电阻性网络的一般分析与网络定理

1、基本电路理论,电子信息与电气工程学院2004年7月,上海交通大学本科学位课程,第四章 电阻性网络的一般分析与网络定理,4.3 节点分析法系统方法,基本要求：,了解系统步骤中一般支路的概念,列写降阶关联矩阵A,了解系统方法列写电阻网络节点方程的过程,节点电导矩阵的建立和节点电流源列向量的正负问题,用视察法列写电阻网络节点方程,4.3 节点分析法系统方法,在第一章网络图论中已得到KCL、KVL矩阵方程,其中A为降阶关联矩阵，Ib为支路电流列向量，Vb为支路电压列向量，En为节点电压列向量。,AIb=0、Vb=ATEn,典型支路特性方程,对具有b条支路的网络所有支路电流、电压有,Ib=Gb(Vb-V

2、Sb)+ISb、Vb=Rb(Ib-ISb)+VSb,其中ISb、VSb分别为支路电流、电压源列向量，Gb、Rb分别为支路电导、电阻矩阵，都是bb阶对角阵。,KCL AIb=0 ,支路方程 Ib=Gb(Vb-VSb)+ISb ,KVL Vb=ATEn ,支路将 AIb=AGbVb-AGbVSb+AISb=0,AGbVb=AGbVSb-AISb ,将 AGbATEn =AGbVSb-AISb,定义节点电导矩阵 Gn=AGbAT,定义节点电流源列向量 IS = AGbVSb-AISb,则 GnEn = IS,其中Gn称节点电导矩阵，En是节点电压（对参考节点）列向量，IS为节点电流源列向量。,4.3

3、 节点分析法系统方法,节点方程,节点电导矩阵Gn,主对角线元素gii为自电导，总是正的，非主对角线元素gij为互电导，总是负的。,由Gn=AGbAT，进行转置，GnT=(AGbAT)T =( AT)T(AGb)T =AGbTAT=AGbAT，所以Gn是对称阵。,求解支路电压、支路电流,由节点方程Gn En = IS，求得节点电压En = Gn-1IS,已知En得支路电压Vb=ATEn，支路电流Ib=Gb(Vb-VSb)+ISb,在无受控源时，所得节点方程和视察法所得节点方程完全一样。,4.3 节点分析法系统方法,若是正弦稳态情况，则矩阵方程中的列向量均为相量列向量，支路电导矩阵和节点电导矩阵将

4、成为支路导纳矩阵 Yb和节点导纳矩阵Yn。此时Yb=Yb(j)，Yn=Yn(j)，称符号(或复数)导纳，都是j的函数。,对具有互感的电路，支路符号导纳矩阵将不再是对角矩阵，而是对称矩阵。设支路1、2间有互感，则,对具有受控源的电路，Yb和Yn，Gb和Gn一般就不再是对角阵或对称阵。当电路中含有受控源时，可以有两种处理方法,在建立支路矩阵（支路导纳矩阵或支路符号导纳矩阵）时将受控源考虑进去,先将受控源按独立源处理，最后转移到Gn或Yn中去。,4.3 节点分析法系统方法,4.4 网孔分析法,基本要求：,列写网孔矩阵M,了解系统方法列写电阻网络网孔方程的过程,网孔电阻矩阵的建立和网孔电压源列向量的正

5、负问题,用视察法列写电阻网络网孔方程,4.4 网孔分析法,根据对偶原理，在已知平面网络的节点矩阵和节点方程的情况下，完全可以得到有关网孔分析的方程。,定义：设网络N具有b条支路，m+1个网孔(包括外网孔)，网孔方向为：内网孔顺时针方向，外网孔逆时针方向。于是可得网孔关联支路的(m+1)b阶的网孔矩阵Ma=(mik),网孔矩阵Ma（其对偶矩阵是关联矩阵Aa）,网孔矩阵的秩 由r(Aa)=nt-1，可推知r(Ma)=(m+1)-1=m,网孔矩阵Ma（其对偶矩阵是关联矩阵Aa）,降阶网孔矩阵 在关联矩阵Aa中，把与参考节点对应的一行划去得降阶关联矩阵A。在网孔矩阵Ma中，把与外网孔对应的一行划去得降

6、阶网孔矩阵M。M的秩仍为m,KVL MVb=0,KCL Ib=MTJm,支路特性方程, Vb=Rb(Ib-ISb)+VSb,Rb是bb阶对角阵,4.4 网孔分析法,KVL MVb=0 ,支路方程 Vb=Rb(Ib-ISb)+VSb ,KCL Ib=MTJm ,支路将 MVb=MRbIb-MRbISb+MVSb=0,MRbIb=MRbISb-MVSb ,将 MRb MTJm =MRbISb-MVSb,定义 Rm= MRbMT,VS = MRbISb-MVSb,则 Rm Jm = VS,其中Jm是网孔电流列向量，VS为网孔电压源列向量，Rm称网孔电阻矩阵。,网孔方程,4.4 网孔分析法,网孔电阻矩

7、阵,对主对角线元素rii为自电阻，总是正的，非主对角线元素rij为互电阻，总是负的(网孔电流全取顺时针方向)。Rm是对称矩阵, rij=rji。,如果是正弦稳态情况，则列向量相量列向量，RbZb支路阻抗矩阵，RmZm网孔阻抗矩阵,对具有互感的电路，Zb对称矩阵,对求解支路电流、支路电压,由网孔方程Rm Jm = VS可求得网孔电流Jm = Rm-1VS,已知Jm得支路电流Ib=MTJm，支路电压Vb=Mb(Ib-ISb)+VSb,4.4 网孔分析法,4.5 基本回路分析法,基本要求：,回路、单连支回路的概念,列写基本回路矩阵B,了解用系统方法列写电阻网络回路方程的过程,回路电阻矩阵的建立和回路

