薛定谔方程.ppt

1、1,第二十七章 薛定谔方程,量子围栏,2,27.1 薛定谔方程,27.2 无限深方势阱中的粒子,27.3 势垒穿透,27.4 一维谐振子,*27.5 力学量算符,第二十七章 薛定谔方程,3,27.1 薛定谔方程,1926年的一次学术讨论会上，年轻的薛定谔 介绍了德布罗意的关于物质波假说的论文， 物理学家德拜（P. Debey）评论说：“对于波 应该有个波动方程。”,几个星期后，薛定谔又作了一次报告。开头 就兴奋地说：你们要的波动方程我找到了！ 这就是著名的薛定谔方程。,4,薛定谔方程是量子力学的基本动力学方程， 在量子力学中的地位如同牛顿方程在经典 力学中的地位。,同牛顿方程一样，薛定谔方程不

2、能由其它的 基本原理推导得到，是量子力学的一个基本 的假设，其正确性也只能靠实验来检验。,5,一. 薛定谔方程（1926）,m 粒子的质量 U 粒子在外力场中的势能函数 2 拉普拉斯算符,1维：,6, 薛定谔方程是线性偏微分方程，其解满足 态叠加原理。, 薛定谔方程关于时间是一阶的，不同于经典 波动方程关于时间是二阶的。, 薛定谔方程是量子力学的一个“基本假定”， 是非相对论形式的方程。,若 和 是方程的解，,则 也是方程的解。, 方程含有虚数 i ，其解 是复函数，不可 测量， 是概率密度，可测量。,7,二. 哈密顿量,若 U 不显含时间，则 H 称为能量算符。,用哈密顿量，薛定谔方程可写成

3、,势函数 U 不显含时间的情况很重要。, 哈密顿算符,这时薛定谔方程可通过分离变量求解。,8,经典力学中，改变宏观粒子运动状态的原因 是作用在粒子上的力。,只讨论势函数 U 与时间无关的情况。,量子力学中，哈密顿量决定了微观粒子波函 数随时间的演化，即决定了粒子的运动状态。,外界对粒子的作用，包括不能用力来表达的 微观相互作用，一般都可以用哈密顿量中的 势函数 来概括。,9,如果势函数 U 不显含 t，则可设：,代入薛定谔方程得：,上式可分为下面两个方程：,三. 定态薛定谔方程 能量本征方程,两边除以 得：,10,方程 (1) 的解：,方程 (2) 就是定态薛定谔方程：,E 具有能量量纲，C

4、可以是复数。,（振动因子）, 能量本征方程,(1),(2),11,数学上：E 不论取何值，方程都有解。,物理上：E 只有取某些特定值，方程的解才 能满足波函数条件：单值、有限、连续。, 满足方程的特定的 E 值称为能量本征值。, E 称为与 E 对应的本征波函数。,物理含义：若粒子处于 E 态，则粒子的 能量为 E 。,12,为讨论方便，设 E 取分立值（分立谱）： En，n = 1, 2, 3, 相应的本征波函数为 n，n = 1, 2, 3, , 定态：能量取确定值的状态，是薛定谔 方程的特解：,对不同的势函数和能量区间，能量本征值 E 可能取分立的值，也可能取连续值。, 薛定谔方程的通解

5、与定态解的关系,13,薛定谔方程的通解是各定态解的线性叠加：,对分立谱，薛定谔方程的一系列定态解为：,（Cn 是任意复常数）,14,在很多问题中势函数不显含时间，薛定谔 方程的求解可通过解能量本征方程 定态 薛定谔方程来解决。因此，能量本征方程 的求解，在量子力学中占有重要地位。,一维定态薛定谔方程：,定态薛定谔方程的意义,15, 本征值问题：给定势能函数 U(x)，求粒子 的能量 E 和相应的本征波函数 n(x) 。,后面通过求解一维定态薛定谔方程来讨论 两类问题：, 散射问题：粒子的能量 E 确定，射向势垒 U(x)，计算粒子穿透势垒的概率。,一维定态薛定谔方程常用形式：,16,薛定谔（1

6、887 1961） Erwin Schrodinger 奥地利人 1933年诺贝尔物理学 奖获得者 量子力学的创立,17,一. 一维无限深方势阱模型,27.2 无限深方势阱中的粒子,表面电子运动限于区间 a,18,二. 定态解,|x| a/2 区间：,|x| a/2 区间：,19,（先设 E 0，后面解释）,令,通解：,20,连续条件：,（l1 和 l2 是整数）,整个波函数应在势阱边界处连续,令,（l 是整数）,21,1. 能量本征值, l = 0 时， = 0，, l = 1 时， = /2，,l 为其它整数值时，解的形式重复（可差正 负号，但不影响 | |2 ），舍去。, 奇函数, 偶函

