第4章李雅普诺夫稳定性理论(校内讲稿).ppt

1、1.正确理解稳定性基本概念和李雅普洛夫意义稳定 性概念； 2.熟练掌握李氏第一法,李氏第二法； 3.掌握线性系统渐近稳定性分析和离散系统渐近稳 定性分析方法。 重难点内容： 李雅普诺夫函数的构造 线性定常系统与非线性系统稳定性定理与判别 李雅普诺夫方程，渐近稳定性的分析与判别,教学要求：,电工理论与新技术研究所 李霞,要求：在受到外界扰动后，虽然其原平衡状态被打破，但在扰动消失后，仍然能恢复到原来的平衡状态，或者趋于另一平衡状态继续工作。,研究的目的和意义:稳定性是自动控制系统正常工作的必要条件，是一个重要特征。,实质：系统在受到小的外界扰动后，系统状态方程解的收敛性，与输入作用无关。稳定性是

2、系统本身的一种固有属性。,第4章 稳定性与李雅普诺夫法,稳定性分析,经典控制理论,现代控制理论,输出稳定,状态稳定,李雅普诺夫方法,李氏第一法（间接法）：求解系统微分方程， 据解的性质判断系统稳定性； 李氏第二法（直接法）：利用经验和技巧来构造李氏函数，直接判断系统稳定性。,1892年，俄国学者李雅普诺夫提出了稳定性定理，适用于单变量，线性，非线性，定常，时变，多变量等系统。,第4章 稳定性与李雅普诺夫法,4.1 李雅普诺夫意义关于稳定性的定义,4.1.1 系统状态的运动及平衡状态,1 初始状态,初始状态,2 平衡状态,系统的平衡状态,从x0出发的运动轨线,1) 线性系统,A非奇异,2) 非线

3、性系统,可能有多个平衡状态,有三个平衡状态,今后只讨论系统在状态空间原点的稳定性；,说明：,2）稳定性是指系统相对于某个平衡状态的稳定性。,4.1.2 稳定性的几个定义,1.李氏意义下的稳定,定常系统： 与 无关， 是一致稳定的。,在n维状态空间中，有：,2.渐近稳定,1）是李氏意义下的稳定,3.大范围渐近稳定,如果平衡状态xe 是稳定的，且从状态空间中所有初始状态出发的轨线都具有渐近稳定性，称这种平衡状态xe为大范围内渐近稳定。,2)线性系统：如果是渐近稳定的，必是大范围渐近稳定的。,1)必要条件：在整个状态空间中只有一个平衡状态,3)非线性系统：一般只能在小范围渐近稳定,不稳定性：对于 ，

4、不管 有多小，只要由 内出发的状态轨迹超出 以外，则称 此平衡状态是不稳定的。,4.2 李雅普诺夫第一法（间接法）,利用状态方程解的特性来判断系统稳定性。,4.2.1 线性系统的稳定判据,设给定系统为,1）李氏稳定的充要条件：,输出稳定的充要条件：,的全部极点位于复平面左半部。,例4.2.1 设系统的状态空间表达式为：,试分析系统的状态稳定性与输出稳定性。,解：（1）系统的特征方程：,故系统的平衡状态不是渐进稳定的。,（2）由系统的传递函数：,说明:,极点位于复平面左半部，输出稳定。,1) 系统输出稳定不一定状态稳定;,2) 只有当系统传递函数W(S)无零极点对消，且 系统特征值与W(S)极点

5、相同，二者才一致。,在平衡状态 附近存在各阶偏导数，则,4.2.2 非线性系统的稳定性,设非线性系统状态方程,令,则系统线性化方程为：,(1)若A的所有特征值都具有负实部，则非线性系统 在 处是渐进稳定的，与 无关；,(3)若A的特征值,至少有一个实部为零，则稳定性由 确定。,结论：,系统线性化方程为：,(2)若A的特征值，至少有一个具有正实部，则非线 性系统在 处是不稳定的；,4.3 李雅普诺夫第二法,李氏第二法（直接法）：通过构造李氏函数，从能量的角度直接判断系统稳定性。,李雅普诺夫直接法的思想,关键求储能V,虚构的广义能量函数V,李雅普诺夫函数,4.3.1 标量函数的定号性,1.正定性:

