九年级数学上册 20.3二次函数解析式的确定 教案 北京教改版

1、20.3二次函数解析式的确定1 .知识要点1 .如果知道二次函数在图像上的任意三点坐标，则用公式(a0 )求解析式。2 .如果知道二次函数图像的顶点坐标(或者对称轴最大值)，则适用将顶点坐标(h，k )设为顶点坐标的顶点。3 .如果知道二次函数图像和x轴的两个交点坐标，则应用交点。 在此，是抛物线与x轴的交点的横坐标2 .重点、难点：重点：求二次函数的函数关系式难点：建立适当的正交坐标系，求出函数关系式，解决实际问题。3 .教育建议：求二次函数的关系式，要适当选择二次函数的关系式的形式，适当选择，解题简单选择错误，解题麻烦解题时，要根据主题的特征灵活选择。典型例题已知某二次函数的图像经过点A(

2、-1，-6)、b (2，3 )、C(0，-5)这3点，求其函数关系式。分析：该图像通过点C(0，-5)后，可以得到，从其他2点建立关联的二维一次方程组，求出方程组，求出a、b的值即可。解：求二次函数的解析式因为图像超过了点C(0，-5)。另外，因为图像通过点A(-1，-6)、b (2，3 )，所以能够得到。求二次函数的解析式是说明：已知二次函数的图像通过三点时，以其关系式为例，可以确定a、b、c的值。 本问题可以从C(0，-5)先求出c的值。 由此，可以从另外两个点列举二元一次方程式，简化解题过程。例2 .已知的二次函数的图像的顶点是(1，)并且是经由点(-2，0 )，求出该二次函数的函数关系

3、式。分析：由于是从已知顶点开始的(1，)，所以只要能够设定，从点(-2，0 )决定a的值即可解：则图像超过点(-2，0 )，即：说明：如果标题知道二次函数图像的顶点坐标(h，k )，则一般设定，根据其他条件决定a的值。 本问题已经设置在已知条件下，但我们可以设置不同的形式而不是这种形式。 在这样的形式中，我们必须求出a、b、c的值，在这种形式中，只要在顶点是已知的条件下，确定1个字符的a的值，显然这种形式是因为我们能够更迅速地求出其函数关系式。例3 .通过已知的二次函数图像的对称轴，并且函数的最大值为2，图像和x轴之一的交点为(-1，0 )，获得该二次函数的解析表达式。解析：根据题意可知顶点坐

4、标为(-3，2 )，因此可以将解析式作为顶点式解：把这个二次函数的解析式图像经过(-1，0 )，求这个二次函数的解析式是即：说明：在问题设定的条件下，关系到顶点坐标、对称轴或函数的最大(最小值)时，可以将顶点作为解析式。例4 .已知二次函数的图像如图1所示，该二次函数的关系式是：图1分析：根据标题中图的信息，可以转换为公式(或顶点)(或点)。方法1 :由图像可知，该二次函数超过(0，0 )、(2，0 )、(1，-1)三点以解析式为根据标题求二次函数的解析式是方法2 :由图像可知，该二次函数图像的顶点坐标为(1，-1)以解析式为图像过去(0，0 )，求二次函数的解析式是也就是说方法3 :由图像可

5、见，该二次函数图像与x轴交叉于点(0，0 )、(2，0 )以解析式为图像通过(1，-1)，求得的二次函数解析式如下所示即：说明：题名的意义上有两种方法很简单。例5 .抛物线在x轴上切断的线段为4，顶点坐标为(2，4 )，可知可以求出该函数的关系式解析：抛物线是轴对称图形，所以抛物线和x轴的2个交点为(x1，0 )，(x2，0 )的话，有对称轴，利用这个对称性可以容易地求出二次函数的解析式解：顶点坐标是(2，4 )对称轴为直线x=2抛物线与x轴交点之间的距离为4两个交点的坐标是(0，0 )，(4，0 )求函数的解析式图像超过了(0，0 )点，求函数的解析式是例6 .可知二次函数的最大值为零，求出

6、该函数的解析式。分析：在问题的意义上，此函数图像的孔径必须向下，顶点的纵坐标值必须为零。 可以获得m的值，同时满足这两个条件。解：据题意从中得到从中得到：(舍去)求的函数式是即：例7 .已知某抛物线是抛物线平移得到的，该抛物线通过点a (1，1 )、b (2，4 )，求出其函数关系式。分析：设求抛物线的函数关系式，因为它是抛物线平移得到的，所以a=2，可以根据已知的条件列举b、c的二元一次方程组来解决本问题。解：设求出抛物线的函数关系式，从已知得到a=2，另外通过点a (1，1 )、b (2，4 )所以：解决：求出的抛物线的函数式如下所示说明：本问题的关键是求得抛物线与抛物线的平移关系如图2所

