中考数学专题突破导学练第22讲矩形菱形正方形一试题

1、第22讲矩形、菱形、正方形（一）【知识梳理】1.直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。2.矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形。3.矩形的性质：矩形的四个角都是直角；矩形的对角线平分且相等。AC=BD 4.矩形判定定理： .有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。 .对角线相等的平行四边形是矩形。 .有三个角是直角的四边形是矩形。5.菱形的定义 ：邻边相等的平行四边形。6.菱形的性质：菱形的四条边都相等；菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角。 7.菱形的判定定理：.一组邻边相等的平行四边形是菱形。 对角线互相垂直的平行四边形是菱形。 四条边相等的四边形是菱形。 8.S菱形=ab

2、（a、b为两条对角线） 【考点解析】考点一：矩形的性质和判定【例1】（2017广西百色）矩形ABCD中，E、F分别是AD、BC的中点，CE、AF分别交BD于G、H两点求证：（1）四边形AFCE是平行四边形；（2）EG=FH【考点】LB：矩形的性质；L7：平行四边形的判定与性质【分析】（1）根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明即可；（2）可证明EG和FH所在的DEG、BFH全等即可【解答】解：（1）证明：四边形ABCD是矩形，ADBC，AD=BC，E、F分别是AD、BC的中点，AE=AD，CF=BC，AE=CF，四边形AFCE是平行四边形；（2）四边形AFCE是平行四边形，CEAF，D

3、GE=AHD=BHF，ABCD，EDG=FBH，在DEG和BFH中，DEGBFH（AAS），EG=FH【例2】（2017广东）如图，矩形纸片ABCD中，AB=5，BC=3，先按图（2）操作：将矩形纸片ABCD沿过点A的直线折叠，使点D落在边AB上的点E处，折痕为AF；再按图（3）操作，沿过点F的直线折叠，使点C落在EF上的点H处，折痕为FG，则A、H两点间的距离为【考点】PB：翻折变换（折叠问题）；LB：矩形的性质【分析】如图3中，连接AH由题意可知在RtAEH中，AE=AD=3，EH=EFHF=32=1，根据AH=，计算即可【解答】解：如图3中，连接AH由题意可知在RtAEH中，AE=AD=

4、3，EH=EFHF=32=1，AH=，故答案为考点二、菱形的性质和判定【例3】（2017广东）如图所示，已知四边形ABCD，ADEF都是菱形，BAD=FAD，BAD为锐角（1）求证：ADBF；（2）若BF=BC，求ADC的度数【考点】L8：菱形的性质【分析】（1）连结DB、DF根据菱形四边相等得出AB=AD=FA，再利用SAS证明BADFAD，得出DB=DF，那么D在线段BF的垂直平分线上，又AB=AF，即A在线段BF的垂直平分线上，进而证明ADBF；（2）设ADBF于H，作DGBC于G，证明DG=CD在直角CDG中得出C=30，再根据平行线的性质即可求出ADC=180C=150【解答】（1）

5、证明：如图，连结DB、DF四边形ABCD，ADEF都是菱形，AB=BC=CD=DA，AD=DE=EF=FA在BAD与FAD中，BADFAD，DB=DF，D在线段BF的垂直平分线上，AB=AF，A在线段BF的垂直平分线上，AD是线段BF的垂直平分线，ADBF；（2）如图，设ADBF于H，作DGBC于G，则四边形BGDH是矩形，DG=BH=BFBF=BC，BC=CD，DG=CD在直角CDG中，CGD=90，DG=CD，C=30，BCAD，ADC=180C=150【例4】【中考热点】（2017浙江衢州）在直角坐标系中，过原点O及点A（8，0），C（0，6）作矩形OABC、连结OB，点D为OB的中点，

