中考数学压轴试题复习第一部分专题五因动点产生的面积问题

1、15 因动点产生的面积问题课前导学面积的存在性问题常见的题型和解题策略有两类：第一类，先根据几何法确定存在性，再列方程求解，后检验方程的根第二类，先假设关系存在，再列方程，后根据方程的解验证假设是否正确如图1，如果三角形的某一条边与坐标轴平行，计算这样“规则”的三角形的面积，直接用面积公式如图2，图3，三角形的三条边没有与坐标轴平行的，计算这样“不规则”的三角形的面积，用“割”或“补”的方法图1 图2 图3计算面积长用到的策略还有：如图4，同底等高三角形的面积相等平行线间的距离处处相等如图5，同底三角形的面积比等于高的比如图6，同高三角形的面积比等于底的比图4 图5 图6例 32 2014年湖

2、南省常德市中考第25题如图1，已知二次函数的图象过点O(0,0)、A(4，0)、B()，M是OA的中点（1）求此二次函数的解析式；（2）设P是抛物线上的一点，过P作x轴的平行线与抛物线交于另一点Q，要使四边形PQAM是菱形，求点P的坐标；（3）将抛物线在轴下方的部分沿轴向上翻折，得曲线OBA（B为B关于x轴的对称点），在原抛物线x轴的上方部分取一点C，连结CM，CM与翻折后的曲线OBA交于点D，若CDA的面积是MDA面积的2倍，这样的点C是否存在？若存在求出点C的坐标；若不存在，请说明理由图1 动感体验请打开几何画板文件名“14常德25”，拖动点P在抛物线上运动，可以体验到，当四边形PQAM是

3、平行四边形时，也恰好是菱形拖动点C在抛物线上运动，还可以体验到，MCA与MDA是同底三角形，它们的面积比等于对应高的比思路点拨1设交点式或顶点式求抛物线的解析式都比较简便2先确定四边形PQAM是平行四边形，再验证它是菱形3把CDA与MDA的面积比，转化为MCA与MDA的面积比，进而转化为点C与点D的纵坐标的比图文解析（1）因为抛物线与x轴交于O(0,0)、A(4，0)两点，设yax(x4)代入点B()，得解得所以（2）如图2，由A(4，0)，M是OA的中点，可知OA4，MA2，M(2, 0)如果四边形PQAM是菱形，已知PQ/OA，首先要满足PQ2，再必须MP2因为抛物线的对称轴是直线x2，P

4、、Q关于x2对称，所以点P的横坐标为1，故点P的坐标为由M(2, 0)、P，可得MP2所以当点P的坐标为时，四边形PQAM是菱形（3）如图3，作CEx轴于E，作DFx轴于F我们把面积进行两次转换：如果CDA的面积是MDA面积的2倍，那么MCA的面积是MDA面积的3倍而MCA与MDA是同底三角形，所以高的比CEDF31，即yCyD31因此MEMF31设MFm，那么ME3m原抛物线的解析式为，所以翻折后的抛物线的解析式为所以D，C根据yCyD31，列方程整理，得3m24解得所以所以点C的坐标为（如图3），或（如图4）图2 图3 图4考点伸展第（1）题可以设抛物线的顶点式：由点O(0,0), A(4

5、，0)，B()的坐标，可知点B是抛物线的顶点可设，代入点O(0,0)，得例 33 2014年湖南省永州市中考第25题如图1，抛物线yax2bxc（a0）与x轴交于A(1, 0)，B(4, 0)两点，与y轴交于点C(0, 2)点M(m, n)是抛物线上一动点，位于对称轴的左侧，并且不在坐标轴上过点M作x轴的平行线交y轴于点Q，交抛物线于另一点E，直线BM交y轴于点F（1）求抛物线的解析式，并写出其顶点坐标；（2）当SMFQSMEB13时，求点M的坐标图1 动感体验请打开几何画板文件名“14永州25”，拖动点M在抛物线左半侧上运动，观察面积比的度量值，可以体验到，存在两个时刻，MEB的面积等于MF

6、Q面积的3倍思路点拨1设交点式求抛物线的解析式比较简便2把MFQ和MEB的底边分别看作MQ和ME，分别求两个三角形高的比，底边的比（用含m的式子表示），于是得到关于m的方程3方程有两个解，慎重取舍解压轴题时，时常有这种“一石二鸟”的现象，列一个方程，得到两个符合条件的解图文解析（1）因为抛物线与x轴交于A(1, 0)，B(4, 0)两点，设ya(x1)(x4)代入点C(0, 2)，得24a解得所以顶点坐标为（2）如图2，已知M(m, n)，作MNx轴于N由，得所以因为抛物线的对称轴是直线，所以ME由于SMFQ，SMEB，所以当SMFQSMEB13时，13整理，得m211m120解得m1，或m12所以点M的坐标为(1, 3)或(12,88)图2考点伸展第（2）题SMFQSMEB13，何需点M一定要在抛物线上？从上面的解题过程可以看到，MFQ与MEB的高