7、示，已知点a (-4，0 )和点b (6，0 )，在第三象限中具有点p，其横轴为-2，并且满足条件图2(1)求证：PAB为直角三角形。(2)求出通过p、a、b三点的抛物线的解析式，求出顶点坐标。分析： (1)中须证，已知条件：p表示PCx轴在(2)中，已知p、a、b三点的坐标，可以根据点的位置，用三种不同的方法求出抛物线的解析式解： (1)通过p，PCx轴位于点c，已知的易知AC=2，BC=8解： PC=4p点的坐标是(-2，-4)可以从链的定理求出来下次见APB是直角三角形(2)解法1可以使通过p、a、b三点的抛物线的解析式如下。，有的顶点坐标(1，)解法2 :从抛物线和x轴到a (-4，0

8、 )，b (6，0 )，可设定，抛物线可以超过点P(-2，-4)求出a值解法3 :从a (-4，0 )，b (6，0 )开始抛物线的对称轴是将a、b点的坐标代入解析式，就可以求出a、k的值例9 .如图3所示，在某市高速公路上的隧道口，是平面直角坐标系上的示意图，点a和A1、点b和B1分别为y轴对称，隧道拱形部分BCB1为抛物线，最高点c距路面AA1的距离为8米，点b距地面AA1的距离为6米，隧道宽度图3(1)求隧道拱形抛物线BCB1的函数式(2)现有的大型货车在装载某大型设备后，其宽度为4米，车载大型设备顶部与路面的距离均为7米，问能否安全通过该隧道。 请说明理由分析： (1)已知的得到顶点c

9、的坐标为(0，8 )，b点坐标为(-8，6 )，可以求出其函数关系式。(2)假定汽车从中间行驶，从其右端到y轴的距离为2，求抛物线上的横轴为2的点的坐标，然后看到到地面AA1的距离是否大于7米，就可以判断运输汽车能否安全地通过隧道。解： (1)如图所示，从已知到OA=OA1=8、OC=8，因此，c点坐标(0，8 )、b点坐标为(-8，6 )对隧道拱形抛物线BCB1函数公式的原则隧道拱形抛物线BCB1的函数关系式(2)货车从正中间行驶，把其最右正上方抛物线上的点的横坐标设为2，把这个点通过d，把DEx轴设为e当x=2时，d点的坐标是(2，7 )，de7货车可以安全通过这条隧道。说明：要求抛物线的

10、函数关系式，重要的是确定其上点的坐标，选择适当的形式求出其关系式。在本问题(2)的小题中，求抛物线上的纵坐标为7的点的坐标(有2个)，也能够比较这两点间的水平距离是否大于4。例10 .这些问题包括：已知二次函数的图像经由A(0，a )、b (1，2 )，该二次函数的图像的对称轴是直线，标题中的矩形框部分是被墨液复盖而不能辨认的文字。(1)能从现有的信息中求出主题中的二次函数的关系式吗？ 如果可能，写求解过程，如果不可能，说明理由。(2)根据现有的信息，在原题中的矩形框内填写适当的条件，补充原题。分析：仅凭a、b两点不能求出其关系式，但如果把等待证据的结论也看作已知的条件，则可以求出其关系式解：

11、 (1)能量、过程如下：从图像中通过点A(0，a )获得了c=a如果将图像的对称轴是直线视为已知的条件抛物线的对称轴是直线抛物线通过点b (1，2 )求的二次函数的关系式是(二)可补充条件：(或其他条件)说明：由于二次函数配方后可以变形，因此其图像的对称轴为直线，顶点坐标为()(2)第二个问题的回答不是唯一的，补充的条件只要能求出其关系式即可。例11 .如果已知4点a (1，2 )、b (0，6 )、c (-2，20 )、d (-1，12 )，且存在问题是否存在其图像同时通过这4点的二次函数，则要求其关系式如果不存在，则说明理由。解析：先求出经过a、b、c的抛物线的关系式，再验证点d是否在求出的抛物线上，如果不存在这样的二次函数，这样的二次函数就不存在。解：