6、点E是线段AB上的动点，连结DE，作DFDE，交OA于点F，连结EF已知点E从A点出发，以每秒1个单位长度的速度在线段AB上移动，设移动时间为t秒（1）如图1，当t=3时，求DF的长（2）如图2，当点E在线段AB上移动的过程中，DEF的大小是否发生变化？如果变化，请说明理由；如果不变，请求出tanDEF的值（3）连结AD，当AD将DEF分成的两部分的面积之比为1：2时，求相应的t的值【考点】LO：四边形综合题【分析】（1）当t=3时，点E为AB的中点，由三角形中位线定理得出DEOA，DE=OA=4，再由矩形的性质证出DEAB，得出OAB=DEA=90，证出四边形DFAE是矩形，得出DF=AE=

7、3即可；（2）作DMOA于M，DNAB于N，证明四边形DMAN是矩形，得出MDN=90，DMAB，DNOA，由平行线得出比例式， =，由三角形中位线定理得出DM=AB=3，DN=OA=4，证明DMFDNE，得出=，再由三角函数定义即可得出答案；（3）作作DMOA于M，DNAB于N，若AD将DEF的面积分成1：2的两部分，设AD交EF于点G，则点G为EF的三等分点；当点E到达中点之前时，NE=3t，由DMFDNE得：MF=（3t），求出AF=4+MF=t+，得出G（， t），求出直线AD的解析式为y=x+6，把G（， t）代入即可求出t的值；当点E越过中点之后，NE=t3，由DMFDNE得：MF

8、=（t3），求出AF=4MF=t+，得出G（， t），代入直线AD的解析式y=x+6求出t的值即可【解答】解：（1）当t=3时，点E为AB的中点，A（8，0），C（0，6），OA=8，OC=6，点D为OB的中点，DEOA，DE=OA=4，四边形OABC是矩形，OAAB，DEAB，OAB=DEA=90，又DFDE，EDF=90，四边形DFAE是矩形，DF=AE=3；（2）DEF的大小不变；理由如下：作DMOA于M，DNAB于N，如图2所示：四边形OABC是矩形，OAAB，四边形DMAN是矩形，MDN=90，DMAB，DNOA， =，点D为OB的中点，M、N分别是OA、AB的中点，DM=AB=3，

9、DN=OA=4，EDF=90，FDM=EDN，又DMF=DNE=90，DMFDNE，=，EDF=90，tanDEF=；（3）作DMOA于M，DNAB于N，若AD将DEF的面积分成1：2的两部分，设AD交EF于点G，则点G为EF的三等分点；当点E到达中点之前时，如图3所示，NE=3t，由DMFDNE得：MF=（3t），AF=4+MF=t+，点G为EF的三等分点，G（， t），设直线AD的解析式为y=kx+b，把A（8，0），D（4，3）代入得：，解得：，直线AD的解析式为y=x+6，把G（， t）代入得：t=；当点E越过中点之后，如图4所示，NE=t3，由DMFDNE得：MF=（t3），AF=4

10、MF=t+，点G为EF的三等分点，G（， t），代入直线AD的解析式y=x+6得：t=；综上所述，当AD将DEF分成的两部分的面积之比为1：2时，t的值为或【达标检测】一、 选择题：1. （2017贵州安顺）如图，矩形纸片ABCD中，AD=4cm，把纸片沿直线AC折叠，点B落在E处，AE交DC于点O，若AO=5cm，则AB的长为（）A6cmB7cmC8cmD9cm【考点】PB：翻折变换（折叠问题）；LB：矩形的性质【分析】根据折叠前后角相等可证AO=CO，在直角三角形ADO中，运用勾股定理求得DO，再根据线段的和差关系求解即可【解答】解：根据折叠前后角相等可知BAC=EAC，四边形ABCD是矩

