扭转 4

1、1,第四章 扭 转,材料力学,2,41 引言 42 外力偶矩和扭矩 43 薄壁圆筒的扭转 44 圆轴扭转时的应力 强度计算 45 圆轴扭转时的变形 刚度计算 46 非圆截面杆扭转简介,第四章 扭 转,*圆轴扭转超静定问题,3,扭转,41 引 言,轴： 工程中以扭转为主要变形的构件。如：机器中的传动轴、石油钻机中的钻杆、汽车转向轴、搅拌器轴等。,受力特点：在垂直于杆轴线的平面内作用有力偶.,变形特点：任意横截面绕杆轴相对转动。（杆表面纵线螺 旋线扭转变形）,4,扭转,扭转角(相对扭转角)（）：任意两横截面绕轴线转动而 发生的角位移。 剪应变(切应变)（）：直角的改变量。,5,扭转,工 程 实 例

2、,6,扭转,42 外力偶矩和扭矩,一、外力偶矩,其中：P 功率，千瓦（kW） n 转速，转/分（rpm）,其中：P 功率，马力（PS） n 转速，转/分（rpm）,1kW = 1000Nm/s = 1.36PS,使杆件产生扭转变形的力偶矩。数值上等于杆件所受外力对杆轴的力矩。,传动轴的传递功率、转速与外力偶矩的关系：,7,3 扭矩的符号规定： “T”的转向与截面外法线方向满足右手螺旋法则为正，反之为负。,扭转,二、扭矩及扭矩图,1 扭矩：构件受扭时，横截面上的内力偶矩，记作“T”。,2 截面法求扭矩,8,扭转,4 扭矩图：表示扭矩沿轴线方向变化规律的图线。,目 的,x,T,9,扭转,例1已知：

3、一传动轴， n =300r/min，主动轮输入 P1=500kW，从动轮输出 P2=150kW，P3=150kW，P4=200kW，试绘制扭矩图。,解：计算外力偶矩,10,扭转,求扭矩（扭矩按正方向设）,求扭矩: 任意截面的扭矩,数值上等于截面一侧轴段所有外力偶矩的代数和. 转向与这些外力偶矩的合力偶矩之转向相反.,11,扭转,绘制扭矩图,BC段为危险截面。,x,T,4.78,9.56,6.37,12,扭转,43 薄壁圆筒的扭转,一、实验：,1.实验前：,绘纵向线，圆周线；,施加一对外力偶 m。,13,扭转,2.实验后：,圆周线的大小、形状、间距不变； 纵向线变成斜直线，倾角相同。,3.结论：

4、各圆周线的间距均未改变横截面上无正应力.,圆周线的形状、大小均未改变，只是绕轴线作了相对转动周向无正应力,纵向线倾斜横截面上有切应力.,各纵向线均倾斜了同一微小角度 切应力均匀分布.,14,扭转,横截面上无正应力 周向无正应力 横截面上各点处，只产生垂直于半径的均匀分布的切应力 ，沿周向大小不变，方向与该截面的扭矩方向一致。,微小矩形单元体如图所示：,15,扭转,二、薄壁圆筒切应力 与剪应变g：,A0：平均半径所作圆的面积。,切应力,剪应变,16,扭转,三、切应力互等定理：,上式称为切应力互等定理。 该定理表明：在单元体相互垂直的两个平面上，切应力必然成对出现，且数值相等，两者都垂直于两平面的

5、交线，其方向则共同指向或共同背离该交线。,17,扭转,四、剪切虎克定律：,单元体的四个侧面上只有切应力而无正应力作用，这种应力状态称为纯剪切应力状态。,薄壁圆筒体扭转实验,18,扭转,T=m,剪切虎克定律：当切应力不超过材料的剪切比例极限时（ p) (在弹性范围内)，切应力与剪应变成正比关系。,在一定范围内,19,扭转,式中：G是材料的一个弹性常数，称为剪切弹性模量，因 无量纲，故G的量纲与 相同，不同材料的G值可通过实验确定，钢材的G值约为80GPa。,剪切弹性模量、弹性模量和泊松比是表明材料弹性性质的三个常数。对各向同性材料，这三个弹性常数之间存在下列关系（推导详见后面章节）：,可见，在三

