反证法(课件)

1、反证法,复习,1.直接证明的两种基本证法：,综合法和分析法,2.这两种基本证法的推证过程和特点：,由因导果,执果索因,3、在实际解题时，两种方法如何运用？,通常用分析法寻求思路，再由综合法书写过程,综合法,已知条件,结论,分析法,结论,已知条件,名家情系反证法,反证法常常是解决某些“疑难”问题的有力工具。 牛顿说：“反证法是数学家最精当的武器之一”。 英国数学家哈代也曾这样称赞它：“反证法是数学家最有力的一件武器，比起象棋开局时牺牲一子以取得优势的让棋法，它还要高明。象棋对弈者不外乎牺牲一卒或顶多一子，数学家索性把全局拱手让给对方！”,探究1：掀起你的盖头来认识反证法,反证法的定义： 在证明数

2、学问题时，先假定命题结论的反面成立， 在这个前提下，若推出的结果与定义、公理、定理相 矛盾，或与命题中的已知条件相矛盾，或与假定相矛 盾，从而说明命题结论的反面不可能成立，由此断定 命题的结论成立，这种证明方法叫作反证法。,反证法的证题步骤： （1）假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立；- （2）从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾； （3）从矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论成立,一、你能用更简洁的文字概括反证法的基本步骤吗？ 二、反证法在推理中可能得出哪几类矛盾？,探究2：深度挖掘了解反证法,准确地作出反设(即否定结论)是非常重要的，下面是一些常见的关键词的否定形式.,不是,不

3、都是,不大于,不小于,一个也没有,至少有两个,至多有（n-1)个,至少有（n+1)个,存在某个x不成立,存在某个x,成立,不等于,某个,探究3：生活中有运用反证法思想的例子吗?,道 旁 苦 李,王戎七岁时，爱和小朋友结伴玩耍。一天，他们发现路边的一棵树上结满了李子，小朋友一哄而上去摘李子，独有王戎没动。等到小朋友们摘了李子一尝，原来是苦的！他们都问王戎：“你怎么知道李子是苦的呢？”,小故事:,王戎回答说:“假如李子不苦的话，早被路人摘光了，而这树上却结满了李子，所以李子一定是苦的。”小伙伴摘取一个尝了一下,果然是苦李.,王戎是怎么知 道李子是苦的呢? 他运用了怎样的 推理方法?,牛刀小试,证明

4、：假设所求的结论不成立，即 A_ 60 , B_60 , C _60 则A+ B+ C180 这与_相矛盾 所以_不成立， 所求证的结论成立,三角形的三个内角之和等于180 ,假设,用反证法证明(填空):在三角形的内角中, 至少有一个角大于或等于60 ,已知:A ,B ,C是ABC的内角（如图） 求证:A , B , C中至少有一个角 大于或等于60 ,例1：已知：a是整数，2能整除a2 求证：2能整除a。,证明：假设命题的结论不成立，即“2不能整除a”,因为a是整数，故a是奇数 不妨设a=2n+1(n是整数) a2=(2n+1)2=4n2+4n+1=2(2n2+2n)+1 a2是奇数，则2不

5、能整除a2 ，这与已知矛盾。假设不成立，故2能整除a。,例题讲解,例2：在同一平面内，两条直线a,b都和直线c垂直，求证：a与b平行,解题反思： 证明该问题的难点是哪一步？ 你怎么看待反证法题目中的已知条件？,1.命题”三角形中最多只有一个内角是直角“的结论的否定是（ ） A、有两个内角是直角 B、有三个内角是直角 C、至少有两个内角是直角 D、没有一个内角是直角 2.否定“自然数a、b、c中恰有一个偶数”时，正确的反设为（ ） A.a、b、c都是奇数 B. a、b、c都是偶数 C. a、b、c中至少有两个偶数 D. a、b、c中都是奇数或至少有两个偶数,课堂练习:,C,D,证明:,因为,所以

6、,3.如果ab0，那么,注：当结论的反面不止一种情况时，该怎么办？,反证法的概念,反证法的证题步骤,课堂小结,如何正确使用反证法,注意:用反证法证题时,应注意的事项 : （1）周密考察原命题结论的否定，防止否定不当或有所遗漏； （2）推理过程必须完整准确，否则不能说明命题的真伪性； （3）在推理过程中，要充分使用已知条件，否则推不出矛盾，或者不能断定推出的结果是错误的。,探究4：,我来告诉你（经验之谈） 1.存在性问题 2.否定性问题 3.唯一性问题 4.至多、至少类问题 5.一些基本命题、基本定理,哪些问题适宜用反证法,总之，直接证明比较困难的命题,大家议一议！,-德国数学家希尔伯特说， 禁止数学家使用反证法， 就象