11、形，ABCD，BAC=ACD，EAC=EAC，AO=CO=5cm，在直角三角形ADO中，DO=3cm，AB=CD=DO+CO=3+5=8cm故选：C2. （2017山东聊城）如图，ABC中，DEBC，EFAB，要判定四边形DBFE是菱形，还需要添加的条件是（）AAB=ACBAD=BDCBEACDBE平分ABC【考点】L9：菱形的判定【分析】当BE平分ABE时，四边形DBFE是菱形，可知先证明四边形BDEF是平行四边形，再证明BD=DE即可解决问题【解答】解：当BE平分ABE时，四边形DBFE是菱形，理由：DEBC，DEB=EBC，EBC=EBD，EBD=DEB，BD=DE，DEBC，EFAB，

12、四边形DBEF是平行四边形，BD=DE，四边形DBEF是菱形其余选项均无法判断四边形DBEF是菱形，故选D3. （2017山东临沂）在ABC中，点D是边BC上的点（与B，C两点不重合），过点D作DEAC，DFAB，分别交AB，AC于E，F两点，下列说法正确的是（）A若ADBC，则四边形AEDF是矩形B若AD垂直平分BC，则四边形AEDF是矩形C若BD=CD，则四边形AEDF是菱形D若AD平分BAC，则四边形AEDF是菱形【分析】由矩形的判定和菱形的判定即可得出结论【解答】解：若ADBC，则四边形AEDF是平行四边形，不一定是矩形；选项A错误；若AD垂直平分BC，则四边形AEDF是菱形，不一定是

13、矩形；选项B错误；若BD=CD，则四边形AEDF是平行四边形，不一定是菱形；选项C错误；若AD平分BAC，则四边形AEDF是菱形；正确；故选：D【点评】本题考查了矩形的判定、菱形的判定；熟记菱形和矩形的判定方法是解决问题的关键4. （2017山东泰安）如图，四边形ABCD是平行四边形，点E是边CD上一点，且BC=EC，CFBE交AB于点F，P是EB延长线上一点，下列结论：BE平分CBF；CF平分DCB；BC=FB；PF=PC，其中正确结论的个数为（）A1B2C3D4【考点】LA：菱形的判定与性质；KG：线段垂直平分线的性质；L5：平行四边形的性质【分析】分别利用平行线的性质结合线段垂直平分线的

14、性质以及等腰三角形的性质分别判断得出答案【解答】证明：BC=EC，CEB=CBE，四边形ABCD是平行四边形，DCAB，CEB=EBF，CBE=EBF，BE平分CBF，正确；BC=EC，CFBE，ECF=BCF，CF平分DCB，正确；DCAB，DCF=CFB，ECF=BCF，CFB=BCF，BF=BC，正确；FB=BC，CFBE，B点一定在FC的垂直平分线上，即PB垂直平分FC，PF=PC，故正确故选：D5. （2017浙江衢州）如图，矩形纸片ABCD中，AB=4，BC=6，将ABC沿AC折叠，使点B落在点E处，CE交AD于点F，则DF的长等于（）ABCD【考点】PB：翻折变换（折叠问题）；L

15、B：矩形的性质【分析】根据折叠的性质得到AE=AB，E=B=90，易证RtAEFRtCDF，即可得到结论EF=DF；易得FC=FA，设FA=x，则FC=x，FD=6x，在RtCDF中利用勾股定理得到关于x的方程x2=42+（6x）2，解方程求出x【解答】解：矩形ABCD沿对角线AC对折，使ABC落在ACE的位置，AE=AB，E=B=90，又四边形ABCD为矩形，AB=CD，AE=DC，而AFE=DFC，在AEF与CDF中，AEFCDF（AAS），EF=DF；四边形ABCD为矩形，AD=BC=6，CD=AB=4，RtAEFRtCDF，FC=FA，设FA=x，则FC=x，FD=6x，在RtCDF中