7、数,从能量意义看应有 E 0，但 E = 0 可能吗？,当粒子运动范围受到限制时（在势阱中），,根据不确定关系，动量的不确定度 p 0，,所以动量 p 0, E 0,22,合并一起有：,23,结论：束缚在势阱中的粒子的能量只能取分 立值 En 能量量子化，每个能量值对应一 个能级，En 称为能量本征值，n 称为量子数。,最低能量, 零点能,零点能是量子力学特有结果，经典力学中 没有。根源是波粒二象性，不确定关系。,能级间隔,24,宏观或大量子数情形，可认为能量连续。,2. 波长 ,由能量、动量关系和德布罗意关系有：,25,上式表明，无限深势阱中的德布罗意波具有 驻波形式（势阱边界为波节）。,每

8、一个能量的本征态，对应于德布罗意波的 一个特定波长的驻波。,由于势阱中德布罗意波只有取驻波形式才稳 定，所以也可以反过来说：,势阱中的能量量子化是德布罗意波形成 驻波的必然结果。,26,3. 能量本征函数,归一化条件：,27,能量本征函数,定态波函数和能量本征态,考虑振动因子有,概率密度,28,束缚态,29,n很大时，势阱内粒子概率分布趋于均匀,量子 经典,玻尔对应原理：大量子数极限下，量子体系 行为趋于与经典一致。,30,27.3 势垒穿透,一. 粒子进入势垒,金属与半导体接触处，势能隆起形成势垒。,势垒的物理模型：,1. 一维势垒模型,31,粒子从 x = - 处以特定能量 E (E U0

9、) 入射，,2. 问题,经典图像：,量子图像：,粒子无法跃上台阶，只能反射。,粒子具有波动性，波不仅被反射，,而且能透射进入势垒区，,只要U0 有限。,能进来吗？,能进来！,32,3. 定态薛定谔方程,I 区（x 0）：,令,II 区（x 0）：,令,有,有,33,入射波,反射波,透射波,4. 通解,当 x 时，2(x) 应有限，, D = 0。,（波动型解）,（指数型解）,34,在势垒区粒子出现概率 0 ！,5. 势垒区的概率密度,势垒增高 (U0) 或透入深度增加 (x) 透入的概率下降,经典：粒子不能进入 E U 区域（动能 0）,量子：粒子有一定的概率进入势垒区,物理现象：电子可逸出金

10、属表面，在金属表 面形成一层电子气。,35,二. 有限宽势垒和隧道效应,波可以穿过有限宽势垒，以平面波形式继续 前进，称为势垒穿透或隧道效应。,36,1. 穿透系数 T 透过势垒的概率,穿透系数 0，此时隧道效应在实际上没有 意义，量子概念过渡到了经典。,当 U0 E = 5 eV，垒宽 a 50 nm 以上时，,垒宽 a 或 (U0 E) T ,37,经典物理：,量子物理：,若 x = a 很小，p 和 E 就很大，,2. 怎样理解粒子穿过势垒区?,从而粒子能量的不确定量 E 0 ：,E +E U0，,粒子穿过势垒和能量守恒不矛盾。,区宽度 a 不是无限大，,根据不确定关系就有,从能量守恒角

11、度看是不可能的。,在势垒区，位置不确定度 x = a，,只要势垒,p 0，,粒子就有一定概率穿过势垒。,以至有,38,39,三. 隧道效应的应用,隧道二极管，金属场致发射，核的 衰变,1. 核的 衰变,238U 234Th + 4He, 粒子通过隧道效应 克服势垒从核出来。,对不同的核，算出的 衰变概率和实验一致。,E = 4.25MeV,40,1986年诺贝尔物理学奖，宾尼、罗赫尔发明 STM，鲁斯卡发明电镜,2. 扫描隧道显微镜（STM）,应用：观测物质表面的微观结构,原理：利用量子隧道效应,41,C 常量, 样品表面平均势 垒高度（ eV）,d 1nm（10）,d 变 i 变，反映表面情

12、况,E,42,隧道电流 i，对针尖和样品表面之间的距离 d 非常敏感。用金属探针在样品表面扫描， 通过隧道电流的变化就能记录下样品表面 的微观形貌和电子分布等信息。,扫描隧道显微镜在表面物理、材料科学、 化学和生物等很多领域的科学研究中都有 重要的应用。,43,44,【TV】扫描隧道显微镜,CO 在 Pt（111）表面,Xe 在 Ni（110）表面,表面原子操纵,45,经典谐振子能量取值连续，用这种模型无法 正确解释黑体辐射、低温下晶体比热等问题,选谐振子平衡位置为坐标原点和势能零点：,m 粒子质量 k 劲度系数,谐振子的角频率,27.4 一维谐振子,1. 势能, 谐振子能量必需量子化。,46

