3.2.2平面的法向量与平面的向量表示

1、空间向量在立体几何中的应用 （第一课时）,数学专题二,学习目标,1.学会在具体的几何体中建立适当的空间直角坐标系（三条直线两两垂直，右手系） 2.能找准空间直角坐标系中点的坐标 （横，纵，竖） 3.理解并会求直线的方向向量和平面的法向量 4.能利用向量的知识解决平行与垂直问题,知能准备,A,D,学习提纲,二、立体几何问题的类型及解法,判断直线、平面间的位置关系； (1)直线与直线的位置关系; (2)直线与平面的位置关系; (3)平面与平面的位置关系;,1、直线的方向向量； 2、平面的法向量。,一、两个重要空间向量,一.两个重要的空间向量,1.直线的方向向量及求法 把直线上任意两点的向量或与它平

2、行的向量都称为直线的方向向量.如图,在空间直角坐标系中,由A(x1,y1,z1)与B(x2,y2,z2)确定的直线AB的方向向量是,课堂引讨,2.平面的法向量,如果表示向量n的有向线段所在的直线垂直于平面,称这个向量垂直于平面,记作n,这时向量n叫做平面的法向量.,n,3. 平面法向量的坐标的求法 如图,设a=( x1,y1,z1)、b=(x2,y2,z2)是平面内的两个不共线的非零向量,由直线与平面垂直的判定定理知,若na且nb,则n.换句话说,若na = 0且nb = 0,则n .,a,b,n,求平面的法向量的坐标的一般步骤:,第一步(设):设出平面法向量的坐标为n=(x,y,z). 第二

3、步(列):根据na = 0且nb = 0可列出方程组 第三步(解):把z看作常数,用z表示x、y. 第四步(取):取z为任意一个正数(当然取得越特 殊越好),便得到平面法向量n的坐标.,热身练习,1.若两不重合直线l1和l2的方向向量分别为v1(1，0，1)，v2(2，0，2)，则l1与l2的位置关系是( ) A平行B相交 C垂直 D不确定 2若平面，垂直，则下面可以作为这两个平面的法向量的是() An1(1，2，1)，n2(3，1，1) Bn1(1，1，2)，n2(2，1，1) Cn1(1，1，1)，n2(1，2，1) Dn1(1，2，1)，n2(0，2，2),A,A,热身练习,3设，v分别

4、是平面，的法向量， (2，2，5)，当v(3，2，2)时，与的位 置关系为_；当v(4，4，10)时， 与的位置关系为_,垂直平行 232(2)520,例1在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,O是面AC的中心,求面OA1D1的法向量.,A,B,C,D,O,A1,B1,C1,D1,z,x,y,精编精练,解：以A为原点建立空间直角坐标系O-xyz, 设平面OA1D1的法向量为n=(x,y,z), 那么O(1，1，0)，A1(0，0，2)，D1(0，2，2),取z =1,解得:,得:,由 =（-1，-1，2）， =（-1，1，2）,即时反馈,C,二.立体几何问题的类型及解法,1.判定直线

5、、平面间的位置关系 (1)直线与直线的位置关系 不重合的两条直线a,b的方向向量分别为a ,b. 若ab,即a=b,则ab. 若ab,即ab = 0,则ab,a,b,a,b,(2)直线与平面的位置关系 直线L的方向向量为a,平面的法向量为n,且L . 若an,即a =n,则 L 若an,即an = 0,则a .,n,a,n,a,L,L,题型一证明平行关系,题型二证明垂直关系,例4.棱长都等于2的正三棱柱ABC-A1B1C1, D,E分别是AC,CC1的中点,求证: (1)A1E 平面DBC1; (2)AB1 平面DBC1,例4.棱长都等于2的正三棱柱ABC-A1B1C1, D,E分别是AC,C

6、C1的中点,求证: (1)A1E 平面DBC1; (2)AB1 平面DBC1,A1,C1,B1,A,C,B,E,D,z,x,y,解：以D为原点，DA为x轴，DB为y轴建立空间直角坐标系D-xyz.则 A(-1,0,0), B(0, ,0), E(1,0,1), A1(-1,0,2), B1(0, ,2), C1(1,0,2),DC1=(1，0，2),DB 设平面DBC1的法向量为n=(x,y,z),则 解之得 ， 取z = 1得n=(-2,0,1) (1) =- n,从而A1E 平面DBC1 (2) ,而 n =-2+0+2=0 AB1 平面DBC1,(3)平面与平面的位置关系 平面的法向量为n1 ,平面的法向量为n2 若n1n2,即n1=n2,则 若n1n2,即n1 n2= 0,则,n2,n1,n1,n2,探究,例4 正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别是BB1、CD的中点,求证:平面AED平面A1FD,证明:以A为原点建立如图所示的的直角坐标系A- xyz,平面AED平面A1FD,解得：,于是,设：正方体的棱长为2, 那么E(2,0,1),A1(0,0,2), F(1,2,0),D(0,2,0),空间向量理论引入立体几何中，通常涉及到夹角、平行、垂直、距离等问题，其方法是不必添加繁杂的辅助线，只要建立适当的空间直角坐标系，写出相关