6、,标量函数V(x)在数域R中对所有x0有V(x)0, 且V(0)=0 ，则称V(x)在R中是正定的。,如：,如：,如：,如：,标量函数V(x)在数域R中对所有x0有V(x)0, 且V(0)=0 ，则称V(x)在R中是负定的。,2.负定性:,3.正(负)半定性：,如V(0)=0 ，且对x0有V(x)0V(x)0,则称V(x) 是正(负)半定的。,4.不定性：,V(x)在R中可正可负,则称V(x) 是不定的。,4.3.2 稳定性定理,推论1：当 正定， 正半定，且 在非零状态不恒为零时,则原点不稳定。,推论2： 正定， 正半定，若有 时， ，则原点是李雅普诺夫意义下的 稳定(同定理3)。,注意：,

7、1)以上仅仅是判断系统稳定性的充分条件，而不是充要条件；,3)非线性系统的平衡状态不稳定只说明存在局部发散的轨迹。,2)线性系统的平衡状态不稳定说明系统不稳定；,4.3.3 对李氏函数的讨论,（1）V(x)是一个正定的标量函数，且存在对 x 的连续的一阶偏导数；,李氏第二法的步骤：,1)构造一个正定的二次型函数V(x)；,2)求 ，并代入状态方程；,3)判断 的定号性；,4)判断非零情况下， 是否为零。,（4）V(x)只表示系统在平衡状态附近某邻域内局部运动的稳定情况。,（5）李氏第二法的难点在构造李氏函数，故仅适用于那些无法用其他方法判别稳定性的系统。,原点是唯一平衡点,例4.3.1 已知非

8、线性系统的状态方程为：,试用李雅普诺夫第二法判断其稳定性。,设,则,负定,原点是渐进稳定的；,定理1,该系统是大范围渐进稳定的。,几何意义：,例4.3.2 试判断下列线性系统平衡状态的稳定性。,原点是唯一平衡点,设,负半定,则,令,只有全零解,即非零状态时,定理2,原点是渐进稳定的；,该系统是大范围渐进稳定的。,定理3,例4.3.3 试判断下列线性系统平衡状态的稳定性。,故系统是李雅普诺夫意义下的稳定。,原点是唯一平衡点,设,则,正(负)半定性,例4.3.4 试判断下列线性系统平衡状态的稳定性。,原点是唯一平衡点,设,则,正半定,则原点不稳定即系统不稳定。,4.4 李雅普诺夫方法在线性系统中的

9、应用,4.4.1 线性定常连续系统渐近稳定判据,1. 二次型标量函数,其中P是实对称方阵：,设x1，x2，xn为n个变量，定义二次型,标量函数为：,为以原点为中心的球面。,当P=I 有：,为其各阶主子行列式：,P符号性质的判别：(希尔维斯特判据）,设P是实对称方阵,2 线性定常连续系统渐近稳定判据,-非奇异矩阵,设给定系统为,原点是唯一平衡状态,将 代入：,令,由渐近稳定性定理1，只要Q正定，则系统是大范围渐近稳定的。,定理：设线性定常连续系统为,对任意给定的正定实对称矩阵Q，必存在一个正定实对称矩阵P满足：,则平衡状态xe0为大范围渐近稳定的充要条件为:,分析思路：,Q矩阵的取法: 1）单位

10、阵； 2）Q取正半定(定理2)。允许单位矩 阵主对角线上部分元素为零。,由,解：1)选取,2)判断P的定号性,P正定，xe大范围渐近稳定。,解得,定理：设线性时变连续系统状态方程为,对任意给定的连续对称正定矩阵Q(t)，必存在一个连续对称正定矩阵P(t)，满足：,则系统在平衡状态xe0处大范围渐近稳定的充要条件为:,4.4.2 线性时变连续系统渐近稳定判据,4.4.3 线性定常离散时间系统渐近稳定判据,设给定线性定常离散系统为 ：,对于任意给定的正定实对称矩阵Q，必存在一个正定实对称矩阵P，满足：,则系统在平衡状态xe=0处渐近稳定的充要条件为:,例4.4.1 设线性离散系统状态方程为,试分析系统在平衡点处渐近稳定的条件。,解：选取,4.4.4 线性时变离散系统渐近稳定判据,设给定线性时变离散系统的状态方程为 ：,对于任意给定的正定实对称矩阵Q(k)，必存在一个正定实对称矩阵P(k+1)，满足：,则系统在平衡状态xe=0处为大范围渐近稳定的充要条件为:,4.5 李雅普诺夫方法在非线性系统中的应用,设非线性系统状态方程为 ：,对于任意给定的正定实对称矩阵P，必存在一个正定矩阵Q(x)，满足：,例4.5.1 设非线性系统状态方程为,解:,试用克拉索夫斯基法分析 处的稳定性,克拉索夫斯基表达式:,判断Q的定号性,大范围渐近稳定,Q正定，xe渐近