《函数的连续性》PPT课件

1、二、 函数的间断点及其分类,一、 函数连续性的概念,第六节,函数的连续性,三、连续函数的运算法则,四、 初等函数的连续性,第二章,一、函数连续性的概念,第一类可去间断点,第一类跳跃间断点,第二类无穷间断点,第二类间断点,定义2.9,1. 连续函数的定义,若,且,则称函数,注,1函数连续的增量定义,那么称,为自变量的增量(或改变量).,若相应地函数 y 从,变到,称,为函数的增,量(或改变量).,定义2.10,设有函数 y = f (x). 当自变量 x 从,增量概念:,变到,2,3,定义2.11,f(x)在点 x0处连续的三要素：,证,例1,2. 单侧连续,定理,例2,解,讨论函数,在点x=1

2、处的连续性.,由于,所以 f(x) 在点 x=1 处不连续.,在区间上每一点都连续的函数, 叫做在该区间上的连续函数, 或者说函数在该区间上连续.,连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线.,3. 函数在区间上的连续性,记作,例3 证明函数,在,内连续 .,证,即,这说明,在,内连续 .,类似可证: 函数,在,内连续 .,4. 已知的连续函数,如果上述三个条件中有一个不满足，则称 f (x) 在,二、函数的间断点及其分类,1. 定义,(或间断点).,点x0 处不连续(或间断)，并称点x0为 f (x)的不连续点,2. 间断点的分类,振荡,同时存在,可去,跳跃,无穷,其他,至少有一个不存在,第 二

3、 类,根据：,为其第二类无穷间断点 .,为其第二类振荡间断点 .,为其第一类可去间断点 .,例4,(4),为其第一类跳跃间断点 .,例5,指出下列函数的间断点及其类型：,解,1 找 f(x) 无定义的点,2 判断间断点的类型,解,1找 f(x) 无定义的点,2 查分段点：,在各自定义域内连续.,三、连续函数的运算法则,定理2.14 在某点连续的有限个函数,积 ,商(分母0) 运算,结果仍是在该点连续的函数 .,例如：,经有限次和 , 差 ,1. 四则运算的连续性,例6,设,均在,上连续,证明函数,也在,上连续.,证,根据连续函数运算法则 ,可知,也在,上,连续 .,如果函数,例如：,在,上连续

4、单调递增，,其反函数,(证明略),在1 , 1上也连续单调递增.,且连续.,(减少),则其反函数,在区间,单调增加,在对应区间,(减少),上亦单调增加,且连续.,类似地,在区间,上连续单调递减.,2. 反函数的连续性定理2.15,在区间 ( , +)上连续.,证,1,2,例7,由夹逼准则及1，可得,3,3. 复合函数的连续性定理2.16,设函数 y = f u(x)由函数 y = f (u)与函数,u=u(x)复合而成,而函数 y = f(u),可以写成:,定理2.16的结论,1. 函数记号f 与极限记号可以交换次序;,意义:,例8,解,例9,证,可以证明：,对于取任何实数,均在其定义域内连续

5、.,四、初等函数的连续性,连续函数经四则运算仍连续,连续函数的复合函数连续,定理 基本初等函数在定义域内连续.,基本初等函数在定义域内连续,定义区间是指包含在定义域内的区间.,例如,的连续区间为,(端点为单侧连续),的连续区间为,注,1 初等函数仅在其定义区间上连续, 在其 定义域内不一定连续;,如：,在这些孤立点的去心邻域 (邻域半径不超过2)内没有定义,在O点的去心邻域(邻域半径不超过1)内没有定义,因此它无连续点.,因此它在 x=0 处不连续，从而在其定义域内不连续.,2 初等函数求极限的方法代入法.,例10,解,x=0是它的定义,区间内的点,例11 设,解,讨论复合函数,的连续性 .,

6、故此时连续;,而,故,x = 1为第一类,在点 x = 1 不连续 ,间断点 .,内容小结,左连续,右连续,第一类间断点,可去间断点,跳跃间断点,左右极限都存在,第二类间断点,无穷间断点,振荡间断点,左右极限至少有一个不存在,在点,间断的类型,在点,连续的等价形式,其它间断点,3. 基本初等函数在定义区间内连续,连续函数的四则运算的结果连续,连续函数的反函数连续,连续函数的复合函数连续,初等函数在定义区间内连续,说明: 分段函数在分段点处是否连续需讨论其 左、右连续性.,思考与练习,1. 讨论函数,x = 2 是第二类(无穷)间断点 .,间断点的类型.,2. 设,时,提示:,为,连续函数.,答

7、案: x = 1 是第一类(可去)间断点 ,3.,续?,反之是否成立?,解,且,反例：,x 为有理数,x 为无理数,处处间断,处处连续 ，但,“反之” 不成立 .,4.试分别举出,是 f (x) 的所有间断点,且它们都是无穷间断点；,(2) f (x)在R上处处不连续，但,在R上处处连续；,(3) f (x)在R上处处有定义，但仅在一点连续.,解,具有以下性质的函数 f(x) 的例子：,5. 求,方法1,原式 =,方法2,令,则,原式 =,时，,6 试确定常数 a 使,解,令,则,故,因此,解,备用题例2-1,例2-2,解,例2-3,解,应当怎样选择a,使得 f (x) 在 x=0 处连续.,

8、由连续的充要条件,得 a=1.,所以当a=1时，f(x)在x=0处连续.,例2-4,解,即,例4-1,解,讨论函数,因为f(x)在x=0处无定义,所以x=0是f(x)的间断点,又,注 故若补充定义f(0)=1,则函数,在x=0处就连续了,因此, 这类间断点被称为可去间断点.,例5-1 讨论函数,解 间断点,为无穷间断点;,故,为跳跃间断点.,间断点的类型.,例5-2,解,讨论函数,在 x=0 处的连续性.,f (x) 在 x=0 处左连续,f (x)在 x=0 处间断.,函数 f(x) 的图形在 x=0 处有一个“跃度”,故称跳跃间断点.,例5-3,解,故函数在这些点处间断.,故x=0是第一类间断点.,是第一类间断点.,是第二类间断点.,例8-1,求,解 令,则,原式,特别地，若 a = e，则,例8 求,解,原式,特别地，若 a = e，则,例8-3,证,例8-4,解,原式,例8-5,解,原式=,是由连续函数链,故,复合而成 ,例10-1,解,