6、个弹性常数中，只要知道任意两个，第三个量就可以推算出来。,20,扭转,44 圆轴扭转时的应力 强度计算,圆轴横截面应力,变形几何方面 物理关系方面 静力学方面,1. 横截面变形后 仍为平面； 2. 轴向无伸缩； 3. 纵向线变形后仍为平行。,一、等直圆轴扭转实验观察：,21,22,扭转,二、等直圆轴扭转时横截面上的应力：,1. 变形几何关系：,距圆心为 任一点处的与到圆心的距离成正比。, 扭转角沿长度方向变化率(单位长度扭转角)。,23,扭转,T,2. 物理关系：,胡克定律： 代入上式得：,距圆心等距离处的切应力相等,24,扭转,3. 静力学关系：,令,代入物理关系式 得：,25,扭转,横截面

7、上距圆心为处任一点切应力计算公式。,4. 公式讨论： 仅适用于各向同性、线弹性材料，在小变形时的等圆截面 直杆。, 式中：T横截面上的扭矩，由截面法通过外力偶矩求得。 该点到圆心的距离。 Ip极惯性矩，纯几何量，无物理意义。,26,扭转,单位：mm4，m4。, 尽管由实心圆截面杆推出，但同样适用于空心圆截面杆， 只是Ip值不同。,D,d,O,27,扭转,O,d,28,扭转, 应力分布,T,t,max,t,max,t,max,T,（实心截面）,（空心截面）,工程上采用空心截面构件：提高强度，节约材料， 结构轻便，应用广泛。,29,扭转, 确定最大切应力：,Wt 抗扭截面系数（抗扭截面模量）， 几

8、何量，单位：mm3或m3。,30,扭转,三、等直圆杆扭转时斜截面上的应力,低碳钢试件： 沿横截面断开。,铸铁试件： 沿与轴线约成45的螺旋线断开。,因此还需要研究斜截面上的应力。,31,扭转,1. 点M的应力单元体如图(b)：,(a),(b),t,t,(c),2. 斜截面上的应力； 取分离体如图(d)：,(d),32,扭转,(d),n,t,转角规定： 轴正向转至截面外法线,逆时针：为“+” 顺时针：为“”,由平衡方程：,解得：,33,扭转,分析：,当 = 0时，,当 = 45时，,当 = 45时，,当 = 90时，,由此可见：圆轴扭转时，在横截面和纵截面上的切应力为最大值；在方向角 = 45的

9、斜截面上作用有最大压应力和最大拉应力。根据这一结论，就可解释前述的破坏现象。,34,扭转,四、圆轴扭转时的强度计算,强度条件：,对于等截面圆轴：,( 称为许用切应力。),强度计算三方面：, 校核强度：, 设计截面尺寸：, 计算许可载荷：,静载下: = ( 0.5 0.6 ) s ( 钢 ) = ( 0.8 1.0 ) s ( 铸铁 ),35,扭转,例2 功率为150kW，转速为15.4转/秒的电动机转子轴如图， 许用切应力 =30M Pa, 试校核其强度。,T,m,解：求扭矩及扭矩图,计算并校核切应力强度,此轴满足强度要求。,x,36,扭转,45 圆轴扭转时的变形 刚度计算,一、扭转时的变形,

