线性微分方程解的结构

1、第四节 二阶常系数线性微分方程,一、高阶线性微分方程的一般理论,二、二阶常系数齐线性微分方程的解,三、二阶常系数非齐线性微分方程的解,高阶线性微分方程的一般理论,n 阶线性方程的一般形式为,二阶线性微分方程的一般形式为,通常称 第二式为 第一式的相对应的齐方程。,复习: 一阶线性方程,通解:,非齐次方程特解,齐次方程通解Y,这种解法叫常数变易法。,1. 二阶齐次线性微分方程的性质和解的结构,(1) 叠加原理:,则它们的线性组合,的解，则它们的线性组合,也是方程 (2) 的解。,问题:,例：设 y1 为 (1) 的解 , 则 y2=2 y1 是 方程(1) 的解, 但 y=C1 y1+C2 y2

2、 不为方程(1) 的通解 .,又如. 对于二阶常系数线性齐次微分方程,容易验证:,但这个解中只含有一个任意常数C, 显然它不是所给方程的通解.,由定理知,都是它的解.,也是它的解.,在什么情况下，叠加所得可以成为方程 (1) 的通解？,为解决通解的判别问题,下面引入函数的线性相关 与线性无关概念.,(2) 线性无关、线性相关,定义:,是定义在区间 I 上的,n 个函数,使得,则称这 n个函数在 I 上线性相关,否则称为线性无关.,若存在不全为 0 的常数,在区间I上线性相关,存在不全为 0 的,线性无关,常数,思考:,中有一个恒为 0, 则,必线性,相关,两个函数在区间 I 上线性相关与线性无

3、关的充要条件:,例1：,在( , )上都有,故它们在任何区间 I 上都线性相关;,3.如：,若在某区间 I 上,则根据二次多项式至多只有两个零点 ,必需全为 0 ,可见,在任何区间 I 上都线性无关.,由三角函数知识可知，这是不可能的，故,(一) 二阶齐线性微分方程解的结构,的两个线性无关的特解，则,是方程 (1) 的通解。,例如,推论：,是 n 阶线性齐次微分方程,的 n 个线性无关的特解,则方程的通解为：,下面要用到的几个重要的结论（要记住）,通过观察可得方程的一个特解：,又容易看出：,由叠加原理，原方程的通解为,代入方程（1）中，得,该问题的解决归功于数学家刘维尔。,即,故有,两边积分，

4、得,由刘维尔公式,故原方程的通解为,（二)二阶非齐线性微分方程解的结构,的一个通解，则,证 将,代入方程（2）的左端得,是非齐次方程的解,又y 中含有两个独立任意常数,因而 是通解 .,是对应齐次方程的 n 个线性,无关特解,推广:给定 n 阶非齐次线性方程,是非齐次方程的特解,则非齐次方程的通解为,齐次方程通解,非齐次方程特解,例1：方程,有特解,对应齐次方程,有通解：,因此该方程的通解为,是其对应的齐方程,的一个特解。,则该方程的通解是 ( ).,例4.设线性无关函数,都是二阶非齐次线性方程,的解,是任意常数,提示:,都是对应齐次方程的解,且二者线性无关 (反证法可证)。 由非齐线性微分方

5、程解的结构定理可得（D）是正确的。,例5. 设 是二阶线性非齐次方程的三个线性无关的解，试用 表示二阶线性非齐次方程的通解.,都是对应齐次方程的解,且二者线性无关 . (反证法可证)。,例6.,已知微分方程,个解,求此方程满足初始条件,的特解 .,是对应齐次方程的解,且,常数,因而线性无关,故原方程通解为,代入初始条件,故所求特解为：,有三,解,都是微分方程的解,是对应齐次方程的解,常数,对应齐次方程的通解,原方程的通解,例8.已知 y = x 及 y = sinx 为某二阶线性齐次 方程的解 , 求该方程 .,解,解(1)由题设可得：,解此方程组，得,(2) 原方程为,由解的结构定理得方程的

6、通解为,(非齐次方程之解的叠加原理),(非齐次方程之解的叠加原理),下面介绍如何求方程（2）的特解？,的通解，则,是方程 (2) 的通解。,1、常数变易法,复习:,常数变易法:,对应齐次方程的通解:,设非齐次方程的解为,代入原方程确定,对二阶非齐次方程,情形1. 已知对应齐次方程通解:,设的解为,由于有两个待定函数, 所以要建立两个方程:,令,于是,将以上结果代入方程 :,得,故, 的系数行列式,积分得:,代入 即得非齐次方程的通解:,于是得,说明:,将的解设为,只有一个必须满足的条件即,因此必需再附加,一个条件,方程的引入是为了简化计算.,方程,情形2.,仅知的齐次方程的一个非零特解,代入

7、化简得,设其通解为,积分得,(一阶线性方程),由此得原方程的通解:,则有,这是以下推导 的前提。,1、常数变易法,于是,对上式两边关于 x 求导，得,即,联立 (3)、(4) 构成方程组,解此方程组，再积分，并取积分常数为零，即可得到,解：该方程所对应的齐方程为,它就是前面刚刚讲过的例题，由刘维尔公式得其通解为,由常数变易法，解方程组,两边积分，取积分常数为零，得,两边积分，取积分常数为零，得,故原方程有一特解,从而原方程的通解为：,解：先将方程变形为,所以，对应的齐次的通解为,设原方程的解为,由常数变易法知，应有,解之得,所以,原方程的通解为,例3.,的通解为,的通解.,解: 将所给方程化为:,已知齐次方程,求,利用,建立方程组