ch1 复数与复变函数.ppt

1、工程数学,复变函数,-2-,工程数学-复变函数,历史发展,复变函数理论产生于十八世纪，欧拉、达朗贝尔、拉普拉斯等都是创建这门学科的先驱. 十九世纪，柯西、黎曼、维尔斯特拉斯等为这门学科的发展作了大量奠基工作。复变函数理论这个新的数学分支统治了十九世纪的数学. 二十世纪初，列夫勒、彭加勒、阿达玛等作了大量的研究工作，开拓了复变函数理论更广阔的研究领域.,-3-,工程数学-复变函数,内容,复变函数论主要包括单值解析函数理论、黎曼曲面理论、几何函数论、留数理论、广义解析函数等方面的内容.,-4-,工程数学-复变函数,应用,复变函数理论对数学领域的许多分支的发展都很有影响，它已经深入到微分方程、积分方

2、程、概率论和数论等多个学科. 特别是在其他学科上，复变函数也得到了广泛的应用. 比如物理学上有很多不同的稳定平面场，对它们的计算就是通过复变函数来解决的；另外，复变在流体力学和航空力学方面的问题上也做出了贡献.,第一章 复数与复变函数,-6-,工程数学-复变函数,1 复数及其运算,1. 复数,定义,其中 i 称为虚数单位，满足,设 x , y 为实数，称形如,或,的表达式为复数.,x , y 分别称为复数 z 的实部和虚部， 记作,-7-,工程数学-复变函数,(1) 当 时， 称为纯虚数;,(2) 当 时， 视为实数 ；,(3) 当 时，称 ；,(4) 设,-8-,工程数学-复变函数,2. 复

3、数的代数运算,两个复数,加减法,乘法,除法,运算规律,-9-,工程数学-复变函数,共轭复数,设复数,称复数,为 的共轭复数，,共轭复数的性质,记作,定义,-10-,工程数学-复变函数,x 轴,实轴,y 轴,虚轴,面,复平面，或 Z 平面,数,点,向量,3. 复平面,-11-,工程数学-复变函数,|z|=r,称为 z 的辐角, 记作,辐角不确定.,当 时，,实轴正向与向量 z,之间的夹角，,有无穷多个值，,其中仅有一个满足：,即,向量 的长度称为z 的模或绝对值,记作,模与辐角,-12-,工程数学-复变函数,辐角主值的确定,由于,所以,-13-,工程数学-复变函数,复数的其他表示,（三角表示）,

4、（指数表示）,其中,欧拉公式：,-14-,工程数学-复变函数,4. 复球面,S,复球面,的四则运算,（无穷远点）,扩充复平面,-15-,工程数学-复变函数,例1.,求复数的实部、虚部、共轭复数、辐角主值和模.,解：,-16-,工程数学-复变函数,5. 复数的乘幂与方根,定理1,1) 乘积与商,设,两个复数乘积的幅角等于它们辐角的和.,则,两个复数乘积的模等于它们的模的乘积,-17-,工程数学-复变函数,定理二,两个复数的商的辐角等于被除数与除数的辐角之差.,两个复数的商的模等于它们的模的商,-18-,工程数学-复变函数,2) 幂与根,棣莫弗( De Moivre )公式,n 个相同复数 z 的

5、乘积称为z 的 n 次幂,幂,个,若,则,如果定义,那么当 n 为负整数时式 (1),和式 (2) 也成立.,注：,记作 , 即,-19-,工程数学-复变函数,例2.,求下列复数幂的值.,解,-20-,工程数学-复变函数,(棣莫弗公式),根,令,则 w 称为z 的n 次根,记作,(n为整数),即,若,亦即,-21-,工程数学-复变函数,所以,那么,几何上, z1/n的n个值就是以原点为中心, r1/n为半径的的,圆内接正n边形的n个顶点.,-22-,工程数学-复变函数,例3.,求下列根式的值.,解,-23-,工程数学-复变函数,例4.,解方程,解,直接验证可知方程的根,故方程可写成,令,则,其

6、中,-24-,工程数学-复变函数,2 区域,1. 区域的概念,z0的去心邻域.,满足,满足 的所有点的集合,称为无穷远点的去心邻域.,的 邻域:,的 邻域；,点的邻域:,的点的集合, 称为无穷远点的邻域;,-25-,工程数学-复变函数,内点:,设G 为一平面点集, z0 为 G 中任意一点.,z0 的一个邻域属于G,开集:,如果G内的每个点都是它的内点, 则称G为开集.,区域:,平面点集D称为一个区域, 如果它满足下列条件:,1) D是一个开集;,2) D是连通的.,边界点:,设D为复平面内的一个区域,但P的任意小邻域,D的所有边界点组成D的边界.,如果点P不属于D,称P为D的边界点.,总包含

