九年级数学上册第2章一元二次方程2.1一元二次方程素材新版湘教版

1、第二章一维二次方程2.1一维二次方程材料-新课导入设计情景导入疑问导入归纳导入回顾导入类比导入悬念激发兴趣场景导入如图2-1-1所示。学校活动教室的长方形地板长8米，宽5米。现在，它准备在地板中间铺一块面积为18平方米的地毯，而未铺砌的条形区域的宽度是相同的。根据这种情况，结合已知的数量，你能找到周围未铺砌的带状区域的宽度吗？2-1-1【注释和建议】注释：从学生的角度用问题吸引学生的注意力，激发他们的好奇心，认识到数学来源于生活，服务于生活，诱发学生对新知识的渴求。建议：鼓励学生根据情况分组合作，在他们周围寻找方程的例子，并学会寻找等价关系，从而为这门课的学习铺平道路。感应导入如图2-1-2所

2、示，有一个长100厘米，宽50厘米的长方形铁片。同一个正方形在它的四个角被切掉，然后它周围的突出部分被折叠成一个没有盖的长方形铁盒。如果未覆盖的铁盒子的底部面积是3600 cm2，在铁片的每个角落应该切掉什么正方形？212【说明与建议】说明：通过图形的变化，学生可以感知等价关系的确定，整理得到的方程，并通过观察其特征总结出一维二次方程的定义。建议：首先，利用多媒体动画演示无盖矩形铁盒的制作过程，将矩形铁盒底部区域感知为中间的小矩形区域，引导学生发现小矩形长宽的表示方法。在得到一维二次方程的定义时，我们应该把握三个要点进行分析：1悬念九章算术的“勾股”一章中有一个问题：“今天，有两个人站在同一个

3、地方，A的速度是7，B的速度是3，B向东，A向南走10步，然后向东北倾斜，遇到B，问A和B的每一个几何图形。”b一直向东走。你能找出这道题涉及的一元二次方程吗？【说明与建议】说明：通过中国古代提出的问题，激发学生的求知欲，引导他们分析问题，找出等价关系，然后列出一元二次方程。在思考中，他们增强自己的感性知识和经验，然后上升到理性观察、思考和推理。建议：让学生有时间独立思考，然后引导他们进行分析，从而积累数学活动的经验供进一步学习。材料2教科书主题挖掘课本科目第29页练习2.1T3众所周知，一个数x和一个大于它的数2的乘积等于35。请根据问题的意思列出关于x的等式。这个方程是二次方程吗？建模分析

4、：根据两个数的乘积等于35的级数方程。一个数是X，另一个数比它大2(x2)，所以级数方程是X (X 2)=35，即X2 2x-35=0。根据一维二次方程的定义，可以知道它的一般形式是ax2 BX C=0 (a，a) Bx是线性项，b是线性项系数；c是一个常数项。变形变体1.下列哪个方程是二次方程？x3-2x 2+5=0；x2=1；5x 2-2x-=x2-2x+；2(x+1)2=3(x+1)；x2-2x=x2+1； AX2 BX C=0。回答： 2.审判判决：方程(2a-4) x2-2bx a=0。(1)一维线性方程是什么时候？(2)什么时候是二次方程？回答：(1) A=2，b0 (2)a23.

5、写出下列方程的二次项、二次项系数、线性项、线性项系数和常数项。4x 2-4x+1=0； 5x2-2x-=x2-2x。回答：名单如下：标题号二次项二次项比率初级术语线性项系数常数项4x24-4x-414x2400-14.将方程(x 1) 2 (x-2) (x 2)=1转化为二次方程的一般形式，写出二次项和二次项的系数；一次项和一次项系数；常数项。回答：2x2 2x-4=0，二次项为2x2，二次项系数为2；一次项为2x，一次项系数为2；常数项是-4。材料三的测试情况及方向分析命题角度1用二次方程的概念来判断用一维二次方程的概念来判断该方程为一维二次方程，应紧紧遵循以下三个特点：(1)它只包含一个未

6、知量；未知数最多的是2个；这是一个积分方程。在判断二次方程之前，要特别注意将方程整理成一般形式。例变化周期在下列方程中，一维二次方程有(一)(1)3 x2=-1；(2)=3；(3)3 x2+2y-1=0；(4) AX2-2x 1=0 (A为实数)；(5)2x(3x+2)=(x+1)(6x-3)。A.1 B. 2 C. 3 D. 4【命题角度2】利用一元二次方程的概念来求字母系数的值或范围利用一元二次方程的二次系数计算字母系数值，该二次系数不为零或未知数的最高次数为2。例枣庄模拟证明方程(m2-8m 17) x2 2mx 1=0关于x是一个一元二次方程，无论m取什么值。证明了由于二次系数m2-8

7、m 17=(m-4) 2 1，无论m取什么值，二次系数都不等于0，所以方程一定是一维二次方程。命题角度3一元二次方程的一般形式命题方向往往要求将一维二次方程的非一般形式转化为一般形式；或者要求指出一维二次方程的二次项或二次项系数、一次项或一次项系数和常项；或者找到与系数相关的代数表达式的值。在确定a、b和c的值时，要特别注意将这些符号包含在内。例滕州模拟二次方程A (x 1) 2 B (x 1) C=0转化为一般形式后为3x2 2x-1=0。试着找出A2 B2-C2的算术平方根。解：A (x 1) 2 b (x 1) c=0转化为一般形式：AX2 (2a b) x a b c=0，所以A=3，

