第五章梁的应力.ppt

1、5-0 纯弯曲 5-1 纯弯曲时的正应力 5-2 横力弯曲时的正应力 5-3 弯曲切应力 5-4 关于弯曲理论的基本假设 5-5 提高弯曲强度的措施,引 言,横截面上的弯矩只与该截面上的正应力有关 横截面上的剪力只与该截面上的切应力有关,2)梁的弯曲强度计算,1)梁的弯曲应力计算,横截面上的内力剪力 FQ 和弯矩 M 横截面上的应力正应力 s 和切应力t,横截面上内力与应力的关系:,FQ t M s,本章任务:,5-0 纯弯曲,CD段剪力为零，弯矩为常量，该段梁的变形称为纯弯曲。 AC、BD段梁的内力既有弯矩又有剪力，该段梁的变形称为横力弯曲。,梁的纯弯曲实验,实验现象：横向线(a b）变形后

2、仍为直线，但有转动；纵向线变为曲线，且上缩下伸；横向线与纵向线变形后仍正交。,平面假设：横截面变形后仍为平面，只是绕中性轴发生转动，仍垂直于变形后的梁轴线。,中性层：梁内一层纤维既不伸长也不缩短，因而纤维不受拉应力和压应力，此层纤维称中性层。 中性轴：中性层与横截面的交线。,假设,平面假设,纵向纤维间无正应力,1.变形几何关系,(a),变形前,变形后,5-1 纯弯曲时的正应力,2.物理关系（胡克定律),中性轴通过截面形心,3.静力关系,梁的上、下边缘处，弯曲正应力取得最大值，分别为：,抗弯截面系数。,4.纯弯曲梁横截面上的应力(弯曲正应力)：,距中性层y处的应力,矩形截面：,5.三种典型截面对

3、中性轴的惯性矩,实心圆截面,截面为外径D、内径d(a=d/D)的空心圆:,5-2 横力弯曲时的正应力,弯曲正应力分布,弹性力学精确分析表明，当跨度 l 与横截面高度 h 之比 l / h 5 （细长梁）时，纯弯曲正应力公式对于横力弯曲近似成立。,横力弯曲最大正应力,弯曲正应力公式适用范围：, 线弹性范围正应力小于比例极限sp； 精确适用于纯弯曲梁； 对于横力弯曲的细长梁(跨度与截面高度比L/h5)，上述公式的误差不大，且梁的跨高比越大，误差就越小。,弯曲正应力强度条件,1.弯矩最大的截面上,2.离中性轴最远处,4.脆性材料抗拉和抗压性能不同，二方面都要考虑,3.变截面梁要综合考虑 与,根据强度

4、条件可进行：,强度校核:,截面设计:,确定梁的许可荷载:,1. 求支反力,解：,例5-3-1：求图示梁（1）C 截面上K点正应力；（2）C 截面上最大正应力；（3）全梁上最大正应力；（4）已知E=200GPa，C 截面的曲率半径,2. C 截面最大正应力,C 截面弯矩,C 截面惯性矩,（压应力）,3. 全梁最大正应力,最大弯矩,4. C 截面曲率半径,C 截面弯矩,C 截面惯性矩,例5-3-2：某车间欲安装简易吊车，大梁选用工字钢。已知电葫芦自重 ，起重量 ，跨度 ，材料的许用应力 。试选择工字钢的型号。,（4）选择工字钢型号,（5）讨论,（1）计算简图,（2）绘弯矩图,解：,36c工字钢,例

5、5-3-3：已知16号工字钢Wz=141cm3，l=1.5m，a=1m，=160MPa，E=210GPa，在梁的下边缘C点沿轴向贴一应变片，测得C点轴向线应变 ，求F并校核梁正应力强度。,例5-3-4：T型截面铸铁梁，截面尺寸如图, ,试校核梁的强度。,（2）求截面对中性轴z的惯性矩,（1）求截面形心,解：,（4）B截面校核,（3）作弯矩图,（5）C截面要不要校核？,（4）B截面校核,（3）作弯矩图,例5-3-5：图a所示为横截面如图b所示的槽形截面铸铁梁，该截面对于中性轴z 的惯性矩Iz=5493104 mm4。已知图a中，b=2 m。铸铁的许用拉应力t=30 MPa，许用压应力 c=90