13、,2. 定态薛定谔方程,3. 谐振子的能量,解定态薛定谔方程得,由,和,有,47,能量特点：, 量子化，等间距：,符合不确定关系。, 有零点能：,所以室温下分子可视为刚性。, n ，,符合对应原理。,能量量子化 能量连续,对宏观振子能量，n 1025，,分子振动,E 10-2 10-1eV kT（室温）,48,4. 谐振子的波函数,Hn 是厄密（Hermite）多项式：,49,5. 概率密度,波函数,概率密度,50,线性谐振子 n =11 时的概率密度分布：,经典谐振子在原点附近小区间内速度最大，,在端点附近区间速度为零，出现概率最大。,停留时间最短，粒子出现的概率最小；,51,概率密度特点：

14、, 概率在 E U 区仍有分布, 隧道效应, n 时，量子概率分布 经典概率分布， 符合对应原理。,52,例如基态位置概率分布在 x = 0 处最大：,而经典振子出现在 x = 0 附近的概率最小。, n小时，概率分布与经典谐振子完全不同,53,以位矢 为自变量的空间，称“坐标表象”。,*27.5 力学量算符,“算符化”。,由不确定关系知，在坐标表象中动量与坐标,不存在关系 ，,否则“轨道”概念成立。,在量子力学中，,角动量,和能量等力学量问题时，,处理诸如动量、,需要将这些力学量,54,一维自由粒子波函数,一. 力学量算符的引入,对 求导，可得：,55,定义能量算符、动量算符和坐标算符分别为

15、：,将它们作用到一维自由粒子波函数上，有：,（非 的本征态）,56,以坐标为函数的力学量，其量子力学所对应 的算符形式不变，如势能 。,与动量有关的经典力学量，其量子力学所对 应的算符可用动量的对应关系得出。,例如经典动能：,在坐标表象中，算符化的规则：,动能算符：,57,角动量算符,在直角坐标系中：,58,在球极坐标中：,59,在球极坐标中：,角动量算符的模方,在直角坐标系中：,60,二.力学量算符的本征值和本征函数,当算符 作用在函数 上，若其结果是 同一个函数乘以一个常量时：,是描述力学量 A 取确定值 时的本征态，,称上式为算符 的本征方程；,称为力学量 A 的本征值；,称为相应于 的

16、本征函数。,61,求解本征方程，得到全部本征值，它们就是 相应力学量的可能取值。,构成力学量 A 的本征函数系。,构成力学量 A 的本征值谱；,定态薛定谔方程,就是能量的本征方程，,就是能量算符，,n 就是能量取本征值 En 时的本征函数。,【例1】,62,直角坐标系下，动量本征方程的解为：,这正是一维自由粒子波函数的空间部分。,动量算符 的本征方程是,在该态上，自由粒子有确定的动量 px 。,【例2】,63,三. 本征函数的性质（以一维为例）, 本征函数总可以归一化：, 本征函数有正交性，即：, 的本征函数 是 A 取定值 An 的态。, 的本函数系 构成正交、归一的 完备函数系。,64,

17、本征函数具有完备性：,完备性：在相同函数空间内，任一物理上 合理的归一化波函数，都可由力 学量 A 的本征函数系线性展开：,|Cn|2 表示 状态中包含 状态的百分比,65,四. 力学量的测量原理、力学量的平均值,量子力学假设：对力学量 A 进行测量，每 次测量值一定是 A 的某个本征值。,1. 力学量的测量原理, 如果粒子所处状态 恰好是力学量 A 的某个本征态 ，则在该状态测量 A， 每次测量结果是确定的，就是 An 。, 如果粒子所处状态 不是力学量 A 的 本征态，则在该状态测量 A，每次测量 所得本征值一般不相同（取值不确定），,66,2. 态叠加原理 量子力学第一原理,但每次所测得

18、的某个本征值的相对概率是 确定的。或者说进行大量测量，测量结果 中出现某个本征值的相对概率是确定的。,以两态叠加为例，设 1 和 2 是力学量 A 的两个不同本征态（A1 A2），则状态：,称为 1 与 2 的线性叠加态。,线性叠加态概念,67,由测量原理可知，在叠加态 测量力学量 A，将导致测量结果的不确定性：,或是 A1 或是 A2。,测得 A1 的概率：,测得 A2 的概率：,粒子处于叠加态 是指：,任一时刻，系统要么处于 态，概率为 P1，,注意：,要么处于 态，概率为 P2。,68,3. 力学量 A 的平均值,设粒子处于由力学量 A 的若干本征态 n 构 成的线性叠加态（设已归一化）：,即由本征函数可计算力学量的平均值。,则在状态 上对力学量 A 作大量测量后， 可得确定的测量平均值：,69,可