8、2a b=2，a b c=-1，所以A=3命题角度4建立一维二次方程模型阅读题目，检查题目的意义，阐明已知和未知及其关系，找出题目中的相等关系，然后根据这个相等关系列出方程式。(仅列出方程式)例【襄阳中考】用一根40厘米长的绳子围成一个64平方厘米的长方形。如果矩形的一边是x厘米长，等式可以表示为(b)A.x(20+x)=64 B.x(20-x)=64C.x(40+x)=64 D.x(40-x)=64教材4练习答案P28练习1.请用一条线将左边的等式与右边相应的等式类型连接起来：2x2 5x=x2-3一维线性方程(x 1) 2-1=x2 4一元二次方程3x+5=2x-1分数方程解答：第一个是一

9、维二次方程，第二个和第三个是一维线性方程，第四个是分数方程。2.下面的方程是二次方程吗？如果是，指出二次系数、线性系数和常数项。(1)4x 2=49；(2)5x 2-2=3x；(3)0.01 T2=2t；(4)(9y-1)(2y+3)=18y2+1。解决方案：(1) 4，0，-49；(2)是5，-3，-2；(3)为0.01，-2，0；(4)否P28练习2.11.下面的方程是二次方程吗？如果是，指出二次系数、线性系数和常数项。(1)x2+5x=6；(2)3x-4=x2；(3)(10-2x)(6-2x)=32；(3)(3x-2)2=3x(3x-5)。解：(1)是1，5，-6；(2)是1，-3，4；

10、(3)是1，-8，7；(4)否2.选择题：(1)一种商品连续两次降价后，每件商品的价格从原来的55元降到35元。如果平均降价率为x，则平均降价率x应满足的等式为()A.55(1+x)2=35B.35(1+x)2=55C.55(1-x)2=35D.35(1-x)2=55(2)超市1月份营业额为36万元，3月份营业额为49万元。假设第一个月的平均营业额增长率为X，则平均增长率X应满足以下等式()A.49(1+x)2=36B.36(1-x)2=49C.36(1+x)2=49D.49(1-x)2=36解决方案：(1)碳(2)碳3.众所周知，一个数x和一个大于它的数2的乘积等于35。请根据问题的意思列出

11、关于x的等式。这个方程是二次方程吗？答案 X (X 2)=35是4.如图所示，将一根64厘米长的铁丝剪成两段，每段折叠成一个正方形。如果两个正方形的面积之和是160 cm2，一个正方形的边长是x cm，请根据问题的意思列出关于X的等式。解决方案：x2 (16-x) 2=160。5.下列哪个方程是二次方程？(1)3(1+x)2=3x+7；(2)3(1+x)2=x(3x+7)；(3)px2+x-4=x(px-1)。解决方案：第一个是没有其他东西。6.如图所示，在一个边长为x厘米的方形铁片的四个角上切下一个边长为5厘米的小方块，并将其折叠成一个没有盖子的长方体盒子。它的体积是2 000立方厘米。请根

12、据问题的意思列出关于X的等式。解决方案：5 (x-10) 2=20007.一个5米长的梯子靠在墙上，梯子底端到墙的距离是3米。众所周知，梯子底端到右边的距离等于梯子顶端到下面的距离，所以梯子顶端到下面的距离是x米。请根据问题的意思列出关于x的等式。解决方法：根据问题，梯子顶端和墙壁之间的距离在滑动之前是4米，那么(4-x) 2 (3 x) 2=52。教材五册增值练习主题一元二次方程定义的应用1.如果x3-a 3x-10=0，x3b-4 6x 8=0是一元二次方程，求(a b)的值。2.如果a是二次系数，b是线性系数，c是常数项，2 | b-3 |=0，请写出一个关于x的二次方程.3.如果(m-

13、2) x | m | 9x 7=0是一个一元二次方程，并且m满足不等式4m n 0，则求n的值。范围。参考答案：1.分析：根据一维二次方程的定义，可知每个方程的最高次x是两次。解决方法：根据问题的意思解决方案是 a b=3。2.分析：已知条件下的方程是几个非负数之和为0的典型情况，可以利用非负数的性质作为问题的起点。解决方案：从已知的2=0。|b-3|=0,=0,a=4,b=3.代入=0得出c=-7。所需的方程是4x2 3x-7=0。3.分析：m的值可以从一元二次方程的定义中得到，然后m的值可以代入到不等式4m n 0中，解决关于n的不等式.解：已知解的M=-2。原来的不等式变成4 (-2) n 0，-8+n0,n8.材料6数学素养的提高巴拿赫的年龄S.巴拿赫1892年3月30日出生于波兰克拉科夫，1945年8月31日死于苏联乌克兰共和国利沃夫。为了表达他对这位杰出数学家的哀悼，1960年在波兰举行的国际功能分析会议上举行了纪念巴拿赫的仪式，并专门写了一篇关于他一生的智力测验：巴拿赫于1945年8月31日去世。他出生的年份正好是他活着的某一年的年龄的平方。他是什么时候出生的？我们可以把他活着的某一年的年龄设定为x，然后x21945，x是一个自然数。他的出生年份x2-x=x(x-1)，他的生活年龄19