6、MPa 。试求梁的许可荷载F。,解：最大负弯矩所在B截面处，若截面的上边缘处最大拉应力st,max达到st，则下边缘处最大压应力sc,max为 根据 可知此sc,max并未达到许用压应力sc，也就是说，就B截面而言，梁的强度由最大拉应力控制。,显然，B截面上的最大拉应力控制了梁的强度。,B截面：,C截面：,第四章 弯曲应力,当然，这个许可荷载是在未考虑梁的自重的情况下得出的，但即使考虑自重，许可荷载也不会减少很多。,于是由B截面上最大拉应力不得超过铸铁的许用拉应力st的条件来求该梁的许可荷载F：,由此得F19200 N，亦即该梁的许可荷载为F=19.2 kN。,第四章 弯曲应力,讨论：我国营造

7、法中，对矩形截面梁给出的尺寸比例是 h:b=3:2。试用弯曲正应力强度证明：从圆木锯出的矩形截面梁，上述尺寸比例接近最佳比值。,解：,由此得,一 矩形截面梁的切应力,5-3 弯曲切应力,切应力的分布规律做以下两点假设： 1横截面上各点切应力的方向均与剪 力FQ的方向平行。 2切应力沿截面宽度均匀分布。,考虑截出部分mnsr的平衡，见图(c)由,（7-5）,得,由,和,(5-7),IZ为横截面对中性轴的惯性矩，,FQ横截面上的剪力,横截面上部分面积对中性轴的静矩,b 截面宽度,(5-8),(5-9),1、切应力方与横截面上剪力方向相同，最大切应力发生在中性轴上,为平均剪应力的1.5倍,2、切应力

8、沿截面宽度均匀分布，上、下边缘线上各点的切应力为零,3、切应力沿截面高度按抛物线规律变化,IZ=bh3/12,二、其它截面梁横截面上的切应力,其中Fs为截面剪力；Sz 为y点以下的面积对中性轴之静矩； Iz为整个截面对z轴之惯性矩；b 为y点处截面宽度。,1、研究方法与矩形截面同；切应力的计算公式亦为：,2、工字形截面梁的切应力,腹板,翼缘,在腹板上：,在翼缘上，有平行于FQ的切应力分量，分布情况较复杂，但数量很小，并无实际意义，可忽略不计。,在翼缘上，还有垂直于FQ方向的切应力分量，它与腹板上的切应力比较，一般来说也是次要的。,腹板负担了截面上的绝大部分剪力，翼缘负担了截面上的大部分弯矩。,

9、3、圆截面梁的切应力,下面求最大切应力：,三、弯曲切应力强度条件,解：画内力图求危面内力,例5-4-1：矩形(bh=120180mm2)截面木梁如图，=7MPa，=0. 9 M Pa，试求最大正应力和最大切应力之比,并校核梁的强度。,求最大应力并校核强度,应力之比,例5-4-2： T形梁尺寸及所受荷载如图所示, 已知sc=100MPa，st=50MPa，t=40MPa，yc=17.5mm，Iz=18.2104mm4。求：1)C左侧截面E点的正应力、切应力；2)校核梁的正应力、切应力强度条件。,2）作梁的Fs和M图,1）求支座反力：,该梁满足强度要求,该梁满足强度要求,例5-4-3：悬臂梁由三块

10、木板粘接而成。跨度为1m。胶合面的许可切应力为胶=0.34MPa，木材的=10MPa，=1MPa，求许可载荷。,1.画梁的剪力图和弯矩图,2.按正应力强度条件计算许可载荷,3.按切应力强度条件计算许可载荷,解：,4.按胶合面强度条件计算许可载荷,5.梁的许可载荷为,5-4 关于弯曲理论的基本假设,在导出纯弯曲正应力的计算公式时，引用了两个假设：（1）平面假设；（2）纵向纤维间无正应力假设 。假设材料仍是线弹性的，对于横力弯曲问题，按纯弯曲正应力的计算公式将会导致计算误差。,可见上、下表面无切应变，中性层最大。切应变沿高度方向呈抛物线变化，可见这势必使横截面不能保持平面，而引起翘曲。,理论分析表明：当截面高度h远小于跨度l的梁，上述偏差是非常小的；而h远远小于跨度l，却正是杆件的几何特征。,理论分析表明：h远远小于跨度l，y是可以忽略的，这正是假设纵向纤维间无正应力的根据,5-5 提高弯曲强度的措施,控制梁弯曲强度的主要因素是弯曲正应力，即以,作为梁设计的主要依据。因此应使Mmax尽可能地小，使WZ尽可能地大