2.2.2向量的正交分解与向量的直角坐标运算

1、平面向量的坐标运算,平面向量的基本定理,其实质：同一平面内任一向量都可以表示为两个不共线向量的线性组合.,复习：,把一个向量分解为两个互相垂直的向量, 叫做把向量正交分解.,(一) 向量的正交分解,如图:,将向量 分解成水平和竖直的两个向量.,B,C,向量的坐标表示,在平面直角坐标系中, 分别取 x 轴、y 轴方向的单位向量 i、j 作为一组基底.,根据向量基本定理, 坐标平面内的任一向量 a 都可用向量 i、j 表示.,x,y,o,i,j,a,b,4i,2j,3i,-6j,的坐标表示为:,图中向量,如图:,向量的坐标与点的坐标关系,问题：,若已知 =（1 ，3） ， =（5 ，1），,（6，

2、4）,猜想：,=（x1 , ） + ( , y2 ),结论:,两个向量和 ( 差 ) 的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和 ( 差 ).,实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标.,练设平面向量a(3,5)、b(2,1)， 则a2b() A(7,3) B(7,7) C(1,7) D(1,3) 答案A 解析a2b(3,5)2(2,1) (7,3),例 . 如图, 分别用基底 i、j 表示向量 a、b、c, 并写出它们的坐标.,解:,= (2, 3).,= (5, 0).,= (-5, 1).,合作探究与指导应用,(3,1）,（x1，y1）,（x2，y2）,答案A,例 . 如图, 已

3、知ABCD的三个顶点A、B、C 的坐标分别是 (-2, 1) 、 (-1, 3) 、 (3, 4), 试求顶点 D的坐标.,解:,在ABCD中,(-1+2,3-1),=(1, 2),设点 D(x, y),则,(3-x,4-y),由 得,(1, 2) = (3-x, 4-y),得,解得,顶点 D 的坐标是(2, 2).,分类讨论思想 已知平面上三点的坐标分别为A(-2, 1 )、B(-1,3)、C(3，4)，再求一点D，使这四个点构成平行四边形，则D点的坐标为_,练习： 已知点O（0，0），A（1，2），B（4，5）且 （1）求点P在第二象限时，实数t的取值范围； （2）四边形OABP能否为平行

4、四边形？若能，求出相应的实数t;若不能，请说明理由. 解 O（0，0），A（1，2），B（4，5）， =（1，2）， =（4-1，5-2）=（3，3）. （1）设P（x，y），则 =（x，y），若点P在第二象限， x0 y0,则,且(x,y)=(1,2)+t(3,3),练习： 已知点O（0，0），A（1，2），B（4，5）且 （1）求点P在第二象限时，实数t的取值范围；,x=1+3t 1+3t0 y=2+3t 2+3t0, , ,练习： 已知点O（0，0），A（1，2），B（4，5） 且 （2）四边形OABP能否为平行四边形？若能，求出相应的实数t;若不能，请说明理由.,（2）因为 =（1，2）， （3-3t，3-3t）， 若四边形OABP为平行四边形，则 3-3t=1 3-3t=2,无解， 四边形OABP不可能为平行四边形.,【课时小结】,1. 向量的坐标表示,在平面直角坐标系中, 分别取 x 轴、y 轴方向的单位向量 i、j 作为一组基底, 对坐标平面内的任一向量 a 作正交分解,如图, 正交分解向量 a,(x, y) 叫做向量 a 的坐标, 记作,a = xi+yj,a = (x, y).,向量 a 的坐标表示,【课时小结】,2. 向量的坐