8、电压源列向量的正负问题,任选一树应用视察法写出网络的回路方程,4.5 基本回路分析法,网孔分析有一定的局限性，而回路分析不受平面网络的限制，具有根大的灵活性。,网络图论基本定理指出，具有b 条支路，nt个节点的连通图有一个n = nt-1条树支组成的树，有l = b-nt+1= b-n 条连支，并且每一条连支都可以和一些树支构成一个唯一的回路，即基本回路。,根据KVL，对每个基本回路可得一个回路方程，总共为 l 个回路方程。由于每个基本回路中，总有一条新的连支，所以l 个回路方程是彼此独立的。,基本回路是由一条连支和一些树支组成的闭合路径，因此它与树的选择有关，一旦树被确定，就可得一个基本回路

9、矩阵，对基本回路矩阵的建立作如下的规定：支路的编号按先连支、后树支的次序编排，基本回路的方向取与连支的方向一致。于是有基本回路矩阵中各元素bik,基本回路矩阵Bf,4.5 基本回路分析法,，并总可表示成Bf =(1lF),因为在Bf中含有 l 阶单位阵，所以 r (Bf)=l，即基本回路矩阵的秩是l，是满秩的。,根据KVL BfVb=0,根据KCL 上面网络的支路电流ib与回路电流jl关系为,4.5 基本回路分析法,矩阵是63阶矩阵，前三行三列为单位阵，后三行三列正好是矩阵F的转置。所以，上面的63阶矩阵是基本回路矩阵Bf的转置BfT。,Bf =(1lF),4.5 基本回路分析法,KVL Bf

10、Vb=0 ,支路方程 Vb=Rb(Ib-ISb)+VSb ,KCL Ib=BfTJl ,支路将 BfVb=BfRbIb-BfRbISb+BfVSb=0,BfRbIb=BfRbISb-BfVSb ,将 BfRbBfTJl =BfRbISb-BfVSb,定义 Rl=BfRbBfT,ES = BfRbISb-BfVSb,则 Rl Jl = ES,其中Rl称基本回路电阻矩阵，Jl是基本回路电流列向量，ES为基本回路电压源列向量。,基本回路方程,4.5 基本回路分析法,回路方程的形式和网孔方程的形式是相似的。对于基本回路电阻矩阵,主对角线元素 rii为自电阻，总是正的，非主对角线元素 rij为互电阻，互

11、电阻的正负取决于回路i与回路j在公共支路上的方向，一致时取正，否则取负。,例 设6条支路的电阻分别为R1，R2，R6，用视察法求回路电阻矩阵和回路方程。,4.5 基本回路分析法,例 用视察法求电路的回路电阻矩阵和基本回路方程,解 将受控源当独立源处理，用视察法建基本回路方程。,用连支电流表示支路电流,即i2=J2，v4=R4i4=R4(J1-J2-J3),4.5 基本回路分析法,解 将受控源当独立源处理，用视察法建基本回路方程。,用连支电流表示支路电流，即i2=J2，v4=R4i4=R4(J1-J2-J3),4.5 基本回路分析法,4.6 基本割集分析法,基本要求：,割集、单树枝割集的拓扑概念

12、,列写基本割集矩阵Qf,了解用系统方法列写电阻网络回路方程的过程,割集电导矩阵的建立和割集电流源向量的正负问题,任选一树应用视察法写出网络的基本割集方程,4.6 基本割集分析法,在网络拓扑图中，树支和连支、基本割集和基本回路是互为对偶的元素，割集分析法和回路分析法是互为对偶的方法。只是互为对偶的基本割集和基本回路是由同一个树决定。,基本割集矩阵Qf,建立基本割集矩阵的规定,支路编号与建立基本回路时的编号一致,取树支的方向为基本割集的方向,基本割集矩阵Qf,建立基本割集矩阵的规定,支路编号与建立基本回路时的编号一致,取树支的方向为基本割集的方向,，可以表示成Qf =(E1n),Qf中含有n阶单位

13、阵，所以r (Qf) = n，基本割集矩阵Qf是满秩矩阵,4.6 基本割集分析法,基本割集矩阵Qf,，Qf =(E1n),由KCL Qf Ib=0,由KVL,Vt割集电压列向量，即树支电压列向量。由树支电压表示支路电压。,4.6 基本割集分析法,KCL QfIb=0 ,支路方程 Ib=Gb(Vb-VSb)+ISb ,KVL Vb=QfTVt ,支路将 QfIb=QfGbVb-QfGbVSb+QfISb=0,QfGbVb=QfGbVSb-QfISb ,将 QfGbQfTVt=QfGbVSb-QfISb,令 Gt=QfGbQfT,JS = QfGbVSb-QfISb,则 GtVt= JS,其中Gt

14、称基本割集电导矩阵，Vt是基本割集电压列向量，也即树支电压列向量，JS为基本割集电流源列向量 。,基本割集方程,4.6 基本割集分析法,4.6 基本割集分析法,基本割集电导矩阵Gt,主对角线元素gii为自电导，总是正的，非主对角线元素 gij为互电导，互电导的正负取决于割集 i与割集 j在公共支路上的方向，一致时取正，否则取负。,例 用视察法求图示电路的基本割集电导矩阵和基本割集方程。,解 用视察法建立基本割集方程，先将受控源当独立源处理。,例 用视察法求图示电路的基本割集电导矩阵和基本割集方程。,解 用视察法建立基本割集方程，先将受控源当独立源处理。,用割集电压（即树支电压）表示受控量，可根据 Vb= QfTVt 得 v4= vC4。,另外，i2=G2v2=G2(vC4-vC6) -G5ri2=-G2G5r(vC4-vC6