、到改进的欧拉公式。 用欧拉公式(7.2)求初步近似值，称为预测值，其精度不高。 然后，使用梯形的公式(7.5)对其进行一次即重复，求出yi 1，称为校正值。 此预测校正方法称为改进的欧拉公式： 这是可以用嵌套形式表示的步骤的显式形式。 (7.11 )或以下的平均化形式表示的(7.12 )、7.3.6改良欧拉法算法实现(1)使用改良欧拉法输入、h、n以下改良欧拉法式进行改良输出，并转移到n N结束为止。、(2)改良欧拉法的流程图、(3)程序实现(参照附录A A-15改良欧拉法的常微分方程式的初始值问题的修正计算)、例7.2改良欧拉法的初始值问题的解、区间0、1、以步骤h=0.1证明台形式求出的近

12、似解是、步骤h0 yn收敛到精确解证明：解初始值问题的台形式是7.4龙格-库塔法7.4.1龙格-库塔法的基本思想欧拉式可以改写为yi 1式和y(xi 1) :的两个公式都与f(x，y )的给定点处的值的线性组合求y(xi 1)的近似值yi 1，并且如欧拉公式：那样，其可以增加校正次数f(x，y )的次数，每步骤获得f(x，y )的值f(x，y )值需要两次修正才能改进欧拉表达式。 这是二次方法。 局部截止误差为。 因此，考虑利用函数f(x，y )的若干点处的函数值的线性组合来构筑近似式，考虑按照近似式为(xi，yi )处的Taylor展开式与解y(x )的xi处的Taylor展开式的前一项重叠、近似式成为所需次数的方式来构筑的偏振光轴。 替代地，在步骤中，如果预报若干点的梯度值并使其加权平均梯度为平均梯度，那么可以做出更加精确的校正计算格式，这是龙格拟合器(