10、由公式,知：长为 l一段等截面杆两截面间相对扭转角 为,单位: 弧度(rad),37,扭转,二、单位扭转角q：,或,三、刚度条件,或,GIp反映了截面抵抗扭转变形的能力，称为截面的抗扭刚度。,q称为许用单位扭转角。,38,扭转,刚度计算的三方面：, 校核刚度：, 设计截面尺寸：, 计算许可载荷：,有时，还可依据此条件进行选材。,q 根据机器要求、轴的工作条件确定。 可查手册。,精密机器轴： q = （ 0.15 0.30 ）/m,一般传动轴： q = （ 0.30 .0 ）/m,精度不高的轴： q = （ .0 . ）/m,39,扭转,例3长为 L=2m 的圆杆受均布力偶 m=20Nm/m 的

11、作用，如图，若杆的内外径之比为 =0.8 ，G=80GPa ，许用切应力 =30MPa，试设计杆的外径；若q=2/m ，试校核此杆的刚度，并求右端面转角。,解：设计杆的外径,40,扭转,40Nm,x,T,代入数值得：,D 0.0226m。, 由扭转刚度条件校核刚度,41,扭转,40Nm,x,T,右端面转角为：,42,例4 某传动轴设计要求转速n = 500 r / min，输入功率N1 = 500 马力， 输出功率分别 N2 = 200马力及 N3 = 300马力，已知：G=80GPa ， =70M Pa，f=1/m ，试确定： AB 段直径 d1和 BC 段直径 d2 ？ 若全轴选同一直径，

12、应为多少？ 主动轮与从动轮如何安排合理？,扭转,解：图示状态下,扭矩如图，由强度条件得：,T,x,7.024, 4.21,(kNm),43,扭转,由刚度条件得：,T,x,7.024,4.21,(kNm),44,扭转,综上：,全轴选同一直径时,45,扭转, 轴上的绝对值最大的扭矩越小越合理，所以，1轮和2轮应 该换位。换位后,轴的扭矩如图所示,此时,轴的最大直径 为 75mm。,T,x, 4.21,(kNm),2.814,46,扭转,圆轴扭转的超静定问题,解决扭转超静定问题的方法步骤：,平衡方程；,几何方程变形协调方程；,补充方程：由几何方程和物理方程得；,物理方程；,解由平衡方程和补充方程组成

13、的方程组。,47,扭转,例5长为 L=2m 的圆杆受均布力偶 m=20Nm/m 的作用，如图，若杆的内外径之比为 =0.8 ，外径 D=0.0226m ，G=80GPa，试求固端反力偶。,解：杆的受力图如图示， 这是一次超静定问题。 平衡方程为：,48,扭转,几何方程变形协调方程, 综合物理方程与几何方程，得补充方程：, 由平衡方程和补充方程得：,另:此题可由对称性直接求得结果。,49,扭转,46 非圆截面杆扭转简介,非圆截面等直杆：平面假设不成立。即各截面发生翘曲成空间曲面。因此，由等直圆杆扭转时推出的应力、变形公式不适用，须由弹性力学方法求解。,50,扭转,一、自由扭转：杆件扭转时，横截面

14、的翘曲不受限制，任意两相 邻截面的翘曲程度完全相同。,二、约束扭转：杆件扭转时，横截面的翘曲受到限制，相邻截面 的翘曲程度不同。,三、矩形杆横截面上的切应力:,1. 切应力分布如图： （角点、形心、长短边中点）,(纵向纤维长度不变, 无 s , 只有 t ),（产生 s 、t ),51,扭转,2. 最大切应力及单位扭转角,It相当极惯性矩。, 和 可查表求得。,52,扭转,例8 一矩形截面等直钢杆，其横截面尺寸为：h = 100 mm， b=50mm，长度L=2m，杆的两端受扭转力偶 T=4000Nm 的 作用 ，钢的G =80GPa ，=100M Pa，=1/m ，试校核 此杆的强度和刚度。,解：查表求 、,校核强度,53,扭转,校核刚度,综上,此杆满足强度和刚度要求。,54,扭转,一、切应力流的方向与扭矩的方向一致。,二、开口薄壁截面杆在自由扭转时的切应力分布如图（a），厚 度中点处，应力为零。,39 薄壁