16、，CF2=CD2+DF2，即x2=42+（6x）2，解得x=，则FD=6x=故选：B二、填空题：6. (2017湖北咸宁)如图，点O是矩形纸片ABCD的对称中心，E是BC上一点，将纸片沿AE折叠后，点B恰好与点O重合若BE=3，则折痕AE的长为6【考点】R4：中心对称；LB：矩形的性质；PB：翻折变换（折叠问题）【分析】由折叠的性质及矩形的性质得到OE垂直平分AC，得到AE=EC，根据AB为AC的一半确定出ACE=30，进而得到OE等于EC的一半，求出EC的长，即为AE的长【解答】解：由题意得：AB=AO=CO，即AC=2AB，且OE垂直平分AC，AE=CE，设AB=AO=OC=x，则有AC=

17、2x，ACB=30，在RtABC中，根据勾股定理得：BC=x，在RtOEC中，OCE=30，OE=EC，即BE=EC，BE=3，OE=3，EC=6，则AE=6，故答案为：67. （2017 四川绵阳）如图，矩形ABCD的对角线AC与BD交于点O，过点O作BD的垂线分别交AD，BC于E，F两点若AC=2，AEO=120，则FC的长度为（）【考点】LB：矩形的性质；KD：全等三角形的判定与性质；T7：解直角三角形【分析】先根据矩形的性质，推理得到OF=CF，再根据RtBOF求得OF的长，即可得到CF的长【解答】解：EFBD，AEO=120，EDO=30，DEO=60，四边形ABCD是矩形，OBF=

18、OCF=30，BFO=60，FOC=6030=30，OF=CF，又RtBOF中，BO=BD=AC=，OF=tan30BO=1，CF=1，8. （2017.湖南怀化）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AOB=60，AC=6cm，则AB的长是（）【考点】LB：矩形的性质【分析】根据矩形的对角线相等且互相平分可得OA=OB=OD=OC，由AOB=60，判断出AOB是等边三角形，根据等边三角形的性质求出AB即可【解答】解：四边形ABCD是矩形，OA=OC=OB=OD=3，AOB=60，AOB是等边三角形，AB=OA=3，三、解答题9. （2017湖北荆州）如图，在矩形ABCD中，连接

19、对角线AC、BD，将ABC沿BC方向平移，使点B移到点C，得到DCE（1）求证：ACDEDC；（2）请探究BDE的形状，并说明理由【考点】LB：矩形的性质；KD：全等三角形的判定与性质；Q2：平移的性质【分析】（1）由矩形的性质得出AB=DC，AC=BD，AD=BC，ADC=ABC=90，由平移的性质得：DE=AC，CE=BC，DCE=ABC=90，DC=AB，得出AD=EC，由SAS即可得出结论；（2）由AC=BD，DE=AC，得出BD=DE即可【解答】（1）证明：四边形ABCD是矩形，AB=DC，AC=BD，AD=BC，ADC=ABC=90，由平移的性质得：DE=AC，CE=BC，DCE=

20、ABC=90，DC=AB，AD=EC，在ACD和EDC中，ACDEDC（SAS）；（2）解：BDE是等腰三角形；理由如下：AC=BD，DE=AC，BD=DE，BDE是等腰三角形10. （2017广东）如图，在平面直角坐标系中，O为原点，四边形ABCO是矩形，点A，C的坐标分别是A（0，2）和C（2，0），点D是对角线AC上一动点（不与A，C重合），连结BD，作DEDB，交x轴于点E，以线段DE，DB为邻边作矩形BDEF（1）填空：点B的坐标为（2，2）；（2）是否存在这样的点D，使得DEC是等腰三角形？若存在，请求出AD的长度；若不存在，请说明理由；（3）求证： =；设AD=x，矩形BDEF的面积为y，求y关于x的函数关系式（可利用的结论），并求出y的最小值【考点】SO：相似形综合题【分析】（1）求出AB、BC的长即可解决问题；（2）存在连接BE，取BE的中点K，连接DK、KC首先证明B、D、E、C四点共圆，可得DBC=DCE，EDC=EBC，由tanACO=，推出ACO=30，ACD=60由DEC是等腰三角形，观察图象可知，只有ED=EC，推出DB