7、D中的点,如果存在,则称 z0 为 G 的内点.,-26-,工程数学-复变函数,区域 D与它的边界一起构成 闭区域 或闭域,闭区域:,如果存在正数 M, 使区域 D的每个点 z 都满足,记作 .,有界区域：,| z | M, 则称 D 为有界的,否则称为无界的.,-27-,工程数学-复变函数,是两个连续的实变函数，,2. 单连通域与多连通域,连续曲线:,其复数表示式为：,则称这曲线为光滑的.,若在 上x (t)和y (t)都是连续的, 且,光滑曲线:,若曲线的参数方程,则称其为连续曲线；,-28-,工程数学-复变函数,如果连续曲线,对于,则称,为简单曲线；,如果 C 又满足,则称之为,简单闭曲

8、线.,简单曲线:,简单、不闭,简单、闭,不简单、不闭,不简单、闭,-29-,工程数学-复变函数,连通域：,单连通域,多连通域,复平面上的一个区域 B, 如果在其中任作一条简单,闭曲线, 而曲线的内部总属于B, 就称为单连通域；,如果不是单连通域, 就称为多连通域.,一个区域,-30-,工程数学-复变函数,例1.,满足下列条件的点集是什么？如果是区域，是单连通还是多连通？,解,是以点 i 为圆心，半径为 的圆盘，,是闭区域.,是椭圆周，不是区域.,-31-,工程数学-复变函数,是以点 为圆心，半径为 的圆盘外部，,是以直线,为左右底边，,实轴为两腰的梯形(不包括边界)，,单连通区域.,直线,-3

9、2-,工程数学-复变函数,3 复变函数的定义、极限和连续性,1. 复变函数的定义,设G是复平面上的一个点集，若对于G中每一点,按照一定的法则,都有复数 与之对应，,则称 w 是 z 的复变函数, 记作,集合G称为f(z)的定义集合, 对应于G中所有z对应的一切,w值所成的集合G*, 称为函数值集合.,定义,由于,所以有,-33-,工程数学-复变函数,例1.,已知,解：,法1（代入法）,因为,所以,法2（拼凑法）,将其写成关于 的解析式.,-34-,工程数学-复变函数,2. 映射的概念,在几何上函数 w = f (z) 就可以看做是把 z 平面上的,一个点集G(定义集合)变到 w 平面上的一个点

10、集G*(函数,值集合)的映射(或变换).,w称为 z 的象, 而z称为w 的原象.,如函数 ,-35-,工程数学-复变函数,例2.,解,在映射 下，,求下列点集在 w 平面上的象.,设,线段,双曲线,则,故线段,映射为线段,设,则,故,所以,为平行于 v 轴的直线.,-36-,工程数学-复变函数,3.复变函数的极限,定义,有定义,设函数w =f (z) 在 z0 的去心邻域 内,有,成立。,则称常数 A 为 当 z 趋于 z0,时的极限，记作,或记作当z z0 时, f (z)A.,-37-,工程数学-复变函数,定理一,定理二,如果,则,设,则,-38-,工程数学-复变函数,4. 复变函数的连

11、续性,定义,如果,则称 f (z) 在 z0 处连续.,如果 f (z) 在区域 D 内处处连续,定理三,充要条件是 u(x,y) 和 v(x,y) 在 (x0,y0) 处连续.,定理四,(分母在z0不为零)在z0处连续;,2)如果函数h =g(z)在z0处连续, 函数w = f (h)在h0 = g(z0),连续, 则复合函数 w = f g(z) 在 z0 处连续.,则称 f (z) 在 D 内连续.,函数 f (z) = u(x,y)+iv(x,y) 在 z0 = x0+ iy0 处连续的,1) 在z0连续的两个函数f (z)与g (z)的和, 差, 积, 商,-39-,工程数学-复变函

12、数,推论,1) 有理整函数 (多项式),在复平面内处处连续；,2) 有理分式函数,其中 P(z) 和 Q(z) 都是多项式, 在复平面分母不为零的点,连续.,-40-,工程数学-复变函数,作业,P11 1. (1) 2. 4. (2) (4) 6. (1) (2) 10. (2) (5) (6) (10) 13. 14. (3) (4) 15. (2) 17.,-41-,工程数学-复变函数,课后思考,1. 若,为自然数，,且,其中,为实数，,证明,2.,求证：,三个复数,成为等边三角形顶点的充要,条件是它们适合等式,3.,对于映射,求出圆周 的像.,-42-,工程数学-复变函数,Ch1 复数与复变函数,2. 复数的运算,加减法,乘 法,1. 复数的表示,一、知识要点,-43-,工程数学-复变函数,乘幂,方根,除法,共轭,-44-,工程数学-复变函数,3. 区域,邻域、内点、开集、区域、边界、闭域.,4. 曲线,简单曲线，连续曲线，光滑曲线,5. 复变函数,函数极限，,函数连续,1) 有理整函数 (多项式),2) 有理分式函数,-45-