九年级数学垂直于弦的直径较教案

1、九年级数学垂直于弦的直径较教案垂直于弦的直径（1）教学目的:1、使学生理解圆的轴对称性；2、使学生掌握垂径定理。重点难点：垂径定理教学过程：一、复习提问：1、什么是对称？什么是对称图形？2、举例说明什么是中心对称图形？什么是轴对称图形？（如果一个图形沿一条直线对折，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形叫做轴对称图形）二、新课讲解：这一节课我们继续研究圆的基本性质，即圆的轴对称性和垂径定理。1、圆的轴对称性通过前面的复习，我们知道等腰三角形是轴对称图形，平行四边形是中心对称图形，那么圆呢？OABCDE把圆沿着它的任意一条直径对折，直径两边的两个半圆就会重合在一起，所以圆是轴对称图形，任何一条

2、直径所在的直线都是它的对称轴，同时，可以介绍圆也是中心对称图形，圆心是 它的对称中心。已知：在O中，CD是直径，AB是弦，CDAB，垂足为E。求证：AEBE，ACBC，ADBD证明：连结OA、OB，则OAOB，因为垂直于弦AB的直径CD所在的直线既是等腰OAB的对称轴，又是O的对称轴，所以当把圆沿着直径CD折叠时，CD两侧的两个半圆重合，A点和B点重合，AE和BE重合，AC、AD分别和BC、BD重合，因此，AEBE，ACBC，ADBD。垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。 例1、如图，已知在O中，弦AB的长为8cm，圆心O到AB的距离为3cm，求O半径。解:连结OA，OEAB，4

3、cm。在RtAEO中，AO5cmO的半径为5cm例2、如图，O的直径AB16cm，P为OB中点，APC300，求CD的长。（关于弦的问题：“遇弦常作弦心距”。在圆中，求弦的长度，常作弦的垂线段这一辅助线，这样不仅为利用垂径定理创造了条件，而且为构造直角三角形，沟通已知量与未知量之间的关系创造了条件。）解：过O作OE弦CD，垂足为E，OBPDCAE则CD2CE。直径AB16cm，P为OB中点，OB8cmOPPB4cm。在RtOEP中，APC300OE2cm。连结OC，则OC8cm，在RtOEC中， OABECD例3、已知，如图，在以O为圆心的两个同心圆心圆中，大圆的弦AB交小圆于C、D两点，求证

4、：ACBD解：作OE弦CD，则OE弦AB。在小圆中，ECED；在大圆中，EAEBACBD小结：本节课重点是垂径定理，难点是从圆心向弦作垂线构成垂径定理图形。OBANMF补练：已知：AB为O的直径，EF是O的弦，过A、B分别作AMEF，BNEF。求证：MENF。证明：作OC弦EF，则CECFAMMN，BNMN，OBMN。AMOCBNOAOBCMCNMENF垂直于弦的直径（2）学习目的：1、使学生掌握垂径定理的两个推论；2、使学生会利用推论1，作一些简单的作图题。重点、难点：垂径定理的两个推论，由定理推出推论1。教学过程：一、复习提问：1、口述垂径定理的内容。2、画图叙述垂径定理的题设和结论，写出

5、如下形式。题设 二、新课教学：垂径定理的题设为、，结论为、现在我们研究，如果把题设和结论中的5个条件适当互换，又会如何？ ADBCD平分弧直线ABCD平分弧直线1、若选为题设，可得ABCD平分弦直线 但应注意弦AB为非直径平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧2、若选为题设，可得 ABCD平分弦直线ADBCD平分弧直线ABCD平分弧直线弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧。 ABCD平分弦直线ADBCD平分弧直线ABCD平分弧直线3、若选为题设，可得，平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，且平分弦所对的另一条弧。总结：“知二得三”4、如图，O中，ABCD，求证：AC

6、BD得出推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。知识应用：例1、已知：如图，在ABC中，ACB900，AC6，AC6，BC8以C为圆心，CA为半径的圆交AB于D，求AD的长。例2、平分已知小结：本节课学习了垂径定理的推论1和推论2。垂直于弦的直径（3）学习目的：使学生了解垂径定理在实际中的应用，提高学生学习的积极性，培养学生把实际问题转化为数学问题的能力和计算能力。重点、难点：垂径定理在几何命题中的计算和推广。学习过程：一、复习提问1、垂径定理的内容是什么？2、如果一条直线垂直于弦且平分弦所对的一条弧，那么能推出什么结论？3、直角三角形可解的条件是什么？4、对于圆的半径r，圆心到弦的距离d，弦长a

7、这三个量，如何在知道了其中两个量的情况下求出第三个量。二、新课讲解：例1（书本P65例4）、1300多年前，我国隋代建造的赵州石拱桥（图722）的桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦的长）为37.4米，拱高（弧的中点到弦的距离，也叫弓形高）为7.2米，求桥拱的半径（精确到0.1米）。OABCD7.2m37.4m分析：解决此问题的关键是根据赵州石拱桥的实物图画出几何图形。请同学们根据题意，画出正确的几何图形。 已知：桥拱是圆弧形，跨度（弦长）为37.4米，拱高（弓形高）为7.2米。求：桥拱的半径。解：连结AO，延长CDCD为拱高C为AB中点，CDABCD延长线经过圆心OADAB18.7ODOCDC

8、R7.2在ADO中，ODABOA2OD2AD2解这个方程：得米。例2、直径为100cm的下水道的横断面如图，若水面宽为AB60cm，求下水道中水的最大深度。解：过O作OCAB于C，延长CO交O于D，连结OBADBDCD为水道最大深度BCAB30cm，BO50cm在BCO中，OCAB，CDOCOD405090cm。即下水道中水的最大深度为90cm。例3、在直径为400mm的圆柱形的油槽内，装入一部分油，油面宽320mm，求油的深度。当油面低于圆心时,如图作OCAB于C,OC的延长线交O于D，连结OB。则ADBD，CD为油的深度。BC160mm在OCB中，OCABCDODOC200mm120mm8

9、0mm。此时油面深度为80mm。当油面高于圆心时，如图，过O作OCAB，延长CO交O于D，连结OA，则ADBD，CD为油的深度。AC160mm，在ACO中，OCAB例4、已知AB是O直径，CD是弦，AECD，BFCD，垂足分别为E、F，求证：CEDF作弦心距，（遇弦常作弦心距。）是解决本题的关键，作出弦心距OH，不但得到一组平行线，也得到了弦的中点。变化题：如图，已知：AB是O的直径，CD是弦，CECD，DFCD，求证：OEOFOCDEFABOABFEPDC例5、如图，P为O直径AB上一点，EF、CD是过P点的两条弦，且CPBEPB，求证：CDEFDECF。例6、如图已知，AD是O的直径，EF是弦，ABEF，DCEF，垂足分别是B、C。求证：BEFC；若AD10